---
title: "Формулы понижения степени: синус, косинус, тангенс, кубы"
description: "Формулы понижения степени: sin²α, cos²α, tg²α, кубы и четвёртые степени. Вывод из двойного угла и примеры в уравнениях и интегралах."
url: https://neuromisha.ru/spravochnik/formuly-ponizheniya-stepeni/
dateModified: 2026-09-29
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Формулы понижения степени: таблица с выводом

Формулы понижения степени: sin^2 α = (1 − cos 2α)/2, cos^2 α = (1 + cos 2α)/2, tg^2 α = (1 − cos 2α)/(1 + cos 2α); для куба синуса sin^3 α = (3 sin α − sin 3α)/4.

*Поиск по таблице работает на странице (нужен JavaScript).*

Формулы понижения степени заменяют квадрат синуса или косинуса выражением с двойным углом в первой степени: sin²α = (1 − cos 2α)/2, cos²α = (1 + cos 2α)/2. Это те же формулы косинуса двойного угла, прочитанные наоборот. В таблице — понижение для квадратов, кубов и четвёртых степеней, произведения sin α · cos α и тангенса, а ниже — вывод и примеры.

**Обновлено:** 2026-09-29 · Математика · школьный курс алгебры и начал анализа 10 класса; кодификатор ЕГЭ 2027 по математике

## Формулы понижения степени

| Что понижаем | Формула | Откуда и когда |
| --- | --- | --- |
| Квадрат синуса | $sin^{2} \alpha = \frac{1 - cos 2\alpha}{2}$ | из cos 2α = 1 − 2sin^2 α |
| Квадрат косинуса | $cos^{2} \alpha = \frac{1 + cos 2\alpha}{2}$ | из cos 2α = 2cos^2 α − 1 |
| Квадрат тангенса | $tg^{2} \alpha = \frac{1 - cos 2\alpha}{1 + cos 2\alpha}$ | cos 2α ≠ −1; отношение двух первых строк |
| Квадрат котангенса | $ctg^{2} \alpha = \frac{1 + cos 2\alpha}{1 - cos 2\alpha}$ | cos 2α ≠ 1 |
| Произведение синуса и косинуса | $sin \alpha cos \alpha = \frac{sin 2\alpha}{2}$ | синус двойного угла, делённый на 2 |
| Квадрат произведения | $sin^{2} \alpha cos^{2} \alpha = \frac{1 - cos 4\alpha}{8}$ | квадрат предыдущей строки и понижение для sin^2 2α |
| Куб синуса | $sin^{3} \alpha = \frac{3 sin \alpha - sin 3\alpha}{4}$ | из формулы тройного угла sin 3α = 3 sin α − 4sin^3 α |
| Куб косинуса | $cos^{3} \alpha = \frac{3 cos \alpha + cos 3\alpha}{4}$ | из cos 3α = 4cos^3 α − 3 cos α |
| Четвёртая степень синуса | $sin^{4} \alpha = \frac{3 - 4 cos 2\alpha + cos 4\alpha}{8}$ | понижение применено дважды |
| Четвёртая степень косинуса | $cos^{4} \alpha = \frac{3 + 4 cos 2\alpha + cos 4\alpha}{8}$ | понижение применено дважды |
| Сумма четвёртых степеней | $sin^{4} \alpha + cos^{4} \alpha = \frac{3 + cos 4\alpha}{4}$ | сложили две предыдущие строки |
| Сумма шестых степеней | $sin^{6} \alpha + cos^{6} \alpha = \frac{5 + 3 cos 4\alpha}{8}$ | через сумму кубов и основное тождество |

Формулы двойного и половинного угла, сложения и приведения — на странице тригонометрические формулы.

## Квадраты синуса и косинуса нетабличных углов

*Точные значения квадратов синуса и косинуса углов 15°, 22,5°, 67,5° и 75° по формулам понижения степени*

| Угол | sin² α | cos² α |
| --- | --- | --- |
| 15° | $\frac{2 - \sqrt{3}}{4}$ | $\frac{2 + \sqrt{3}}{4}$ |
| 22,5° | $\frac{2 - \sqrt{2}}{4}$ | $\frac{2 + \sqrt{2}}{4}$ |
| 67,5° | $\frac{2 + \sqrt{2}}{4}$ | $\frac{2 - \sqrt{2}}{4}$ |
| 75° | $\frac{2 + \sqrt{3}}{4}$ | $\frac{2 - \sqrt{3}}{4}$ |

Например, sin^2 15° = (1 − cos 30°)/2 = (1 − √3/2)/2 = (2 − √3)/4.

## Откуда берутся формулы понижения степени?

Из трёх записей косинуса двойного угла: cos 2α = 1 − 2sin^2 α и cos 2α = 2cos^2 α − 1. Выразите из первой sin^2 α, из второй cos^2 α — это и есть формулы понижения. Поэтому их не обязательно учить отдельно: достаточно помнить cos 2α.

Степень понижается, но угол удваивается: вместо квадрата синуса α получаем первую степень косинуса 2α. Для куба и четвёртой степени понижение повторяют.

## Где применяют формулы понижения степени?

- Вычисления: 2cos^2 15° − 1 = cos 30° = √3/2 — выражение сворачивается сразу.
- Уравнения: sin^2 x = 1/4 ⇔ (1 − cos 2x)/2 = 1/4 ⇔ cos 2x = 1/2 — вместо двух серий получается одно простейшее уравнение.
- Интегралы: ∫ sin^2 x dx = ∫ (1 − cos 2x)/2 dx = x/2 − (sin 2x)/4 + C.
- Графики: y = cos^2 x — это косинусоида y = 1/2 + 1/2 cos 2x с периодом π.

## Где ошибаются чаще всего?

- Путают знаки: у синуса «1 минус», у косинуса «1 плюс». Проверка при α = 0: sin^2 0 = (1 − 1)/2 = 0.
- Оставляют угол α вместо 2α справа.
- Забывают делить на 2.

## Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?

Формулы понижения степени на ЕГЭ 2027 по профильной математике помогают в задании 8 (значение тригонометрического выражения) и в задании 14 (тригонометрическое уравнение).

- [Задание 8 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-8/) — Значение выражения: тригонометрические формулы.
- [Задание 14 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-14/) — Уравнение: понижение степени сводит его к простейшему.

**Теория по теме:**

- [Преобразование выражений](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/preobrazovanie-vyrazheniy/)
- [Синус, косинус, тангенс числового аргумента](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/sinus-kosinus-tangens-chislovogo-argumenta/)

## Вопросы и ответы

### Как понизить степень синуса?

Заменить sin^2 α на (1 − cos 2α)/2. Для sin^4 α применить формулу дважды: sin^4 α = ((1 − cos 2α)/2)^2, а получившийся cos^2 2α снова понизить.

### Чем формулы понижения степени отличаются от формул двойного угла?

Это одни и те же равенства, записанные в разные стороны: cos 2α = 2cos^2 α − 1 — двойной угол, cos^2 α = (1 + cos 2α)/2 — понижение степени.

### Есть ли формулы понижения степени в справочных материалах ЕГЭ?

Отдельно нет. В справочных материалах профильного уровня есть косинус двойного угла, а из него формулы понижения выводятся за одну строку.

### Как понизить степень тангенса?

tg^2 α = (1 − cos 2α)/(1 + cos 2α): разделите формулу для sin^2 α на формулу для cos^2 α.

## Источники

- [ФИПИ: проект демоверсии, спецификации и кодификатора ЕГЭ 2027 по математике](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/ma_11_2027.zip) — кодификатор, раздел «Преобразования тригонометрических выражений»; справочные материалы профильной демоверсии
- [ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory) — раздел с документами ЕГЭ по всем предметам
- Проверка формул — обе части каждой формулы вычислены программой для пятидесяти значений угла и совпали

## Другие справочные таблицы

- [Формулы приведения: полная таблица](https://neuromisha.ru/spravochnik/formuly-privedeniya/)
- [Тригонометрические формулы: все в одной таблице](https://neuromisha.ru/spravochnik/trigonometricheskie-formuly/)
- [Таблица синусов и косинусов](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-sinusov-i-kosinusov/)
- [Таблица тангенсов и котангенсов](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-tangensov/)
- [Тригонометрический круг со всеми значениями](https://neuromisha.ru/spravochnik/trigonometricheskiy-krug/)
- [Признаки равенства треугольников: таблица](https://neuromisha.ru/spravochnik/priznaki-ravenstva-treugolnikov/)
- [Все таблицы по математике](https://neuromisha.ru/spravochnik/#matematika)

---

Источник: https://neuromisha.ru/spravochnik/formuly-ponizheniya-stepeni/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.