--- title: "Формулы теории вероятностей: таблица всех формул с примерами" description: "Все формулы теории вероятностей в одной таблице: классическая, сложение и умножение, полная вероятность, Байес, Бернулли, ожидание." url: https://neuromisha.ru/spravochnik/formuly-teorii-veroyatnostey/ dateModified: 2026-09-29 author: "Редакция НейроМиши" --- # Формулы теории вероятностей: таблица Основные формулы теории вероятностей: P(A) = m/n; P(Ā) = 1 − P(A); P(A + B) = P(A) + P(B) для несовместных; P(AB) = P(A) · P(B) для независимых; P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB) в общем случае; формула Бернулли P_n(k) = C_n^k p^k q^(n − k). *Поиск по таблице работает на странице (нужен JavaScript).* Главная формула теории вероятностей — классическая: P(A) = m/n, где m — число благоприятных исходов, n — всех равновозможных. Остальные формулы строятся из неё: сложение для несовместных событий, умножение для независимых, противоположное событие, полная вероятность, формула Байеса и схема Бернулли. Здесь все они собраны в одну таблицу с условием применения и примером; подробный разбор задач — в материале для ЕГЭ по ссылке ниже. **Обновлено:** 2026-09-29 · Математика · школьный курс «Вероятность и статистика» 7–11 классов; кодификатор ЕГЭ 2027 по математике ## Формулы теории вероятностей | Что найти | Формула | Когда применять, пример | | --- | --- | --- | | Классическая вероятность | $P(A) = \frac{m}{n}$ | исходы равновозможны: выпадение 6 на кубике — 1/6 | | Геометрическая вероятность | $P(A) = \frac{l_{A}}{l}$ | точка на отрезке или в фигуре: отношение длин или площадей | | Противоположное событие | $P(Ā) = 1 - P(A)$ | «не произойдёт» и «хотя бы один» | | Сложение несовместных событий | $P(A + B) = P(A) + P(B)$ | A и B не могут произойти вместе: выпало 1 или 2 — 2/6 | | Сложение в общем случае | $P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB)$ | события могут произойти одновременно | | Умножение независимых событий | $P(AB) = P(A) \cdot P(B)$ | выстрелы, броски, дни: результаты не влияют друг на друга | | Умножение зависимых событий | $P(AB) = P(A) \cdot P(B \| A)$ | вынули шар и не вернули | | Условная вероятность | $P(B \| A) = \frac{P(AB)}{P(A)}$ | вероятность B при условии, что A произошло | | Хотя бы один из n независимых | $P = 1 - (1 - p)^{n}$ | хотя бы одно попадание из 3 выстрелов при p = 0,5: 1 − 0,125 = 0,875 | | Полная вероятность | $P(A) = P(H_{1})P(A \| H_{1}) + … + P(H_{n})P(A \| H_{n})$ | H_1, …, H_n — все возможные «сценарии» (гипотезы) | | Формула Байеса | $P(H_{i} \| A) = \frac{P(H_{i})P(A \| H_{i})}{P(A)}$ | вероятность сценария, если событие уже произошло | | Формула Бернулли | $P_{n}(k) = C_{n}^{k}p^{k}q^{n - k}$ | ровно k успехов в n независимых испытаниях, q = 1 − p | | Математическое ожидание | $E(X) = x_{1}p_{1} + x_{2}p_{2} + … + x_{n}p_{n}$ | среднее значение случайной величины | | Дисперсия | $D(X) = E(X^{2}) - (E(X))^{2}$ | разброс значений вокруг среднего | | Бернулли: ожидание и дисперсия | $E(X) = np, D(X) = npq$ | число успехов в n испытаниях | Число исходов m и n часто считают формулами комбинаторики: сочетаниями и правилом произведения. ## Какую формулу выбрать: подсказки из условия *Слова в условии задачи и формула теории вероятностей, которая к ним подходит* | В условии | Формула | Пример | | --- | --- | --- | | «не», «ни разу» | 1 − P(A) | $\text{не выпадет шестёрка}: \frac{5}{6}$ | | «хотя бы один», «хотя бы раз» | 1 − P(ни одного) | $\text{хотя бы один орёл из двух бросков}: 1 - \frac{1}{4}$ | | «и», «оба», «все» — события независимы | умножение | оба стрелка попали: 0,8 · 0,5 | | «или» — события несовместны | сложение | $\text{выпало} 5 \text{или} 6: \frac{2}{6}$ | | «ровно k раз из n» | формула Бернулли | $\text{ровно} 2 \text{орла из} 3: \frac{3}{8}$ | | два сценария — фабрика, линия, погода | полная вероятность | брак с одной из двух линий | | «известно, что… какова вероятность, что причина…» | формула Байеса | лампа бракованная — с какой она линии | ## Пример: полная вероятность и формула Байеса Первая линия выпускает 70 % ламп и даёт 1 % брака, вторая — 30 % ламп и 4 % брака. Вероятность, что случайная лампа бракованная: P = 0,7 · 0,01 + 0,3 · 0,04 = 0,007 + 0,012 = 0,019. Лампа оказалась бракованной. Вероятность, что её выпустила вторая линия, по формуле Байеса: 0,012/0,019 ≈ 0,63 — хотя ламп вторая линия делает меньше, брак чаще от неё. ## Где ошибаются чаще всего? - Складывают вероятности совместных событий без вычитания P(AB): вероятность получается больше 1. - Перемножают вероятности зависимых событий, не учитывая, что шар не вернули. - Считают «хотя бы один» перебором всех случаев вместо 1 − P(ни одного). - В формуле Бернулли забывают множитель C_n^k — число способов расположить успехи. ## Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ? Теория вероятностей на ЕГЭ 2027 по профильной математике — задания 4 (простейшая вероятность), 5 (сложение и умножение, полная вероятность, Бернулли) и 6 (случайные величины). На базе — задание 5. - [Задание 4 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-4/) — Простейшая вероятность: классическая формула и противоположное событие. - [Задание 5 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-5/) — Сложение и умножение вероятностей, полная вероятность, схема Бернулли. - [Задание 6 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-6/) — Случайные величины: математическое ожидание и дисперсия. - [Задание 5 базовой математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika-baza/zadanie-5/) — Простейшая вероятность. **Теория по теме:** - [Вероятность](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/veroyatnost/) ## Вопросы и ответы ### Какая основная формула теории вероятностей? Классическая: P(A) = m/n, где m — число благоприятных исходов, n — число всех равновозможных исходов. Вероятность всегда от 0 до 1. ### Когда вероятности складывают, а когда умножают? Складывают для «или», если события не могут произойти вместе. Умножают для «и», если события независимы — результат одного не влияет на другое. ### Что такое формула Бернулли? Формула вероятности ровно k успехов в n независимых одинаковых испытаниях: P_n(k) = C_n^k p^k(1 − p)^(n − k). Для двух попаданий из трёх выстрелов при p = 0,8 это 3 · 0,64 · 0,2 = 0,384. ### Как решать задачи на формулу Байеса без формулы? Через дерево вероятностей. Если результат уже известен, а спрашивают о причине, нужную ветку дерева делят на сумму всех веток, которые ведут к этому результату. Это и есть формула Байеса, записанная словами. ## Источники - [ФИПИ: проект демоверсии, спецификации и кодификатора ЕГЭ 2027 по математике](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/ma_11_2027.zip) — кодификатор, раздел «Вероятность и статистика»: классическая вероятность, операции над событиями, условная вероятность, формула полной вероятности, испытания Бернулли, случайные величины - [ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory) — раздел с документами ЕГЭ по всем предметам - Проверка примеров — вероятности из примеров и тренажёра пересчитаны программой, формула Бернулли — перебором всех исходов ## Другие справочные таблицы - [Формулы комбинаторики: таблица с примерами](https://neuromisha.ru/spravochnik/formuly-kombinatoriki/) - [Свойства степеней: таблица формул](https://neuromisha.ru/spravochnik/svoystva-stepeney/) - [Свойства корней: таблица формул](https://neuromisha.ru/spravochnik/svoystva-korney/) - [Формулы приведения: полная таблица](https://neuromisha.ru/spravochnik/formuly-privedeniya/) - [Векторы: все формулы в одной таблице](https://neuromisha.ru/spravochnik/vektory-formuly/) - [Таблица производных: все формулы с примерами](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-proizvodnyh/) - [Все таблицы по математике](https://neuromisha.ru/spravochnik/#matematika) --- Источник: https://neuromisha.ru/spravochnik/formuly-teorii-veroyatnostey/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.