---
title: "Теория вероятностей ЕГЭ 2027: формулы и задачи"
description: "Справочник по теории вероятностей для ЕГЭ 2027: классическая формула, сложение и умножение, полная вероятность, схема Бернулли и разбор типовых задач с числами."
url: https://neuromisha.ru/materialy/teoriya-veroyatnostey-ege/
datePublished: 2026-09-09
dateModified: 2026-09-22
subject: "Математика профиль"
kim: "4, 5, 6"
pdf: "https://neuromisha.ru/materialy/teoriya-veroyatnostey-ege/teoriya-veroyatnostey-ege.pdf"
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Теория вероятностей ЕГЭ 2027: формулы и задачи

P(A) = m / n: благоприятные исходы делят на все, и для задания 5 базовой математики этого хватает. В профильной вероятность занимает задания 4, 5 и 6 — сложение и умножение, «хотя бы один» через 1 − q^n, полная вероятность, схема Бернулли и математическое ожидание. Монеты, кубики, выстрелы, брак и жребий разобраны с числами.

## В каких заданиях ЕГЭ есть теория вероятностей?

По проекту спецификации ЕГЭ 2027 профильная математика — это 20 заданий и 235 минут, максимум 33 первичных балла. Часть 1 — тринадцать номеров с кратким ответом по одному баллу, часть 2 — семь заданий с развёрнутым решением. Вероятность и статистика занимают три номера первой части: задания 4, 5 и 6, вместе 3 первичных балла из 33.

Задание 4 — базового уровня: одна вероятность по классическому определению, сюжет бытовой. Задание 5 — повышенного: сложение и умножение вероятностей, независимые и несовместные события, «хотя бы один», формула полной вероятности, комбинаторный подсчёт исходов. Задание 6 появилось в проекте 2027 года: случайная величина задана таблицей распределения или описана словами, а найти нужно математическое ожидание, дисперсию или стандартное отклонение.

Базовая математика в 2027 году не меняется: 21 задание, 180 минут, 21 первичный балл, все номера по одному баллу. Вероятность там одна — задание 5, и хватает для него классического определения: сколько исходов благоприятны и сколько всего.

Проект спецификации обсуждается до 30 сентября 2026 года, формулировки ещё могут уточниться. Набор формул от этого не зависит: он один для обоих уровней.

## Язык задачи: события и исходы

| Понятие | Что означает | Как выглядит в условии |
|---|---|---|
| Испытание | Опыт, результат которого заранее неизвестен | Бросок кости, выстрел, жеребьёвка |
| Элементарный исход | Один неделимый результат испытания | Выпала пятёрка; вытянута карточка с номером 3 |
| Событие | Набор исходов с общим признаком | «Выпало чётное число» — это три исхода |
| Равновозможные исходы | Ни один не имеет преимущества перед другими | Симметричная монета, честная кость, случайный жребий |
| Несовместные события | Не могут произойти в одном испытании | «Выпало 2» и «выпало 5» на одной кости |
| Совместные события | Могут произойти вместе | «Число чётное» и «число больше трёх» |
| Независимые события | Одно не меняет вероятность другого | Два броска монеты, выстрелы двух стрелков |
| Зависимые события | Первое меняет условия для второго | Шары вынимают из мешка без возврата |
| Противоположное событие | Происходит ровно тогда, когда не происходит A | К «хотя бы один» противоположно «ни одного» |
| Полная группа | События несовместны и покрывают все исходы | Деталь пришла либо с линии A, либо с линии B |

Несовместность и независимость проверяются разными вопросами: «могут ли события случиться вместе?» и «меняет ли одно вероятность другого?». Несовместные события с ненулевыми вероятностями всегда зависимы: как только произошло одно, вероятность второго падает до нуля.

## Классическая и геометрическая вероятность

| Формула | Расшифровка обозначений | Когда работает |
|---|---|---|
| P(A) = m / n | m — число благоприятных исходов, n — число всех равновозможных | Исходы равновозможны и их можно пересчитать |
| P(A) не меньше 0 и не больше 1 | вероятность не бывает отрицательной и не бывает больше единицы | Проверка ответа перед записью в бланк |
| P(невозможного) = 0, P(достоверного) = 1 | крайние точки той же шкалы | «Сумма на двух костях равна 13» — ноль |
| P = мера части / мера целого | мера — длина, площадь или объём | Геометрическая вероятность: точка брошена наудачу |

Геометрический случай: точка наудачу выбирается на отрезке длиной 10, благоприятен участок длиной 2, вероятность равна 2/10 = 0,2. Исходов бесконечно много, поэтому вместо их числа берут длину.

## Сложение и умножение вероятностей

| Формула | Расшифровка обозначений | Типовая ситуация |
|---|---|---|
| P(A или B) = P(A) + P(B) | A и B несовместны | «Выпадет 5 или 6» на одной кости |
| P(A или B) = P(A) + P(B) − P(A и B) | события совместны, общая часть учтена дважды | Сок закончился хотя бы в одном из двух автоматов |
| P(A и B) = P(A) · P(B) | A и B независимы | Два выстрела, две лампы, два броска монеты |
| P(A и B) = P(A) · P(B при условии A) | события зависимы, общий случай | Второй шар вынимают, не вернув первый |
| P(A1 и A2 и … и An) = p1 · p2 · … · pn | все n событий независимы | Серия одинаковых испытаний подряд |
| Сумма вероятностей полной группы равна 1 | каждый исход учтён ровно один раз | Проверка построенного дерева |

Союз подсказывает действие: «и» — умножение вдоль цепочки, «или» — сложение цепочек. Но решает вид событий: складывать без вычитания можно только несовместные, перемножать без условной вероятности — только независимые.

## Противоположное событие и «хотя бы один»

| Формула | Расшифровка обозначений | Типовая ситуация |
|---|---|---|
| P(не A) = 1 − P(A) | «не A» — противоположное событие | Дополнение считается быстрее прямого перебора |
| P(хотя бы один) = 1 − P(ни одного) | «ни одного» — все испытания дали неудачу | Три выстрела, две лампы, серия попыток |
| P(ни одного из n) = q^n | q = 1 − p, испытания независимы и одинаковы | Одинаковые детали, одинаковые броски |
| P(хотя бы один из n) = 1 − q^n | то же правило в одну строку | Самая частая формула задания 5 |

Проверка на числах: при вероятности попадания 0,7 и трёх выстрелах «ни одного попадания» — это 0,3³ = 0,027, значит «хотя бы одно» равно 0,973. Прямой подсчёт даёт то же самое, но втрое длиннее: 0,441 + 0,189 + 0,343 = 0,973.

## Условная вероятность и полная вероятность

| Формула | Расшифровка обозначений | Типовая ситуация |
|---|---|---|
| P(A при условии B) = P(A и B) / P(B) | известно, что B уже произошло; P(B) больше нуля | «Известно, что деталь бракованная» |
| P(A) = P(H1)·P(A при H1) + P(H2)·P(A при H2) + … | H1, H2, … — гипотезы, полная группа несовместных событий | Товар от двух линий, поставщиков, фабрик |
| P(H1) + P(H2) + … = 1 | гипотезы покрывают все случаи | Проверка условия до подстановки |
| P(H1 при условии A) = P(H1)·P(A при H1) / P(A) | формула Байеса, обратный ход | «Брак нашли — с какой линии деталь?» |

Пример: бросают кость, известно, что выпало чётное число. Вероятность того, что это шестёрка, равна (1/6) : (1/2) = 1/3, то есть примерно 0,33 — знание сузило множество исходов с шести до трёх.

## Схема Бернулли и подсчёт исходов

| Формула | Расшифровка обозначений | Типовая ситуация |
|---|---|---|
| P(k успехов из n) = C(n, k) · pᵏ · q^(n − k) | n — число испытаний, p — вероятность успеха, q = 1 − p | Одинаковые независимые испытания подряд |
| C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!) | число способов выбрать k мест из n | Сколькими способами расставить попадания |
| C(n, 0) = C(n, n) = 1, C(n, 1) = n, C(n, 2) = n(n − 1)/2 | значения, которые считают устно | Быстрая подстановка без факториалов |
| Число исходов при n бросках монеты равно 2^n | у каждого броска два результата | Четыре броска дают 16 исходов |
| Число исходов при n бросках кости равно 6^n | у каждого броска шесть результатов | Две кости дают 36 исходов |
| Перестановки: n! | все n объектов расставляют по местам | Порядок выступлений или рейсов |
| Размещения: n! / (n − k)! | выбирают k объектов из n, порядок важен | Распределение призовых мест |

Монету бросают пять раз, нужны ровно три орла. Всего исходов 32 (2 в пятой степени), благоприятных C(5, 3) = 10, ответ 10/32 = 0,3125. Стрелок с вероятностью попадания 0,7 делает четыре выстрела, нужны ровно три попадания: C(4, 3) · 0,7³ · 0,3 = 4 · 0,343 · 0,3 = 0,4116.

## Случайные величины: новый номер 6

| Формула | Расшифровка обозначений | Замечание |
|---|---|---|
| Таблица распределения: значения x и вероятности p | перечислены все исходы, сумма всех p равна 1 | Первое, что стоит проверить в условии |
| M(X) = x1 · p1 + x2 · p2 + … + xn · pn | математическое ожидание — среднее с весами | Это не среднее арифметическое значений |
| D(X) = M(X²) − (M(X))² | дисперсия — мера разброса вокруг среднего | M(X²) считают по тем же вероятностям |
| Стандартное отклонение = корень из D(X) | квадратный корень из дисперсии | Иногда просят именно его, а не дисперсию |
| Для n испытаний Бернулли: M = np, D = npq | X — число успехов в серии, q = 1 − p | Быстрый ход без таблицы распределения |

Разбор: величина X принимает значения 0, 1 и 2 с вероятностями 0,2, 0,5 и 0,3, их сумма равна 1. Ожидание: 0 · 0,2 + 1 · 0,5 + 2 · 0,3 = 1,1. Ожидание квадратов: 0 · 0,2 + 1 · 0,5 + 4 · 0,3 = 1,7. Дисперсия: 1,7 − 1,1² = 0,49. Стандартное отклонение: корень из 0,49 равен 0,7.

## Какие сюжеты повторяются в задачах на вероятность?

### Монеты

Монету бросают четыре раза, всего исходов 16 (2 в четвёртой степени). Ровно два орла: два места из четырёх выбираются C(4, 2) = 6 способами, вероятность 6/16 = 0,375. Ни одного орла — один исход, 1/16 = 0,0625. Хотя бы один орёл — противоположное событие: 1 − 0,0625 = 0,9375.

### Кубики

| Событие при броске двух костей | Благоприятных исходов из 36 | Вероятность |
|---|---|---|
| Сумма равна 7 | 6 | 1/6 (около 0,17) |
| Сумма равна 8 | 5 | 5/36 (около 0,14) |
| Сумма равна 10 | 3 | 1/12 (около 0,08) |
| Сумма больше 9 | 6 | 1/6 (около 0,17) |
| Выпали одинаковые числа | 6 | 1/6 (около 0,17) |
| Хотя бы одна шестёрка | 11 | 11/36 (около 0,31) |
| Обе шестёрки | 1 | 1/36 (около 0,03) |
| Произведение равно 6 | 4 | 1/9 (около 0,11) |
| Числа различаются на единицу | 10 | 5/18 (около 0,28) |

Исход здесь — упорядоченная пара: (2; 6) и (6; 2) различны, поэтому в знаменателе 36, а не 21. Строку про шестёрку проще получить дополнением: ни одной шестёрки — 5 · 5 = 25 исходов, значит хотя бы одна даёт 36 − 25 = 11.

### Стрелки и попадания

Вероятность попадания при одном выстреле 0,7, выстрелы независимы, всего их три. Все три попадания: 0,7³ = 0,343. Ни одного: 0,3³ = 0,027. Хотя бы одно: 1 − 0,027 = 0,973. Ровно два попадания: C(3, 2) · 0,7² · 0,3 = 3 · 0,49 · 0,3 = 0,441. Проверка полной группы: 0,343 + 0,441 + 0,189 + 0,027 = 1.

### Лампочки и фонари

Помещение освещают два фонаря, каждый перегорает за год с вероятностью 0,2 независимо от второго. Оба перегорят: 0,2 · 0,2 = 0,04, значит хотя бы один будет работать с вероятностью 0,96. Ровно один перегорит: 2 · 0,2 · 0,8 = 0,32, ни один не перегорит: 0,8² = 0,64. Сумма 0,04 + 0,32 + 0,64 = 1 показывает, что ветви не потеряны.

### Брак на производстве

Линия A выпускает 60 % деталей, линия B — остальные 40 %. Доля брака на A равна 2 %, на B — 5 %. Дерево исходов даёт четыре ветви.

| Ветвь дерева | Вероятность ветви | Что она описывает |
|---|---|---|
| Линия A, деталь бракованная | 0,6 · 0,02 = 0,012 | Гипотеза A вместе с браком |
| Линия A, деталь годная | 0,6 · 0,98 = 0,588 | Гипотеза A вместе с годной деталью |
| Линия B, деталь бракованная | 0,4 · 0,05 = 0,020 | Гипотеза B вместе с браком |
| Линия B, деталь годная | 0,4 · 0,95 = 0,380 | Гипотеза B вместе с годной деталью |

Сумма всех ветвей 0,012 + 0,588 + 0,020 + 0,380 = 1. Вероятность взять бракованную деталь складывается из двух ветвей с браком: 0,012 + 0,020 = 0,032 — это и есть формула полной вероятности. Обратный ход даёт формула Байеса: если деталь бракованная, вероятность линии A равна 0,012 : 0,032 = 0,375.

### Очередь и жребий

На конференции 25 докладчиков: 10 из Москвы, 7 из Казани, остальные из Новосибирска, порядок выступлений определяет жребий. Первым выступит москвич с вероятностью 10/25 = 0,4, последним выступит новосибирец с вероятностью (25 − 10 − 7)/25 = 8/25 = 0,32. Номер места в очереди на ответ не влияет: доли для первого и последнего одинаковы. Тот же приём в задачах про рейсы: группу из 40 человек развозят автобусом по 8 человек в случайном порядке, вероятность попасть в первый рейс равна 8/40 = 0,2.

### Футбольные группы

Шестнадцать команд жребием делят на четыре группы по четыре: в ящике по четыре карточки с номерами 1, 2, 3 и 4, капитаны тянут по одной. Названная команда попадёт в третью группу с вероятностью 4/16 = 0,25. Две названные команды окажутся в одной группе с вероятностью 3/15 = 0,2: первая тянет любую карточку, а второй из оставшихся 15 подходят 3 карточки с тем же номером. В задаче о парах первого тура счёт похожий: 16 команд разбивают на восемь пар, и две названные команды сыграют между собой с вероятностью 1/15, примерно 0,067.

### Два автомата

В столовой два одинаковых автомата с соком. Вероятность того, что к концу дня сок закончится в автомате, равна 0,4, а в обоих сразу — 0,15. События совместны, поэтому «закончится хотя бы в одном» считают с вычитанием: 0,4 + 0,4 − 0,15 = 0,65, а «останется в обоих» равно 1 − 0,65 = 0,35. Перемножать нельзя: 0,4 · 0,4 = 0,16, а по условию совместное событие имеет вероятность 0,15 — автоматы зависимы.

## Как решать задачу на вероятность по шагам?

1. Назовите событие словами и определите испытание: пока не ясно, что считается одним исходом, подставлять формулу рано.
2. Читайте союзы, но проверяйте вид событий. «И» ведёт к умножению вдоль ветви, «или» — к сложению ветвей, «хотя бы» — к вычитанию из единицы.
3. Считайте исходы упорядоченными наборами: для двух костей это 36 пар, для четырёх бросков монеты — 16 цепочек. Так знаменатель не теряет случаи.
4. Рисуйте дерево, когда событий больше двух: вдоль ветви вероятности перемножаются, подходящие ветви складываются, сумма всех ветвей обязана дать единицу.
5. Проверяйте ответ на границы: вероятность лежит между нулём и единицей, а в бланк идёт конечная десятичная дробь с округлением по условию.

## Какие ошибки чаще всего делают в задачах на вероятность?

- Путают несовместность и независимость: несовместные события не могут случиться вместе, независимые не влияют друг на друга, и одно свойство не следует из другого.
- Складывают вероятности там, где события происходят вместе. «Оба фонаря перегорят» — это 0,2 · 0,2 = 0,04, а не 0,2 + 0,2 = 0,4.
- Считают «хотя бы один» напрямую и теряют случаи. Через противоположное событие короче: 1 − 0,3³ = 0,973 вместо трёх слагаемых.
- Забывают множитель C(n, k) в схеме Бернулли. Ровно два попадания из трёх — это 3 · 0,49 · 0,3 = 0,441, а не 0,147: попадания расставляются тремя способами.
- Берут в знаменатель не всё множество исходов: для двух костей это 36 упорядоченных пар, а не 21 и не 12.

## Вопросы и ответы

### Сколько заданий на вероятность в профильной математике 2027 года?

Три: номера 4, 5 и 6 в первой части, каждое по одному баллу, вместе 3 первичных балла из 33. Задание 4 базового уровня, задания 5 и 6 — повышенного.

### Что нового в задании 6?

Этот номер появился в проекте 2027 года и посвящён случайным величинам: таблица распределения, математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение. Раньше отдельного задания на эту тему в работе не было.

### Как отличить сложение от умножения?

По тому, что происходит с событиями. Если они исключают друг друга и нужно «одно или другое» — складывают. Если события идут подряд и нужно, чтобы случились оба, — умножают, причём для зависимых событий второй множитель берут условным.

### Обязательно ли учить формулу Бернулли?

Для базовой математики нет, там достаточно отношения m/n. В задании 5 профильного уровня она экономит время: без неё серию одинаковых испытаний приходится разбирать перебором цепочек.

### Как записывать ответ?

Числом, обычно конечной десятичной дробью с запятой в качестве разделителя. Обыкновенная дробь в бланке не принимается, а если в условии сказано округлить до сотых или тысячных, округляют ровно так, как просят.

### Есть ли вероятность в базовой математике?

Да, одно задание — номер 5, один балл. Требуется только классическое определение: посчитать благоприятные исходы, посчитать все и разделить. Структура базового экзамена в 2027 году не меняется.

## Источники

- [ФИПИ. Демоверсии, спецификации, кодификаторы ЕГЭ](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory) — проект спецификации по математике профильного уровня: 20 заданий, 235 минут, 33 первичных балла, и кодификатор с разделом о вероятности и статистике.
- [ФИПИ. Планируемые изменения в КИМ ЕГЭ 2027 года](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/Plan_izmeneniya_KIM_EGE_2027.pdf) — появление задания 6 на случайные величины и новая нумерация первой части.
- [ФИПИ. Открытый банк заданий ЕГЭ](https://fipi.ru/ege/otkrytyy-bank-zadaniy-ege) — формулировки заданий на вероятность и требования к форме записи краткого ответа.
- [Рособрнадзор. Материалы для подготовки к ЕГЭ](https://obrnadzor.gov.ru/navigator-gia/materialy-dlya-podgotovki-k-ege/demoversii-speczifikaczii-i-kodifikatory-ege/) — официальная публикация демоверсий, спецификаций и кодификаторов.