---
title: "Геометрическая прогрессия: формулы n-го члена и суммы"
description: "Геометрическая прогрессия: формула n-го члена, знаменатель, сумма первых n членов и бесконечно убывающей прогрессии. Примеры и вклады."
url: https://neuromisha.ru/spravochnik/geometricheskaya-progressiya/
dateModified: 2026-10-18
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Геометрическая прогрессия: все формулы и примеры

Геометрическая прогрессия: b_n = b_1 · q^(n − 1), сумма S_n = (b_1(q^n − 1))/(q − 1) при q ≠ 1, а при |q| < 1 сумма всех членов (b_1)/(1 − q).

*Поиск по таблице работает на странице (нужен JavaScript).*

Геометрическая прогрессия — последовательность, в которой каждый член равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q ≠ 0: 3, 6, 12, 24… (q = 2). Её n-й член bₙ = b₁·qⁿ⁻¹, сумма первых n членов Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1). Ниже — все формулы, примеры и задачи на проценты.

**Обновлено:** 2026-10-18 · Математика · школьный курс алгебры 9 класса; кодификатор ЕГЭ 2027 по математике

## Формулы геометрической прогрессии

| Что найти | Формула | Пояснение и пример |
| --- | --- | --- |
| Определение | $b_{n + 1} = b_{n} \cdot q$ | b_1 ≠ 0, q ≠ 0: 3, 6, 12, 24 — q = 2 |
| Знаменатель | $q = \frac{b_{n + 1}}{b_{n}}$ | q < 0 — знаки членов чередуются |
| n-й член | $b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}$ | b_6 прогрессии 2, 6, 18, … равен 2 · 3^5 = 486 |
| Член через любой другой | $b_{n} = b_{k} \cdot q^{n - k}$ | b_8 = b_5 · q^3 |
| Характеристическое свойство | $b_{n}^{2} = b_{n - 1} \cdot b_{n + 1}$ | при положительных членах — среднее геометрическое соседей |
| Равноудалённые члены | $b_{k} \cdot b_{m} = b_{p} \cdot b_{s}, k + m = p + s$ | b_1 · b_n = b_2 · b_(n − 1) = … |
| Сумма первых n членов | $S_{n} = \frac{b_{1}(q^{n} - 1)}{q - 1}$ | q ≠ 1; 1 + 2 + 4 + … + 2^9 = 2^10 − 1 = 1023 |
| Сумма через последний член | $S_{n} = \frac{b_{n}q - b_{1}}{q - 1}$ | q ≠ 1 |
| Сумма при q = 1 | $S_{n} = n \cdot b_{1}$ | все члены одинаковые |
| Бесконечно убывающая | $S = \frac{b_{1}}{1 - q}$ | \|q\| < 1; 1 + 1/2 + 1/4 + … = 2 |
| Сложные проценты | $S_{n} = S_{0}(1 + \frac{p}{100})^{n}$ | вклад, рост цены, размножение — прогрессия с q = 1 + p/100 |

Формулы арифметической прогрессии — на странице арифметическая прогрессия.

## Примеры: геометрическая прогрессия

*Решённые задачи на геометрическую прогрессию: член, знаменатель, сумма*

| Условие | Решение | Ответ |
| --- | --- | --- |
| $b_{1} = 2, q = 3. \text{Найти} b_{5}.$ | $b_{5} = 2 \cdot 3^{4}$ | 162 |
| $b_{1} = 2, q = 3. \text{Найти} S_{5}.$ | $S_{5} = \frac{2(3^{5} - 1)}{3 - 1}$ | 242 |
| $b_{3} = 20, b_{5} = 80, q > 0. \text{Найти} b_{1}.$ | $q^{2} = 4, q = 2, b_{1} = \frac{20}{4}$ | 5 |
| Сумма 1 + 2 + 4 + … + 512 | $S_{10} = 2^{10} - 1$ | 1023 |
| Сумма бесконечной прогрессии 9, −3, 1, … | $q = -\frac{1}{3}, S = \frac{9}{1 + \frac{1}{3}}$ | 6,75 |
| 0,(3) как дробь | $0{,}3 + 0{,}03 + … = \frac{0{,}3}{1 - 0{,}1}$ | $\frac{1}{3}$ |

## Геометрическая прогрессия в задачах

*Сюжеты, где скрыта геометрическая прогрессия, и её знаменатель*

| Сюжет | Знаменатель q | Пример |
| --- | --- | --- |
| вклад под p % годовых с капитализацией | $1 + \frac{p}{100}$ | 100 000 под 10 %: через 2 года 121 000 |
| цена снижается на p % каждый месяц | $1 - \frac{p}{100}$ | за 2 снижения по 20 % цена умножится на 0,64 |
| бактерии делятся каждые 20 минут | 2 | $\text{через} 2 \text{часа} — \text{в} 2^{6} = 64 \text{раза больше}$ |
| $\text{мяч отскакивает на} \frac{2}{3} \text{предыдущей высоты}$ | $\frac{2}{3}$ | $\text{высоты отскоков}: 3, 2, \frac{4}{3}, … \text{м}$ |
| период полураспада | $\frac{1}{2}$ | $\text{через} 3 \text{периода останется} \frac{1}{8}$ |

Признак геометрической прогрессии в условии — «в столько-то раз» или «на столько-то процентов от предыдущего».

## Откуда формула суммы геометрической прогрессии?

Запишем S = b_1 + b_1 q + … + b_1 q^(n − 1) и умножим на q: qS = b_1 q + b_1 q^2 + … + b_1 q^n. При вычитании почти все слагаемые сокращаются: qS − S = b_1 q^n − b_1, откуда S = (b_1(q^n − 1))/(q − 1).

Если |q| < 1, то q^n с ростом n стремится к нулю, и сумма всех членов становится (b_1)/(1 − q). Поэтому 0,999… = 0,9/(1 − 0,1) = 1.

## Где ошибаются чаще всего?

- Пишут b_n = b_1 · q^n: показатель на единицу меньше номера.
- Забывают, что q^2 = 4 даёт q = 2 и q = −2: второй вариант отбрасывают, только если в условии сказано о положительных членах.
- Применяют формулу бесконечной суммы при |q| ≥ 1 — у такой прогрессии суммы нет.
- Считают снижение на 20 % дважды как снижение на 40 %: на самом деле 0,8 · 0,8 = 0,64, то есть на 36 %.

## Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?

Геометрическая прогрессия на ЕГЭ 2027 — в процентах и вкладах: задание 13 профильной математики (проценты, вклады и кредиты), задание 11 (текстовая задача) и задание 15 базовой математики.

- [Задание 13 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-13/) — Проценты, вклады и кредиты: ежегодное увеличение в одно и то же число раз.
- [Задание 11 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-11/) — Текстовая задача, в том числе на сложные проценты.
- [Задание 15 базовой математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika-baza/zadanie-15/) — Проценты и финансовая математика.

**Теория по теме:**

- [Арифметическая и геометрическая прогрессии](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/arifmeticheskaya-i-geometricheskaya-progressii/)

## Вопросы и ответы

### Что такое геометрическая прогрессия?

Последовательность ненулевых чисел, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q. Пример: 2, 10, 50, 250 — q = 5.

### Как найти знаменатель геометрической прогрессии?

Разделить любой член на предыдущий: q = (b_2)/(b_1). Для несоседних членов: q^(m − k) = (b_m)/(b_k).

### Когда у геометрической прогрессии есть сумма всех членов?

Когда |q| < 1 — такую прогрессию называют бесконечно убывающей. Её сумма S = (b_1)/(1 − q): у 6, 3, 1,5, … сумма равна 12.

### Может ли знаменатель быть отрицательным?

Да, тогда знаки членов чередуются: 1, −2, 4, −8. Не может быть только нулевым: иначе все члены после первого равны нулю.

## Источники

- [ФИПИ: проект демоверсии, спецификации и кодификатора ЕГЭ 2027 по математике](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/ma_11_2027.zip) — кодификатор, раздел «Последовательности»: геометрическая прогрессия, сумма бесконечно убывающей прогрессии
- [ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory) — раздел с документами ЕГЭ по всем предметам
- Проверка примеров — члены и суммы из таблиц и тренажёра пересчитаны программой прямым вычислением

## Другие справочные таблицы

- [Формулы арифметической и геометрической прогрессии](https://neuromisha.ru/spravochnik/formuly-progressiy/)
- [Арифметическая прогрессия: все формулы и примеры](https://neuromisha.ru/spravochnik/arifmeticheskaya-progressiya/)
- [Объём куба: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/obem-kuba/)
- [Свойства степеней: таблица формул с примерами](https://neuromisha.ru/spravochnik/svoystva-stepeney/)
- [Теорема Виета: формулы и примеры решения](https://neuromisha.ru/spravochnik/teorema-vieta/)
- [Теорема синусов: формула, следствия и примеры](https://neuromisha.ru/spravochnik/teorema-sinusov/)
- [Все таблицы по математике](https://neuromisha.ru/spravochnik/#matematika)

---

Источник: https://neuromisha.ru/spravochnik/geometricheskaya-progressiya/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.