---
title: "Арифметическая прогрессия: формулы n-го члена и суммы"
description: "Арифметическая прогрессия: формула n-го члена, разности, номера члена и суммы первых n членов. Таблица формул, решённые примеры и текстовые задачи."
url: https://neuromisha.ru/spravochnik/arifmeticheskaya-progressiya/
dateModified: 2026-10-18
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Арифметическая прогрессия: все формулы и примеры

Арифметическая прогрессия: a_n = a_1 + (n − 1)d, сумма S_n = ((a_1 + a_n) · n)/2. У прогрессии 3, 7, 11, … десятый член равен 3 + 9 · 4 = 39.

*Поиск по таблице работает на странице (нужен JavaScript).*

Арифметическая прогрессия — последовательность, в которой каждый член равен предыдущему плюс одно и то же число d: 3, 7, 11, 15… (d = 4). Её n-й член aₙ = a₁ + (n − 1)d, сумма первых n членов Sₙ = (a₁ + aₙ)·n/2. Ниже — все формулы, решённые примеры и текстовые задачи.

**Обновлено:** 2026-10-18 · Математика · школьный курс алгебры 9 класса; кодификатор ЕГЭ 2027 по математике

## Формулы арифметической прогрессии

| Что найти | Формула | Пояснение и пример |
| --- | --- | --- |
| Определение | $a_{n + 1} = a_{n} + d$ | d — разность прогрессии: 3, 7, 11, 15 — d = 4 |
| Разность | $d = a_{n + 1} - a_{n}$ | d > 0 — возрастает, d < 0 — убывает, d = 0 — постоянна |
| n-й член | $a_{n} = a_{1} + (n - 1)d$ | a_20 прогрессии 3, 7, 11, … равен 3 + 19 · 4 = 79 |
| Член через любой другой | $a_{n} = a_{k} + (n - k)d$ | a_10 = a_6 + 4d |
| Разность через два члена | $d = \frac{a_{m} - a_{k}}{m - k}$ | a_4 = 10, a_9 = 35: d = 25/5 = 5 |
| Номер члена | $n = \frac{a_{n} - a_{1}}{d} + 1$ | если получилось не натуральное число — такого члена в прогрессии нет |
| Характеристическое свойство | $a_{n} = \frac{a_{n - 1} + a_{n + 1}}{2}$ | каждый член — среднее арифметическое соседей |
| Равноудалённые члены | $a_{k} + a_{m} = a_{p} + a_{s}, k + m = p + s$ | a_1 + a_n = a_2 + a_(n − 1) = … |
| Сумма первых n членов | $S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n}) \cdot n}{2}$ | известны первый и последний члены |
| Сумма через разность | $S_{n} = \frac{2a_{1} + (n - 1)d}{2} \cdot n$ | известны a_1 и d |
| Член через суммы | $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ | n ≥ 2; a_1 = S_1 |
| Сумма натуральных чисел | $1 + 2 + … + n = \frac{n(n + 1)}{2}$ | 1 + 2 + … + 50 = 1275 |
| Сумма нечётных чисел | $1 + 3 + … + (2n - 1) = n^{2}$ | сумма первых 7 нечётных — 49 |

Формулы геометрической прогрессии — на странице геометрическая прогрессия, обе прогрессии рядом и калькулятор — в формулах прогрессий.

## Примеры: арифметическая прогрессия

*Решённые задачи на арифметическую прогрессию: член, разность, номер, сумма*

| Условие | Решение | Ответ |
| --- | --- | --- |
| $a_{1} = -6, d = 2{,}5. \text{Найти} a_{11}.$ | $a_{11} = -6 + 10 \cdot 2{,}5$ | 19 |
| $a_{1} = -6, d = 2{,}5. \text{Найти} S_{11}.$ | $S_{11} = \frac{(-6 + 19) \cdot 11}{2}$ | 71,5 |
| $a_{3} = 8, a_{7} = 20. \text{Найти} a_{1}.$ | $d = \frac{12}{4} = 3, a_{1} = 8 - 2 \cdot 3$ | 2 |
| Прогрессия 7, 11, 15, … Есть ли в ней 101? | $n = \frac{101 - 7}{4} + 1 = 24{,}5$ | нет |
| Сумма чисел от 1 до 50 | $S = \frac{50 \cdot 51}{2}$ | 1275 |
| Сколько членов прогрессии 1, 4, 7, … нужно сложить, чтобы получить 70? | $\frac{2 + 3(n - 1)}{2} \cdot n = 70, 3n^{2} - n - 140 = 0$ | n = 7 |

## Арифметическая прогрессия в текстовых задачах

*Как узнать арифметическую прогрессию в условии и что искать*

| Сюжет | Прогрессия | Что спрашивают |
| --- | --- | --- |
| каждый день пробегает на 500 м больше | $a_{1} — \text{первый день}, d = 0{,}5 \text{км}$ | расстояние в n-й день или за n дней |
| в каждом следующем ряду на 2 места больше | $a_{1} — \text{первый ряд}, d = 2$ | мест в последнем ряду или всего в зале |
| свободное падение: за каждую секунду путь больше на g | пути за секунды: 5, 15, 25, … м при g = 10 | путь за n-ю секунду |
| рабочий каждый день делает на k деталей больше | d = k | $\text{за сколько дней выполнит заказ} — \text{сумма} S_{n}$ |

Признак арифметической прогрессии в условии — слова «на столько-то больше (меньше), чем в предыдущий». Если сказано «в столько-то раз» или «на столько-то процентов», прогрессия геометрическая.

## Откуда формула суммы арифметической прогрессии?

Запишем сумму дважды — в прямом и обратном порядке: S = a_1 + a_2 + … + a_n и S = a_n + a_(n − 1) + … + a_1. Сложим столбиком: каждая пара даёт одно и то же число a_1 + a_n, пар — n. Значит, 2S = (a_1 + a_n) · n.

Так, по известной истории, юный Гаусс сложил числа от 1 до 100: 50 пар по 101 — 5050.

## Пример текстовой задачи

В первом ряду зала 20 мест, в каждом следующем — на 2 больше. Сколько мест в 15-м ряду и во всех 15 рядах? Это прогрессия с a_1 = 20, d = 2: a_15 = 20 + 14 · 2 = 48, S_15 = ((20 + 48) · 15)/2 = 510.

## Где ошибаются чаще всего?

- Пишут a_n = a_1 + nd — лишняя разность. До n-го члена от первого n − 1 шагов.
- Путают номер члена и его значение: a_5 = 20 значит «пятый член равен 20».
- Считают разность убывающей прогрессии положительной: у 17, 13, 9 разность −4.
- Решают сумму по формуле геометрической прогрессии, когда в условии «на», а не «в».

## Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?

Арифметическая прогрессия на ЕГЭ 2027 встречается в текстовой задаче — задание 11 профильной математики, на базе — в заданиях 19–21 на числа, перебор и практические расчёты, а в задании 20 профиля — в задачах о числах.

- [Задание 11 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-11/) — Текстовая задача: движение, работа, прогрессии.
- [Задание 20 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-20/) — Числа и их свойства: последовательности и суммы.
- [Задание 21 базовой математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika-baza/zadanie-21/) — Логика и перебор: последовательности с постоянным шагом.

**Теория по теме:**

- [Арифметическая и геометрическая прогрессии](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/arifmeticheskaya-i-geometricheskaya-progressii/)

## Вопросы и ответы

### Что такое арифметическая прогрессия?

Числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d. Пример: 5, 8, 11, 14 — d = 3.

### Как найти разность арифметической прогрессии?

Вычесть из любого члена предыдущий: d = a_2 − a_1. Если известны два несоседних члена, d = (a_m − a_k)/(m − k).

### Как найти n-й член арифметической прогрессии?

По формуле a_n = a_1 + (n − 1)d. У прогрессии с a_1 = 4 и d = −3 двадцатый член равен 4 − 57 = −53.

### Как найти сумму арифметической прогрессии?

S_n = ((a_1 + a_n) · n)/2: полусумма первого и последнего членов, умноженная на их количество. Сумма чётных чисел от 2 до 100 — ((2 + 100) · 50)/2 = 2550.

## Источники

- [ФИПИ: проект демоверсии, спецификации и кодификатора ЕГЭ 2027 по математике](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/ma_11_2027.zip) — кодификатор, раздел «Последовательности»: арифметическая прогрессия, формула общего члена и суммы
- [ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory) — раздел с документами ЕГЭ по всем предметам
- Проверка примеров — члены и суммы из таблиц и тренажёра пересчитаны программой прямым сложением

## Другие справочные таблицы

- [Формулы арифметической и геометрической прогрессии](https://neuromisha.ru/spravochnik/formuly-progressiy/)
- [Геометрическая прогрессия: все формулы и примеры](https://neuromisha.ru/spravochnik/geometricheskaya-progressiya/)
- [Объём куба: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/obem-kuba/)
- [Свойства степеней: таблица формул с примерами](https://neuromisha.ru/spravochnik/svoystva-stepeney/)
- [Теорема Виета: формулы и примеры решения](https://neuromisha.ru/spravochnik/teorema-vieta/)
- [Теорема синусов: формула, следствия и примеры](https://neuromisha.ru/spravochnik/teorema-sinusov/)
- [Все таблицы по математике](https://neuromisha.ru/spravochnik/#matematika)

---

Источник: https://neuromisha.ru/spravochnik/arifmeticheskaya-progressiya/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.