---
title: "Формулы комбинаторики: перестановки, размещения, сочетания"
description: "Формулы комбинаторики: перестановки, размещения, сочетания, выборки с повторениями. Как выбрать формулу, таблица факториалов и треугольник Паскаля."
url: https://neuromisha.ru/spravochnik/formuly-kombinatoriki/
dateModified: 2026-09-29
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Формулы комбинаторики: таблица с примерами

Перестановки P_n = n!, размещения A_n^k = (n!)/((n − k)!) (порядок важен), сочетания C_n^k = (n!)/(k!(n − k)!) (порядок не важен). Двух дежурных из 5 человек выбирают C_5^2 = 10 способами.

*Поиск по таблице работает на странице (нужен JavaScript).*

Основные формулы комбинаторики: перестановки Pₙ = n!, размещения Aₙᵏ = n!/(n − k)! и сочетания Cₙᵏ = n!/(k!(n − k)!). Выбор формулы зависит от двух вопросов: важен ли порядок и можно ли повторять элементы. В первой таблице — все формулы с условиями и примером, ниже — таблица факториалов до 12! и треугольник Паскаля с числами сочетаний.

**Обновлено:** 2026-09-29 · Математика · школьный курс «Вероятность и статистика» 7–11 классов; кодификатор ЕГЭ 2027 по математике

## Формулы комбинаторики

| Что считаем | Формула | Когда и пример |
| --- | --- | --- |
| Правило суммы | $N = m + n$ | выбор «или»: из 5 яблок или 3 груш — 8 способов |
| Правило произведения | $N = m \cdot n$ | выбор «и»: 3 рубашки и 4 брюк — 12 комплектов |
| Факториал | $n! = 1 \cdot 2 \cdot … \cdot n$ | 0! = 1, 5! = 120 |
| Перестановки | $P_{n} = n!$ | все n элементов по порядку: 4 книги на полке — 24 способа |
| Размещения | $A_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)!}$ | k из n, порядок важен: A_5^2 = 20 |
| Сочетания | $C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!}$ | k из n, порядок не важен: C_5^2 = 10 |
| Размещения с повторениями | $Ā_{n}^{k} = n^{k}$ | коды, пароли: 4-значный PIN из 10 цифр — 10^4 |
| Перестановки с повторениями | $P = \frac{n!}{n_{1}! \cdot n_{2}! \cdot … \cdot n_{m}!}$ | слова из букв с повторами: «МАМА» — (4!)/(2! · 2!) = 6 |
| Сочетания с повторениями | $C̄_{n}^{k} = C_{n + k - 1}^{k}$ | 3 пирожных из 4 видов: C_6^3 = 20 |
| Связь размещений и сочетаний | $A_{n}^{k} = C_{n}^{k} \cdot k!$ | выбрали k элементов и упорядочили их |
| Симметрия сочетаний | $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ | выбрать 8 из 10 — то же, что оставить 2 |
| Сумма сочетаний | $C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + … + C_{n}^{n} = 2^{n}$ | число всех подмножеств множества из n элементов |
| Классическая вероятность | $P(A) = \frac{m}{n}$ | m и n часто считают через сочетания |

## Как выбрать формулу: порядок и повторения

*Какую формулу комбинаторики взять: важен ли порядок и можно ли повторять элементы*

| Порядок важен? | Повторы можно? | Формула | Пример |
| --- | --- | --- | --- |
| да, берём все n | нет | $P_{n} = n!$ | очередь из 6 человек: 720 |
| да | нет | $A_{n}^{k}$ | места 1–3 из 8 бегунов: 336 |
| да | да | $n^{k}$ | трёхбуквенные слова из 5 букв: 125 |
| нет | нет | $C_{n}^{k}$ | команда из 3 человек из 8: 56 |
| нет | да | $C_{n + k - 1}^{k}$ | 3 шарика мороженого из 4 вкусов: 20 |

## Таблица факториалов от 0! до 12!

*Значения факториалов от 0 до 12*

| n! | Значение |
| --- | --- |
| 0! | 1 |
| 1! | 1 |
| 2! | 2 |
| 3! | 6 |
| 4! | 24 |
| 5! | 120 |
| 6! | 720 |
| 7! | 5 040 |
| 8! | 40 320 |
| 9! | 362 880 |
| 10! | 3 628 800 |
| 11! | 39 916 800 |
| 12! | 479 001 600 |

## Треугольник Паскаля: сочетания C из n по k

*Числа сочетаний из n по k для n от 0 до 8: строка — n, столбец — k*

| n \ k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| n = 0 | 1 |  |  |  |  |  |  |  |  |
| n = 1 | 1 | 1 |  |  |  |  |  |  |  |
| n = 2 | 1 | 2 | 1 |  |  |  |  |  |  |
| n = 3 | 1 | 3 | 3 | 1 |  |  |  |  |  |
| n = 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 |  |  |  |  |
| n = 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 |  |  |  |
| n = 6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 |  |  |
| n = 7 | 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 |  |
| n = 8 | 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 |

Каждое число равно сумме двух чисел над ним в предыдущей строке: C_n^k = C_(n − 1)^(k − 1) + C_(n − 1)^k.

## Как понять, какую формулу использовать?

Задайте два вопроса. Первый: меняется ли ответ, если переставить выбранные элементы? Если «старосту и заместителя» поменять местами — это другой выбор, порядок важен, нужны размещения. Если «двух дежурных» поменять — выбор тот же, порядок не важен, нужны сочетания.

Второй: можно ли брать один элемент несколько раз? Цифры в пароле повторяются — это выборка с повторениями, n^k. Люди в команде не повторяются — без повторений.

## Формулы комбинаторики в теории вероятностей

В задачах на вероятность комбинаторика считает исходы. Пример: в коробке 10 деталей, из них 3 бракованные, наугад берут 4. Всех способов C_10^4 = 210. Благоприятных, если ровно 2 бракованные: C_3^2 · C_7^2 = 3 · 21 = 63. Вероятность 63/210 = 0,3.

Формулу Бернулли тоже строят на сочетаниях: вероятность ровно k успехов в n испытаниях равна C_n^k p^k(1 − p)^(n − k).

## Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?

Комбинаторика на ЕГЭ 2027 по профильной математике нужна в заданиях 4 и 5 на вероятность — чтобы посчитать число исходов, и в задании 20 — в задачах на перебор. На базе — в задании 21 «Логика и перебор».

- [Задание 5 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-5/) — Сложение и умножение вероятностей, выбор деталей и людей через сочетания.
- [Задание 4 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-4/) — Простейшая вероятность: подсчёт исходов.
- [Задание 21 базовой математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika-baza/zadanie-21/) — Логика и перебор вариантов.

**Теория по теме:**

- [Комбинаторика](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/kombinatorika/)

## Вопросы и ответы

### Чем размещения отличаются от сочетаний?

В размещениях важен порядок выбранных элементов, в сочетаниях — нет. Поэтому размещений больше в k! раз: A_5^2 = 20, C_5^2 = 10.

### Почему 0! = 1?

Так договорились, чтобы формулы работали для крайних случаев: C_n^0 = (n!)/(0! · n!) = 1 — выбрать ноль элементов можно одним способом.

### Как посчитать число сочетаний без калькулятора?

Сократите факториалы: C_10^3 = (10 · 9 · 8)/(3 · 2 · 1) = 120. В числителе k множителей от n вниз, в знаменателе — k!.

### Какие формулы комбинаторики нужны для ЕГЭ?

Правила суммы и произведения, перестановки n!, сочетания C_n^k и размещения. Выборки с повторениями встречаются реже, но n^k для кодов и паролей стоит помнить.

## Источники

- [ФИПИ: проект демоверсии, спецификации и кодификатора ЕГЭ 2027 по математике](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/ma_11_2027.zip) — кодификатор, раздел «Вероятность и статистика»: элементы комбинаторики, перестановки, сочетания, правило умножения
- [ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory) — раздел с документами ЕГЭ по всем предметам
- Расчёт таблиц — факториалы, треугольник Паскаля и все числа в примерах посчитаны программой

## Другие справочные таблицы

- [Формулы теории вероятностей: таблица](https://neuromisha.ru/spravochnik/formuly-teorii-veroyatnostey/)
- [Таблица производных: все формулы с примерами](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-proizvodnyh/)
- [Свойства степеней: таблица формул](https://neuromisha.ru/spravochnik/svoystva-stepeney/)
- [Теорема Виета: формулы и примеры](https://neuromisha.ru/spravochnik/teorema-vieta/)
- [Признаки делимости: таблица с примерами](https://neuromisha.ru/spravochnik/priznaki-delimosti/)
- [Теорема синусов: формула, следствия и примеры](https://neuromisha.ru/spravochnik/teorema-sinusov/)
- [Все таблицы по математике](https://neuromisha.ru/spravochnik/#matematika)

---

Источник: https://neuromisha.ru/spravochnik/formuly-kombinatoriki/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.