---
title: "Формула дискриминанта и корней квадратного уравнения, калькулятор"
description: "Формула дискриминанта D = b² − 4ac и корней x1, x2 = (−b ± √D)/2a: дискриминант на 4, теорема Виета, неполные уравнения и калькулятор с решением."
url: https://neuromisha.ru/spravochnik/formula-diskriminanta/
dateModified: 2026-09-29
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Формула дискриминанта и корней квадратного уравнения

Формула дискриминанта для уравнения ax^2 + bx + c = 0: D = b^2 − 4ac. Если D > 0 — два корня x_1,2 = (−b ± √D)/(2a), если D = 0 — один корень x = −b/(2a), если D < 0 — действительных корней нет.

*Калькулятор дискриминанта и корней работает на странице (нужен JavaScript).*

Квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 решают так: считают дискриминант D = b² − 4ac, по его знаку понимают, сколько корней, и подставляют D в формулу корней. В таблице — все формулы по порядку: сам дискриминант, корни, случай чётного b, теорема Виета и разложение на множители. Ниже — неполные уравнения и разобранные примеры.

**Обновлено:** 2026-09-29 · Математика

## Формулы дискриминанта и корней квадратного уравнения

| Что | Формула | Когда применять |
| --- | --- | --- |
| Квадратное уравнение | $ax^{2} + bx + c = 0$ | a ≠ 0; a — старший коэффициент, b — второй, c — свободный член |
| Дискриминант | $D = b^{2} - 4ac$ | считают первым: по знаку D видно, сколько корней |
| Два корня, D > 0 | $x_{1{,}2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ | плюс даёт x_1, минус — x_2 |
| Один корень, D = 0 | $x = -\frac{b}{2a}$ | трёхчлен — полный квадрат: ax^2 + bx + c = a(x − x_0)^2 |
| Нет корней, D < 0 | $D < 0 ⇒ \text{корней нет}$ | действительных корней нет, парабола не пересекает ось Ox |
| Чётный второй коэффициент, b = 2k | $D_{1} = k^{2} - ac; x_{1{,}2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_{1}}}{a}$ | D_1 = D/4 — числа меньше, считать быстрее |
| Теорема Виета | $x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a}; x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$ | при D ≥ 0; удобно проверять ответ и подбирать корни |
| Приведённое уравнение, a = 1 | $x^{2} + px + q = 0: x_{1} + x_{2} = -p; x_{1}x_{2} = q$ | корни часто подбираются в уме по теореме Виета |
| Разложение на множители | $ax^{2} + bx + c = a(x - x_{1})(x - x_{2})$ | при D ≥ 0; нужно для сокращения дробей и метода интервалов |
| Вершина параболы | $x_{0} = -\frac{b}{2a}$ | середина между корнями; при D = 0 совпадает с корнем |

Корни удобно проверять по теореме Виета: их сумма равна −b/a, произведение — c/a. На ЕГЭ квадратные уравнения решают в задании 17 базовой математики, а в профильной к ним сводится простейшее уравнение задания 7 после замены.

## Неполные квадратные уравнения

*Неполные квадратные уравнения, в которых b или c равны нулю: как решать без дискриминанта*

| Вид | Как решать | Корни | Пример |
| --- | --- | --- | --- |
| $b = 0, c = 0: ax^{2} = 0$ | разделить на a | x = 0 | $5x^{2} = 0 ⇒ x = 0$ |
| $b = 0: ax^{2} + c = 0$ | $x^{2} = -\frac{c}{a}$ | $x = \pm\sqrt{-\frac{c}{a}}, \text{если} -\frac{c}{a} > 0; \text{иначе корней нет}$ | $2x^{2} - 18 = 0 ⇒ x = \pm 3$ |
| $c = 0: ax^{2} + bx = 0$ | вынести x: x(ax + b) = 0 | $x = 0 \text{и} x = -\frac{b}{a}$ | $3x^{2} + 6x = 0 ⇒ x = 0, x = -2$ |

Неполные уравнения можно решать и через дискриминант — ответ будет тем же, но вынести x за скобку или извлечь корень быстрее.

## Примеры: дискриминант и корни

*Примеры на формулу дискриминанта: уравнение, значение D и корни x1 и x2*

| Уравнение | Дискриминант | Корни |
| --- | --- | --- |
| $x^{2} - 5x + 6 = 0$ | D = 25 − 24 = 1 | $x_{1} = 3, x_{2} = 2$ |
| $2x^{2} - 7x - 15 = 0$ | D = 49 + 120 = 169 | $x_{1} = 5, x_{2} = -1{,}5$ |
| $x^{2} - 6x + 9 = 0$ | D = 36 − 36 = 0 | x = 3 |
| $x^{2} + x + 1 = 0$ | D = 1 − 4 = −3 | корней нет |
| $x^{2} - 2x - 1 = 0$ | D = 4 + 4 = 8 | $x = 1 \pm \sqrt{2}$ |
| $-x^{2} + 4x + 5 = 0$ | D = 16 + 20 = 36 | $x_{1} = -1, x_{2} = 5$ |

При a < 0 удобно сначала умножить уравнение на −1: −x² + 4x + 5 = 0 и x² − 4x − 5 = 0 имеют одни и те же корни.

## Дискриминант, делённый на 4: формула для чётного b

Если второй коэффициент чётный, b = 2k, удобнее считать не D, а D_1 = D/4 = k^2 − ac. Тогда корни x_1,2 = (−k ± √(D_1))/a: числа меньше, а делить на 2 не нужно.

Пример: x^2 − 6x + 5 = 0. Здесь b = −6, k = −3, D_1 = 9 − 5 = 4, x_1,2 = 3 ± 2, то есть x_1 = 5, x_2 = 1. По обычной формуле получится то же: D = 36 − 20 = 16, x_1,2 = (6 ± 4)/2.

## Если D = 0: один корень

При нулевом дискриминанте оба корня совпадают: x = −b/(2a). Квадратный трёхчлен в этом случае — полный квадрат, а вершина параболы лежит на оси Ox.

Пример: x^2 − 6x + 9 = 0. D = 36 − 36 = 0, x = 6/2 = 3. Проверка: x^2 − 6x + 9 = (x − 3)^2, и этот квадрат равен нулю только при x = 3.

## Откуда берётся формула корней?

Из выделения полного квадрата. Делим уравнение на a и переносим свободный член: x^2 + b/ax = −c/a. Прибавляем к обеим частям (b^2)/(4a^2): слева получается (x + b/(2a))^2, справа (b^2 − 4ac)/(4a^2). Числитель справа и есть дискриминант.

Если D < 0, квадрат равен отрицательному числу — корней нет. Если D ≥ 0, извлекаем корень: x + b/(2a) = ±√D/(2a), откуда x = (−b ± √D)/(2a).

## Где чаще всего ошибаются?

- Теряют минус у b: при b = −7 в формулу корней идёт −b = 7, а в дискриминант — (−7)^2 = 49.
- Забывают, что при отрицательном c произведение −4ac положительно: у 2x^2 − 7x − 15 = 0 дискриминант 49 + 120, а не 49 − 120.
- Делят только √D на 2a, а −b оставляют: делить нужно весь числитель.
- Не проверяют ответ. Подстановка или теорема Виета занимают полминуты и ловят почти все ошибки в знаках.

## Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?

Квадратные уравнения входят в кодификатор ЕГЭ по математике обоих уровней; сами по себе они встречаются в базовом уровне, а в профильном почти любое уравнение после замены сводится к квадратному.

- [Задание 17 базовой математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika-baza/zadanie-17/) — Решить уравнение и записать больший корень — часто это квадратное уравнение.
- [Задание 7 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-7/) — Простейшее уравнение: после преобразований нередко получается квадратное.
- [Задание 14 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-14/) — Тригонометрическое или показательное уравнение, квадратное относительно sin x или 2^x.
- [Задание 16 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-16/) — Неравенство: квадратный трёхчлен раскладывают на множители по корням для метода интервалов.

**Теория по теме:**

- [Целые и дробно-рациональные уравнения/неравенства](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/celye-i-drobno-racionalnye-uravneniya-neravenstv/)
- [Квадратичные неравенства, метод интервалов](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/kvadratichnye-neravenstva-metod-intervalov/)
- [Целые и дробно-рациональные уравнения на базовом ЕГЭ](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika-baza/celye-i-drobno-racionalnye-uravneniya/)

## Вопросы и ответы

### Что такое дискриминант?

Число D = b² − 4ac, которое составляют из коэффициентов квадратного уравнения. Название происходит от латинского discriminare — «различать»: по знаку D различают, два корня у уравнения, один или ни одного.

### Можно ли решить квадратное уравнение без дискриминанта?

Да. Неполные уравнения решают вынесением x за скобку или извлечением корня. Приведённое уравнение с целыми корнями быстрее решить подбором по теореме Виета. Иногда видно полный квадрат: x² − 6x + 9 = (x − 3)².

### Что делать, если дискриминант отрицательный?

Записать, что действительных корней нет. Если по условию задачи корни должны быть, отрицательный дискриминант — повод перепроверить знаки: чаще всего ошибка в −4ac при отрицательном a или c.

### Дают ли формулу дискриминанта на ЕГЭ?

В базовой математике формула корней квадратного уравнения напечатана в справочных материалах (по демоверсии 2026 года), в профильной — нет, её нужно помнить. Состав справки — на странице справочные материалы ЕГЭ.

## Источники

- [ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory) — кодификатор ЕГЭ по математике: квадратные уравнения, теорема Виета, разложение квадратного трёхчлена; справочные материалы базового уровня с формулой корней
- Примеры и калькулятор — значения дискриминанта и корней в примерах пересчитаны программой; калькулятор считает теми же формулами, что в таблице

## Другие справочные таблицы

- [Теорема Виета: формулы и примеры](https://neuromisha.ru/spravochnik/teorema-vieta/)
- [Тригонометрические уравнения: формулы корней и готовые ответы](https://neuromisha.ru/spravochnik/trigonometricheskie-uravneniya/)
- [Площадь квадрата: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/ploshchad-kvadrata/)
- [Свойства корней: таблица формул](https://neuromisha.ru/spravochnik/svoystva-korney/)
- [Уравнение окружности: формула и как найти центр и радиус](https://neuromisha.ru/spravochnik/uravnenie-okruzhnosti/)
- [Таблица квадратных корней от 1 до 100](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-kvadratnyh-korney/)
- [Все таблицы по математике](https://neuromisha.ru/spravochnik/#matematika)

---

Источник: https://neuromisha.ru/spravochnik/formula-diskriminanta/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.