---
title: "Формулы арифметической и геометрической прогрессии: таблица"
description: "Формулы прогрессий в одной таблице: n-й член, разность и знаменатель, сумма n членов, свойства и бесконечно убывающая прогрессия. С калькулятором."
url: https://neuromisha.ru/spravochnik/formuly-progressiy/
dateModified: 2026-10-18
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Формулы арифметической и геометрической прогрессии

Арифметическая: a_n = a_1 + d(n − 1), S_n = ((a_1 + a_n) · n)/2. Геометрическая: b_n = b_1 · q^(n − 1), S_n = (b_1(q^n − 1))/(q − 1) при q ≠ 1; при |q| < 1 сумма всех членов (b_1)/(1 − q).

*Калькулятор прогрессии работает на странице (нужен JavaScript).*

В арифметической прогрессии к каждому члену прибавляют одно и то же число d, в геометрической — умножают на одно и то же число q. Таблица ставит формулы двух прогрессий рядом, строка к строке: определение, n-й член, сумма первых n членов, характеристическое свойство. Ниже — разобранные примеры и как узнать прогрессию в текстовой задаче.

**Обновлено:** 2026-10-18 · Математика

## Формулы арифметической и геометрической прогрессии

*Формулы арифметической и геометрической прогрессий: определение, n-й член, сумма и свойства*

| Что | Арифметическая прогрессия | Геометрическая прогрессия |
| --- | --- | --- |
| Определение | $a_{n+1} = a_{n} + d$ | $b_{n+1} = b_{n} \cdot q, \text{где} b_{1} \neq 0, q \neq 0$ |
| Разность и знаменатель | $d = a_{n+1} - a_{n}$ | $q = \frac{b_{n+1}}{b_{n}}$ |
| n-й член | $a_{n} = a_{1} + d(n - 1)$ | $b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}$ |
| Член через любой другой | $a_{n} = a_{k} + d(n - k)$ | $b_{n} = b_{k} \cdot q^{n - k}$ |
| Характеристическое свойство | $a_{n} = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$ | $b_{n}^{2} = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$ |
| Сумма первых n членов | $S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n}) \cdot n}{2}$ | $S_{n} = \frac{b_{1}(q^{n} - 1)}{q - 1}, q \neq 1$ |
| Сумма, второй вид | $S_{n} = \frac{2a_{1} + d(n - 1)}{2} \cdot n$ | $S_{n} = n \cdot b_{1} \text{при} q = 1$ |
| Равноудалённые члены | $a_{k} + a_{m} = a_{p} + a_{s}, \text{если} k + m = p + s$ | $b_{k} \cdot b_{m} = b_{p} \cdot b_{s}, \text{если} k + m = p + s$ |
| Сумма всех членов | не существует, кроме прогрессии из нулей | $S = \frac{b_{1}}{1 - q} \text{при} \|q\| < 1$ |
| Возрастает или убывает | d > 0 — возрастает, d < 0 — убывает, d = 0 — постоянна | $b_{1} > 0 \text{и} q > 1 — \text{возрастает}; b_{1} > 0 \text{и} 0 < q < 1 — \text{убывает}; q < 0 — \text{знаки чередуются}$ |

Члены геометрической прогрессии обозначают b_n, арифметической — a_n; номер n — натуральное число.

## Примеры: как найти член и сумму прогрессии

*Разобранные задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии*

| Задача | Решение | Ответ |
| --- | --- | --- |
| $\text{Арифметическая}: a_{1} = 4, d = 3. \text{Найти} a_{20}.$ | $a_{20} = 4 + 3 \cdot 19$ | 61 |
| $\text{Арифметическая}: a_{1} = 4, d = 3. \text{Найти} S_{20}.$ | $S_{20} = \frac{(4 + 61) \cdot 20}{2}$ | 650 |
| Сумма натуральных чисел от 1 до 100 | $S_{100} = \frac{(1 + 100) \cdot 100}{2}$ | 5050 |
| $\text{Геометрическая}: b_{1} = 3, q = 2. \text{Найти} b_{6}.$ | $b_{6} = 3 \cdot 2^{5}$ | 96 |
| $\text{Геометрическая}: b_{1} = 3, q = 2. \text{Найти} S_{6}.$ | $S_{6} = \frac{3(2^{6} - 1)}{2 - 1}$ | 189 |
| $\text{Бесконечно убывающая}: b_{1} = 9, q = \frac{1}{3}. \text{Найти сумму}.$ | $S = \frac{9}{1 - 1/3}$ | 13,5 |
| $\text{Арифметическая}: a_{3} = 7, a_{8} = 22. \text{Найти} d.$ | 22 = 7 + 5d | d = 3 |
| $\text{Геометрическая}: b_{2} = 6, b_{4} = 54, q > 0. \text{Найти} q.$ | $54 = 6 \cdot q^{2}$ | q = 3 |

## Как узнать прогрессию в текстовой задаче?

- «Каждый день на 3 больше, чем накануне», «каждый следующий ряд короче на 2 места» — арифметическая прогрессия: одно и то же число прибавляют.
- «Каждый год вклад увеличивается на 10 %», «каждый час число бактерий удваивается» — геометрическая: одно и то же число умножают (q = 1,1, q = 2).
- Спрашивают, что будет в n-й день, — формула n-го члена. Спрашивают, сколько всего за n дней, — формула суммы.

## Как решить задачу про улитку?

Улитка в первый день проползла 1 м, а каждый следующий — на 2 м больше, чем накануне. За сколько дней она проползёт 36 м? Это арифметическая прогрессия с a_1 = 1, d = 2. S_n = (2 · 1 + 2(n − 1))/2 · n = n^2. Из n^2 = 36 получаем n = 6 дней.

## Откуда формула суммы арифметической прогрессии?

Запишите сумму дважды — от первого члена к последнему и в обратном порядке — и сложите столбиками. В каждой паре получится a_1 + a_n: например, a_2 + a_(n−1) = (a_1 + d) + (a_n − d). Пар n, поэтому 2S_n = (a_1 + a_n) · n.

Для геометрической прогрессии сумму умножают на q и вычитают исходную: почти все члены сокращаются, остаётся S_n(q − 1) = b_1 q^n − b_1.

## Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?

Арифметическая и геометрическая прогрессии входят в кодификатор ЕГЭ по математике. Формул прогрессий нет в справочных материалах базового уровня — их нужно помнить.

- [Задание 21 базовой математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika-baza/zadanie-21/) — Задачи на перебор и последовательности, в том числе на арифметическую и геометрическую прогрессии.
- [Задание 11 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-11/) — Текстовая задача: «каждый день на одно и то же число больше» — сумма арифметической прогрессии.
- [Задание 13 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-13/) — Вклады и кредиты: начисление процентов по годам — это геометрическая прогрессия со знаменателем 1 + r/100.

**Теория по теме:**

- [Арифметическая и геометрическая прогрессии](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/arifmeticheskaya-i-geometricheskaya-progressii/)
- [Текстовые задачи](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/tekstovye-zadachi/)

## Вопросы и ответы

### Чем арифметическая прогрессия отличается от геометрической?

В арифметической каждый следующий член получается прибавлением одного и того же числа d: 2, 5, 8, 11. В геометрической — умножением на одно и то же число q: 2, 6, 18, 54.

### Как найти сумму бесконечной геометрической прогрессии?

Только если |q| < 1: S = b₁ / (1 − q). Например, 1 + 1/2 + 1/4 + … = 1 / (1 − 1/2) = 2. При |q| ≥ 1 сумма всех членов не существует: она неограниченно растёт по модулю или не стремится ни к какому числу.

### Может ли знаменатель геометрической прогрессии быть отрицательным?

Да. Тогда знаки членов чередуются: при b₁ = 1 и q = −2 получается 1, −2, 4, −8, 16. Запрещено только q = 0 и b₁ = 0.

### Есть ли формулы прогрессий в справочных материалах ЕГЭ?

Нет, ни в базовой, ни в профильной математике. Что напечатано в справке, а что нужно помнить, — на странице справочные материалы ЕГЭ.

## Источники

- [ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory) — кодификатор ЕГЭ по математике: последовательности, арифметическая и геометрическая прогрессии, формула сложных процентов
- Примеры и калькулятор — ответы в примерах пересчитаны программой; калькулятор считает по формулам из таблицы

## Другие справочные таблицы

- [Арифметическая прогрессия: все формулы и примеры](https://neuromisha.ru/spravochnik/arifmeticheskaya-progressiya/)
- [Геометрическая прогрессия: все формулы и примеры](https://neuromisha.ru/spravochnik/geometricheskaya-progressiya/)
- [Объём куба: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/obem-kuba/)
- [Как найти площадь треугольника: все формулы](https://neuromisha.ru/spravochnik/ploshchad-treugolnika/)
- [Как найти площадь прямоугольника: формулы](https://neuromisha.ru/spravochnik/ploshchad-pryamougolnika/)
- [Площадь квадрата: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/ploshchad-kvadrata/)
- [Все таблицы по математике](https://neuromisha.ru/spravochnik/#matematika)

---

Источник: https://neuromisha.ru/spravochnik/formuly-progressiy/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.