---
title: "Свойства логарифмов: формулы и примеры для ЕГЭ"
description: "Все свойства логарифмов в таблицах: определение, ОДЗ, логарифм произведения, частного и степени, переход к новому основанию, уравнения и неравенства с разбором."
url: https://neuromisha.ru/materialy/svoystva-logarifmov/
datePublished: 2026-09-18
dateModified: 2026-09-22
subject: "Математика профиль"
kim: "7, 8, 16"
pdf: "https://neuromisha.ru/materialy/svoystva-logarifmov/svoystva-logarifmov.pdf"
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Свойства логарифмов: формулы и примеры для ЕГЭ

logₐ b = c равносильно aᶜ = b, причём a > 0, a ≠ 1, b > 0 — из этого определения выводятся все свойства логарифмов. В профильной математике они нужны минимум в трёх номерах: простейшее уравнение в задании 7, вычисление в задании 8 и неравенство в задании 16. Внутри — формулы с примерами, разбор уравнений и неравенств, ловушки ОДЗ.

## В каких заданиях ЕГЭ встречаются логарифмы?

По проекту спецификации ЕГЭ 2027 профильная математика — это 20 заданий, 235 минут и 33 первичных балла. Логарифмы проверяют как минимум в трёх номерах. Задание 7 — простейшее уравнение базового уровня, один балл: логарифмическое уравнение здесь один из стандартных типов. Задание 8 — вычисление значения выражения со степенями и логарифмами, тоже базовое и на один балл. Задание 16 — неравенство повышенного уровня с развёрнутым решением, до двух баллов, и в демоверсии это как раз логарифмическое неравенство.

По кодификатору ФИПИ логарифмическая функция относится и к заданию 12 (графики функций), а логарифмические уравнения — к заданию 14, хотя отдельно логарифмам эти номера не посвящены.

Проект спецификации 2027 года обсуждается до 30 сентября 2026 года, нумерация ещё может уточниться. Сами формулы от этого не меняются.

## Определение и область допустимых значений

| Формула | Условия | Пример с вычислением |
|---|---|---|
| logₐ b = c равносильно aᶜ = b | a > 0, a ≠ 1, b > 0 | log₃ 81 = 4, потому что 3⁴ = 81 |
| logₐ b может быть отрицательным | b между 0 и 1 при a > 1 | log₂ (1/8) = −3, потому что 2⁻³ = 1/8 |
| lg b — десятичный логарифм, основание 10 | b > 0 | lg 0,001 = −3, потому что 10⁻³ = 0,001 |
| ln b — натуральный логарифм, основание e | b > 0 | ln e² = 2 |
| logₐ f(x) существует | f(x) > 0 | log₃ (x − 2) определён при x > 2 |
| log по основанию g(x) от f(x) существует | f(x) > 0, g(x) > 0, g(x) ≠ 1 | logₓ (6 − x) определён при x из (0; 1) и (1; 6) |

Логарифм — это показатель степени, в которую возводят основание, чтобы получить число. Отсюда три ограничения: отрицательное основание не годится, единица в любой степени даёт единицу, а положительное основание — только положительные числа.

## Основное логарифмическое тождество

| Формула | Условия | Пример с вычислением |
|---|---|---|
| a в степени logₐ b равно b | a > 0, a ≠ 1, b > 0 | 5 в степени log₅ 7 равно 7 |
| logₐ aᶜ = c | a > 0, a ≠ 1, c — любое число | log₇ 49 = log₇ 7² = 2 |
| a^(c + logₐ b) = aᶜ · b | те же | 2^(3 + log₂ 5) = 2³ · 5 = 40 |
| (aᵏ) в степени logₐ b равно bᵏ | те же | 9^(log₃ 4) = 3^(2 · log₃ 4) = 4² = 16 |

В задании 8 тождество работает, когда основание степени и основание логарифма совпадают или приводятся к одному числу, как в последней строке: 9 = 3².

## Логарифм произведения, частного и степени

| Формула | Условия | Пример с вычислением |
|---|---|---|
| logₐ (xy) = logₐ x + logₐ y | x > 0, y > 0 | log₆ 4 + log₆ 9 = log₆ 36 = 2 |
| logₐ (x/y) = logₐ x − logₐ y | x > 0, y > 0 | log₂ 56 − log₂ 7 = log₂ 8 = 3 |
| logₐ xᵏ = k · logₐ x | x > 0, k — любое число | log₂ 8⁵ = 5 · log₂ 8 = 5 · 3 = 15 |
| logₐ √x = (1/2) · logₐ x | x > 0 | log₃ √27 = (1/2) · 3 = 1,5 |
| k · logₐ x = logₐ xᵏ | x > 0 | 2 · log₅ 10 − log₅ 4 = log₅ 100 − log₅ 4 = log₅ 25 = 2 |

Формулы работают в обе стороны. В вычислениях их обычно применяют справа налево: сумму логарифмов сворачивают в логарифм произведения, чтобы под знаком логарифма оказалась точная степень основания.

Отдельная оговорка про чётную степень. Если x может быть отрицательным, то logₐ x² равно 2 · logₐ от модуля x, а не 2 · logₐ x. Выражение log₃ x² определено при всех x, кроме нуля, а 2 · log₃ x — только при положительных x. Замена одного на другое в уравнении теряет корни.

## Переход к новому основанию

| Формула | Условия | Пример с вычислением |
|---|---|---|
| logₐ b = log_c b / log_c a | a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1 | lg 64 / lg 4 = log₄ 64 = 3 |
| logₐ b = 1 / log_b a | a, b > 0, a ≠ 1, b ≠ 1 | log₂ 5 · log₅ 2 = 1 |
| logₐ b · log_b c = logₐ c | a, b > 0, a ≠ 1, b ≠ 1, c > 0 | log₃ 5 · log₅ 9 = log₃ 9 = 2 |
| log_(aᵏ) b = (1/k) · logₐ b | a > 0, a ≠ 1, b > 0, k ≠ 0 | log₄ 32 = (1/2) · log₂ 32 = 5/2 = 2,5 |
| log_(aᵐ) bⁿ = (n/m) · logₐ b | те же, m ≠ 0 | log₉ 27 = log_(3²) 3³ = (3/2) · 1 = 1,5 |
| a в степени log_b c равно c в степени log_b a | a > 0, c > 0, b > 0, b ≠ 1 | 4^(log₂ 3) = 3^(log₂ 4) = 3² = 9 |

Переход к новому основанию нужен, когда в выражении встретились логарифмы с разными основаниями. Удобное новое основание — то, степенями которого являются все числа в задаче: для 4, 8, 16 и 32 это 2, для 9, 27 и 81 это 3.

## Частные случаи

| Формула | Условия | Пример с вычислением |
|---|---|---|
| logₐ 1 = 0 | a > 0, a ≠ 1 | log₁₇ 1 = 0 |
| logₐ a = 1 | a > 0, a ≠ 1 | ln e = 1, lg 10 = 1 |
| logₐ (1/a) = −1 | a > 0, a ≠ 1 | log₅ 0,2 = log₅ (1/5) = −1 |
| lg 10ⁿ = n | n — любое число | lg 10 000 = 4 |
| log_(1/a) b = −logₐ b | a > 0, a ≠ 1, b > 0 | log_(1/2) 8 = −log₂ 8 = −3 |
| logₐ (1/b) = −logₐ b | a > 0, a ≠ 1, b > 0 | log₃ (1/9) = −2 |

## Монотонность и неравенства

| Формула | Условия | Пример с вычислением |
|---|---|---|
| При a > 1 из logₐ x₁ < logₐ x₂ следует 0 < x₁ < x₂ | функция возрастает | log₂ x < 3 при 0 < x < 8 |
| При 0 < a < 1 из logₐ x₁ < logₐ x₂ следует x₁ > x₂ > 0 | функция убывает, знак меняется | log_(1/2) x < −1 при x > 2 |
| logₐ b > 0, если a и b оба больше 1 или оба между 0 и 1 | a > 0, a ≠ 1, b > 0 | log_(0,5) 0,2 > 0 |
| logₐ b < 0, если одно из чисел больше 1, а другое между 0 и 1 | те же | log_(0,5) 3 < 0 |
| Знак logₐ b совпадает со знаком (a − 1)(b − 1) | те же | log₇ 0,5: (7 − 1)(0,5 − 1) < 0, логарифм отрицателен |
| Знак logₐ f − logₐ g совпадает со знаком (a − 1)(f − g) | f > 0, g > 0, a > 0, a ≠ 1 | метод рационализации для неравенств с переменным основанием |
| Оценка между степенями | aⁿ < b < aⁿ⁺¹ при a > 1 даёт n < logₐ b < n + 1 | 9 < 10 < 27, значит log₃ 10 лежит между 2 и 3 |

Главное правило неравенств: при основании больше единицы знак неравенства между аргументами сохраняется, при основании меньше единицы — меняется на противоположный. Это следует из того, возрастает функция y = logₐ x или убывает.

## Как решать уравнения с логарифмами?

Каждое решение начинается с области допустимых значений. Её выписывают до преобразований, а найденные корни проверяют именно по ней.

1. **log₃ (2x − 1) = 2.** ОДЗ: 2x − 1 > 0, то есть x > 0,5. По определению 2x − 1 = 3² = 9, откуда x = 5. Корень входит в ОДЗ. Ответ: 5.
2. **log₂ (x + 1) + log₂ (x − 1) = 3.** ОДЗ: x > 1. Сумма логарифмов равна log₂ ((x + 1)(x − 1)), поэтому x² − 1 = 8, x² = 9, x = 3 или x = −3. Корень −3 не входит в ОДЗ: при нём оба логарифма не существуют. Ответ: 3.
3. **log₅ (x² − 4x) = log₅ (2x − 5).** Приравниваем аргументы: x² − 4x = 2x − 5, x² − 6x + 5 = 0, x = 1 или x = 5. Проверка: при x = 1 аргумент 2x − 5 = −3, логарифм не существует. При x = 5 оба аргумента равны 5. Ответ: 5.
4. **log₂² x − 3 · log₂ x + 2 = 0.** ОДЗ: x > 0. Замена t = log₂ x даёт t² − 3t + 2 = 0, t = 1 или t = 2. Отсюда x = 2 или x = 4, оба положительны. Ответ: 2 и 4.
5. **log₃ x² = 2.** ОДЗ: x ≠ 0. По определению x² = 9, x = 3 или x = −3, оба корня подходят. Если сначала написать 2 · log₃ x = 2, получится только x = 3: корень −3 потерян.
6. **logₓ (2x + 3) = 2.** ОДЗ: x > 0, x ≠ 1. По определению x² = 2x + 3, x² − 2x − 3 = 0, x = 3 или x = −1. Отрицательное основание запрещено. Проверка: log₃ 9 = 2. Ответ: 3.

## Неравенства с логарифмами: разбор

1. **log₂ (x − 3) < 2.** ОДЗ: x > 3. Основание 2 больше единицы, знак сохраняется: x − 3 < 4, x < 7. С учётом ОДЗ ответ: (3; 7).
2. **log_(1/3) (2x − 1) ≥ −2.** ОДЗ: x > 0,5. Правая часть −2 = log_(1/3) 9, потому что (1/3)⁻² = 9. Основание меньше единицы, знак меняется: 2x − 1 ≤ 9, x ≤ 5. Ответ: (0,5; 5].
3. **log₂ x + log₂ (x − 2) ≤ 3.** ОДЗ: x > 2. Сворачиваем: x(x − 2) ≤ 8, x² − 2x − 8 ≤ 0, (x − 4)(x + 2) ≤ 0, то есть −2 ≤ x ≤ 4. Пересечение с ОДЗ: (2; 4].
4. **logₓ (6 − x) ≥ 1.** ОДЗ: 0 < x < 6, x ≠ 1. Переносим: logₓ (6 − x) − logₓ x ≥ 0. По методу рационализации знак разности совпадает со знаком (x − 1)(6 − x − x), получаем (x − 1)(6 − 2x) ≥ 0, то есть 1 ≤ x ≤ 3. Без точки x = 1 ответ: (1; 3]. Проверка: при x = 4 выходит log₄ 2 = 0,5 < 1, точка исключена верно.

## На каких ловушках ОДЗ теряют баллы?

- **Сворачивание суммы расширяет ОДЗ.** log₂ (x + 1) + log₂ (x − 1) требует обоих положительных аргументов, а log₂ (x² − 1) — только их произведения. Отсюда посторонний корень −3 в примере 2.
- **Вынос чётной степени сужает ОДЗ.** log₃ x² определён при x ≠ 0, а 2 · log₃ x — только при x > 0. Отсюда потерянный корень −3 в примере 5.
- **Равенство аргументов проверяют в обеих частях.** В уравнении logₐ f = logₐ g из f = g ещё не следует, что корень годится: в примере 3 при x = 1 обе части равны −3, а логарифмов не существует. В найденной точке аргументы совпадают, поэтому достаточно проверить положительность одного из них.
- **Переменное основание — три условия.** Основание положительно, не равно единице, аргумент положителен. Про x ≠ 1 забывают чаще всего, как в неравенстве 4.
- **Неравенство без ОДЗ даёт лишние промежутки.** В неравенстве 3 квадратное неравенство даёт отрезок от −2 до 4, но половина его лежит там, где логарифмы не существуют.

## Как применять свойства логарифмов на экзамене?

1. Перед вычислением посмотрите на числа под логарифмами и в основаниях: если все они степени одного числа, переходите к этому основанию.
2. В выражениях из задания 8 сворачивайте, а не раскрывайте: цель — получить под логарифмом точную степень основания.
3. В уравнениях первой строкой выписывайте ОДЗ, последней — проверку каждого корня по ней.
4. В неравенствах перед сравнением аргументов посмотрите на основание: больше единицы — знак сохраняется, меньше — меняется.
5. Любую формулу проверяйте на числах: log₂ (4 · 8) = log₂ 32 = 5, а log₂ 4 + log₂ 8 = 2 + 3 = 5 — формула записана верно.

## Какие ошибки чаще всего делают с логарифмами?

- Раскрывают логарифм суммы: log₂ (4 + 4) = 3, а log₂ 4 + log₂ 4 = 4. Формулы для logₐ (x + y) не существует.
- Делят логарифмы как аргументы: log₃ 81 / log₃ 3 = 4 / 1 = 4, а не log₃ 27 = 3. Отношение логарифмов — это переход к новому основанию, а не логарифм частного.
- Не меняют знак неравенства при основании меньше единицы и получают промежуток, противоположный верному.
- Забывают, что основание и аргумент — разные роли: log₂ 8 = 3, но log₈ 2 = 1/3.
- Записывают в ответ корень, при котором аргумент или основание логарифма не удовлетворяют ОДЗ.

## Вопросы и ответы

### Какие свойства логарифмов нужно знать для ЕГЭ?

Определение с ограничениями на основание и аргумент, основное логарифмическое тождество, логарифм произведения, частного и степени, переход к новому основанию и монотонность логарифмической функции. Этого набора хватает для заданий 7, 8 и 16; всё остальное из них выводится.

### Может ли логарифм быть отрицательным?

Да. Отрицательным не может быть аргумент, а сам логарифм — любое число. Например, log₂ 0,25 = −2, потому что 2⁻² = 0,25. При основании больше единицы логарифм отрицателен для чисел от 0 до 1.

### Почему основание логарифма не может равняться единице?

Единица в любой степени равна единице. Уравнение 1ᶜ = 5 не имеет решений, а 1ᶜ = 1 имеет их бесконечно много, поэтому однозначного логарифма по основанию 1 не существует.

### Чем lg отличается от ln?

Основанием. lg — десятичный логарифм, основание 10: lg 1000 = 3. ln — натуральный логарифм, основание e, примерно 2,718: ln e = 1. Все свойства у них общие, а ln особенно часто встречается в заданиях на производную.

### Нужно ли в задании 16 отдельно записывать ОДЗ?

Нужно обоснование того, что ответ не содержит точек, где выражение не определено. Удобнее всего записать ОДЗ отдельной строкой в начале: так видно, откуда берутся границы промежутков, и не теряется пересечение в конце.

## Источники

- [ФИПИ. Демоверсии, спецификации, кодификаторы ЕГЭ](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory) — проект спецификации 2027 года по математике профильного уровня: 20 заданий, 235 минут, 33 первичных балла; кодификатор с логарифмами, логарифмической функцией, логарифмическими уравнениями и неравенствами.
- [ФИПИ. Планируемые изменения в КИМ ЕГЭ 2027 года](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/Plan_izmeneniya_KIM_EGE_2027.pdf) — новая нумерация заданий первой и второй части.
- [ФИПИ. Открытый банк заданий ЕГЭ](https://fipi.ru/ege/otkrytyy-bank-zadaniy-ege) — формулировки заданий на уравнения, вычисления и неравенства с логарифмами.