--- title: "Задание 20 ЕГЭ по профильной математике: Числа и их свойства" description: "Разбор задания 20 ЕГЭ по профильной математике: Числа и их свойства. Алгоритм решения, типичные ошибки и 40 минут на номер. Высокий уровень, 4 балла за задание." url: https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-20/ dateModified: 2026-09-24 author: "Редакция НейроМиши" source: - "Проект спецификации КИМ ЕГЭ 2027 по профильной математике: приложение «Обобщённый план варианта КИМ», задание 20 (файл «МА-11 ЕГЭ 2027 СПЕЦ_профильный.pdf» в архиве ФИПИ) — https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/ma_11_2027.zip" - "Методические рекомендации ФИПИ по итогам экзамена 2026 года: математика (базовый и профильный уровни), приложение, с. 45 — https://doc.fipi.ru/ege/analiticheskie-i-metodicheskie-materialy/2026/ma_mr_2026.pdf" - "ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027 — https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory" --- # Задание 20 ЕГЭ 2027 по профильной математике: Числа и их свойства Задание 20 ЕГЭ 2027 по профильной математике — «Числа и их свойства»: высокий уровень, 4 балла из 33 первичных за всю работу, ответ — развёрнутое решение, три пункта. На номер стоит закладывать около 40 минут, на всю работу даётся 3 часа 55 минут. С чего начать: прочитайте все три пункта сразу: пример из пункта а нередко подсказывает идею остальных. **Обновлено:** 2026-09-24 По данным ФИПИ, на экзамене 2026 года средний результат по этому заданию (тогда — номер 19) — 12,9 % от максимального балла. Источник — [методические рекомендации ФИПИ по итогам экзамена 2026 года](https://doc.fipi.ru/ege/analiticheskie-i-metodicheskie-materialy/2026/ma_mr_2026.pdf), приложение, с. 45. ## Что проверяет задание 20 и сколько баллов оно даёт? Три пункта о свойствах чисел: делимость, остатки, наибольший общий делитель, десятичная запись. Пункт а обычно спрашивает, возможно ли что-то, и закрывается удачным примером. Пункт б требует найти наибольшее или наименьшее значение, пункт в — доказать общее утверждение. Пункты оцениваются по отдельности. *Задание 20 ЕГЭ 2027 по профильной математике коротко* - **Уровень сложности:** высокий - **Максимальный балл:** 4 балла - **Форма ответа:** развёрнутое решение, три пункта - **Сколько минут закладывать:** 40 минут - **Средний результат в 2026 году:** 12,9 % от максимального балла (ФИПИ) - **Коды кодификатора:** **1.1** Натуральные и целые числа, признаки делимости; **1.2** Рациональные числа; **5.2** Логика Проект демоверсии Структура по проекту демоверсии ФИПИ 2027; официальную версию ФИПИ публикует в ноябре. По проекту спецификации ФИПИ 2027. ## Как решать задание 20 ЕГЭ по профильной математике? 1. Прочитайте все три пункта сразу: пример из пункта а нередко подсказывает идею остальных. 2. Для пункта а подберите конкретный пример и выпишите его полностью. 3. Для пункта б докажите оценку сверху или снизу и приведите пример, где она достигается. 4. В пункте в работайте с остатками по подходящему модулю или с чётностью. 5. Отделите пункты заголовками, чтобы эксперту было ясно, где что. ## Что нужно знать для задания 20? **Признак делимости.** Признак делимости — правило, позволяющее по десятичной записи числа определить делимость без деления: на 3 и 9 — по сумме цифр, на 11 — по знакочередующейся сумме, на 2, 4, 8 — по последним цифрам. [Подробнее в теме](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/naturalnye-i-celye-chisla-priznaki/) **Контрпример.** Контрпример — единственный объект, на котором утверждение «для любого…» нарушается. Одного контрпримера достаточно, чтобы такое утверждение считать ложным, а отдельные примеры его не подтверждают. [Подробнее в теме](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/logika/) ## Как решается задание 20 на примере? Пример с решением и ответом Несколько друзей вместе собрали 20 грибов. Все собрали разное число грибов, и никто не вернулся с пустыми руками. Какое наибольшее число друзей могло быть в компании? Это пункт на наибольшее значение, значит нужны два шага: **оценка** (больше стольких-то друзей быть не могло) и **пример** (столько друзей реально возможно). Одного ответа «сколько-то» мало — надо доказать обе части. **Оценка.** Пусть друзей k. Каждый собрал хотя бы один гриб, и все числа разные — значит, это k различных натуральных чисел. Самый скромный возможный набор — 1, 2, 3, …, k: меньше при разных натуральных не получится. Его сумма: 1+2+…+k = k(k+1)/2 Всего грибов ровно 20, поэтому даже самый скромный набор не должен превышать 20: k(k+1)/2 ≤ 20 Проверяем по порядку. При k=5 минимальная сумма (5 · 6)/2=15 — помещается в 20. При k=6 уже (6 · 7)/2=21 — это больше 20, а меньше при шести разных грибниках никак. Значит, шестерых быть не могло: k ≤ 5. **Пример.** Оценка запрещает шестерых, но пятерых пока не гарантирует — надо показать, что пять действительно набирается. Подберём пять разных натуральных чисел с суммой ровно 20, например: 1 + 2 + 3 + 4 + 10 = 20 Все числа разные, все положительные, сумма 20 — условие выполнено, пятеро друзей возможны. Оценка не пускает выше пяти, пример показывает, что пять достижимо. Значит, наибольшее число друзей — ровно 5. **Ответ: 5 друзей. Оценка: k различных натуральных дают сумму не меньше k(k+1)/2, а 6·7/2 = 21 > 20, поэтому k ≤ 5. Пример: 1 + 2 + 3 + 4 + 10 = 20 — пятеро возможны.** Разбор из темы «[Логика](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/logika/)» в разделе теории. ## Написать ответ и проверить по критериям Напишите ответ здесь — в кабинете он откроется готовым, и разбор придёт по критериям этого задания. ## Этот номер проверяется по критериям Ответ развёрнутый: баллы за него ставит эксперт по критериям ФИПИ, автоматической проверки для такого формата не бывает. Разбор и пример выше, а потренироваться с проверкой ответа можно на быстрых номерах предмета: - [Задание 10 — 41 задание](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-10/) - [Задание 11 — 42 задания](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-11/) - [Задание 12 — 39 заданий](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-12/) - [Задание 13 — 64 задания](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-13/) ## На чём теряют баллы в задании 20? - В пункте б приводят пример, не доказав, что большего или меньшего значения быть не может. - В пункте в подменяют доказательство проверкой нескольких случаев. - Записывают ответ, не указав, к какому пункту он относится. **Совет на экзамене** Даже пятнадцать минут на пункт а — это балл. Беритесь за номер, когда часть 1 переписана в бланк, а остальная часть 2 разобрана. ## Какую теорию повторить к заданию 20? - [Натуральные и целые числа, признаки делимости](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/naturalnye-i-celye-chisla-priznaki/) — Главная тема задания - [Логика](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/logika/) — Главная тема задания - [Рациональные числа](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/racionalnye-chisla/) — Конспект с разбором ## Вопросы про задание 20 ### Что проверяет задание 20 ЕГЭ по профильной математике — «Числа и их свойства»? Три пункта о свойствах чисел: делимость, остатки, наибольший общий делитель, десятичная запись. Пункт а обычно спрашивает, возможно ли что-то, и закрывается удачным примером. Пункт б требует найти наибольшее или наименьшее значение, пункт в — доказать общее утверждение. Пункты оцениваются по отдельности. ### Сколько баллов даёт задание 20 ЕГЭ по профильной математике? Максимум 4 балла из 33 первичных баллов всей работы; уровень сложности — высокий. Баллы начисляются по критериям ФИПИ: за каждый выполненный критерий отдельно. ### Как записывать ответ в задании 20 и как его проверяют? Форма ответа — развёрнутое решение, три пункта. Ответ развёрнутый, поэтому его оценивает эксперт по критериям ФИПИ, а не сверяет с эталоном. Мгновенная проверка развёрнутого ответа по критериям есть в веб-кабинете. ### За что снимают балл в задании 20 ЕГЭ по профильной математике? Чаще всего на этом: в пункте б приводят пример, не доказав, что большего или меньшего значения быть не может; в пункте в подменяют доказательство проверкой нескольких случаев; записывают ответ, не указав, к какому пункту он относится. ### Какие темы нужно знать для задания 20? По кодификатору ФИПИ задание 20 опирается на разделы: Натуральные и целые числа, признаки делимости; Рациональные числа; Логика. ### Какие типы заданий встречаются в задании 20 ЕГЭ по профильной математике? В банке тренажёра НейроМиши задание 20 встречается в таких вариантах: теория чисел, логические задачи; преобразования пар натуральных чисел и инвариант НОД; уравнение в натуральных числах; перебор и оценка; делимость, репьюниты. ## Первоисточники - [Проект спецификации КИМ ЕГЭ 2027 по профильной математике: приложение «Обобщённый план варианта КИМ», задание 20 (файл «МА-11 ЕГЭ 2027 СПЕЦ_профильный.pdf» в архиве ФИПИ)](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/ma_11_2027.zip) - [Методические рекомендации ФИПИ по итогам экзамена 2026 года: математика (базовый и профильный уровни), приложение, с. 45](https://doc.fipi.ru/ege/analiticheskie-i-metodicheskie-materialy/2026/ma_mr_2026.pdf) - [ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory) --- Источник: https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-20/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.