---
title: "Графики функций: все виды с рисунками, формулами и свойствами"
description: "Графики функций с рисунками: прямая, парабола, гипербола, корень, модуль, экспонента, логарифм, синусоида. Свойства и сдвиги графиков."
url: https://neuromisha.ru/spravochnik/grafiki-funkciy/
dateModified: 2026-09-29
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Графики функций: виды, рисунки и свойства

Основные графики функций: y = kx + b — прямая, y = ax^2 + bx + c — парабола, y = k/x — гипербола, y = sin x — синусоида; все 12 видов — на рисунках ниже.

*Поиск по таблице работает на странице (нужен JavaScript).*

График функции y = f(x) — это все точки координатной плоскости с координатами (x; f(x)). У каждого вида функции свой узнаваемый график: у линейной — прямая, у квадратичной — парабола, у y = k/x — гипербола. Ниже 12 основных графиков школьного курса на рисунках, а в таблице — формула, область определения, множество значений и главные свойства каждого.

**Обновлено:** 2026-09-29 · Математика · школьный курс алгебры 7–11 классов; кодификатор ЕГЭ 2027 по математике, раздел «Функции»

## Графики функций: основные виды

*Графики основных элементарных функций: формула, вид графика, область определения, множество значений и свойства*

| Функция | Формула | График и свойства |
| --- | --- | --- |
| Постоянная | $y = b$ | прямая, параллельная оси Ox; D(y) = ℝ, E(y) = {b} |
| Линейная | $y = kx + b$ | прямая; k — угловой коэффициент (k > 0 — возрастает, k < 0 — убывает), b — точка пересечения с осью Oy; D(y) = ℝ |
| Прямая пропорциональность | $y = kx$ | прямая через начало координат; при k > 0 — в I и III четвертях, при k < 0 — во II и IV |
| Квадратичная | $y = ax^{2} + bx + c$ | парабола; a > 0 — ветви вверх, a < 0 — вниз; вершина при x_0 = −b/(2a); с осью Oy пересекается в точке (0; c) |
| Кубическая | $y = x^{3}$ | кубическая парабола; D(y) = E(y) = ℝ; нечётная, возрастает на всей оси |
| Обратная пропорциональность | $y = \frac{k}{x}$ | гипербола; x ≠ 0, y ≠ 0; асимптоты — оси координат; k > 0 — ветви в I и III четвертях, k < 0 — во II и IV |
| Квадратный корень | $y = \sqrt{x}$ | верхняя ветвь параболы, повёрнутой вправо; D(y): x ≥ 0, E(y): y ≥ 0; возрастает; проходит через (0; 0), (1; 1), (4; 2) |
| Модуль | $y = \|x\|$ | угол с вершиной в начале координат, стороны — y = x и y = −x; E(y): y ≥ 0; чётная |
| Показательная | $y = a^{x}, a > 0, a \neq 1$ | экспонента; D(y) = ℝ, E(y): y > 0; проходит через (0; 1); a > 1 — возрастает, 0 < a < 1 — убывает; асимптота y = 0 |
| Логарифмическая | $y = log_{a} x, a > 0, a \neq 1$ | D(y): x > 0, E(y) = ℝ; проходит через (1; 0); асимптота x = 0; симметрична графику y = a^x относительно прямой y = x |
| Синус | $y = sin x$ | синусоида; D(y) = ℝ, E(y) = [−1; 1]; период 2π; нечётная; нули x = πn |
| Косинус | $y = cos x$ | синусоида, сдвинутая на π/2 влево; E(y) = [−1; 1]; период 2π; чётная; нули x = π/2 + πn |
| Тангенс | $y = tg x$ | тангенсоида; x ≠ π/2 + πn — там вертикальные асимптоты; E(y) = ℝ; период π; возрастает на каждом промежутке |
| Котангенс | $y = ctg x$ | x ≠ πn — асимптоты; E(y) = ℝ; период π; убывает на каждом промежутке |

D(y) — область определения, E(y) — множество значений, n — любое целое число. Графики обратных тригонометрических функций — на странице обратные тригонометрические функции, подробно о показательной — показательная функция.

## Преобразования графиков: сдвиги, отражения, растяжения

*Как из графика y = f(x) получить график другой функции*

| Формула | Что происходит с графиком y = f(x) | Пример |
| --- | --- | --- |
| y = f(x) + b | сдвиг вдоль оси Oy на b: вверх при b > 0, вниз при b < 0 | $y = x^{2} + 3 — \text{парабола поднята на} 3$ |
| y = f(x − a) | сдвиг вдоль оси Ox на a: вправо при a > 0, влево при a < 0 | $y = (x - 2)^{2} — \text{вершина в точке} (2; 0)$ |
| y = −f(x) | симметрия относительно оси Ox | $y = -x^{2} — \text{ветви вниз}$ |
| y = f(−x) | симметрия относительно оси Oy | $y = 2^{-x} = (\frac{1}{2})^{x}$ |
| y = k · f(x), k > 1 | растяжение от оси Ox в k раз; при 0 < k < 1 — сжатие к оси Ox | y = 3 sin x — значения от −3 до 3 |
| y = f(kx), k > 1 | сжатие к оси Oy в k раз; при 0 < k < 1 — растяжение | y = sin 2x — период π вместо 2π |
| y = \|f(x)\| | часть графика под осью Ox отражается вверх | $y = \|x^{2} - 4\| — «\text{впадина}» \text{между} -2 \text{и} 2 \text{перевёрнута}$ |
| y = f(\|x\|) | правая половина (x ≥ 0) остаётся и отражается влево | $y = x^{2} - 4\|x\| — \text{две одинаковые} «\text{ямы}»$ |
| x = f(y) | обратная функция: симметрия относительно прямой y = x | $y = \sqrt{x} \text{и} y = x^{2} \text{при} x \geq 0$ |

Преобразования выполняют по одному, от аргумента к значению: y = 2(x − 1)^2 + 3 — сдвиг y = x^2 на 1 вправо, растяжение в 2 раза от оси Ox, сдвиг на 3 вверх.

## Как по графику найти коэффициенты формулы

*Что видно на рисунке и как по этому найти коэффициенты функции — приёмы для задания 12 ЕГЭ*

| Вид функции | Что искать на графике | Как найти коэффициенты |
| --- | --- | --- |
| y = kx + b | точку на оси Oy и ещё одну точку с целыми координатами | $b — \text{ордината точки на оси} Oy; k = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ |
| $y = ax^{2} + bx + c$ | точку на оси Oy, вершину, соседнюю с ней точку | $c = f(0); x_{0} = -\frac{b}{2a}; \text{шаг на} 1 \text{от вершины поднимает график на} a$ |
| $y = \frac{k}{x - a} + b$ | вертикальную и горизонтальную асимптоты | x = a и y = b — асимптоты; k = (y − b)(x − a) по любой точке |
| $y = a^{x} + b$ | горизонтальную асимптоту и точку при x = 0 | y = b — асимптота; f(0) = 1 + b |
| $y = log_{a}(x + b)$ | вертикальную асимптоту и точку на оси Ox | x = −b — асимптота; f(1 − b) = 0 |
| $y = \sqrt{x - a} + b$ | начальную точку графика | (a; b) — начало ветви; дальше по точке находят множитель |
| y = a sin x + b | наибольшее и наименьшее значения | b — середина между ними, \|a\| — половина размаха |

Коэффициенты берут по точкам, у которых обе координаты целые: на рисунках ЕГЭ такие точки отмечены жирно.

## Что такое график функции?

График функции y = f(x) — множество всех точек плоскости, у которых абсцисса x берётся из области определения, а ордината равна f(x). Поэтому точка лежит на графике, только если её координаты превращают формулу в верное равенство: точка (2; 4) лежит на графике y = x^2, потому что 2^2 = 4, а точка (2; 5) — нет.

Не всякая линия — график функции: каждому x соответствует ровно одно значение y. Окружность x^2 + y^2 = 1 графиком функции не является — вертикальная прямая x = 0 пересекает её дважды.

## Как построить график функции?

Сначала определите вид функции по формуле и найдите область определения. Затем составьте таблицу из 5–7 значений x, посчитайте y, отметьте точки и соедините их плавной линией, помня о виде графика.

Пример: y = x^2 − 2x − 3. Это парабола с ветвями вверх (a = 1 > 0). Вершина x_0 = −(−2)/2 = 1, y_0 = 1 − 2 − 3 = −4. С осью Oy — точка (0; −3), с осью Ox — корни уравнения x^2 − 2x − 3 = 0: x = −1 и x = 3. По пяти точкам (−1; 0), (0; −3), (1; −4), (2; −3), (3; 0) парабола строится точно.

Сложную функцию удобнее строить преобразованиями знакомого графика: y = (x − 1)^2 − 4 — та же парабола y = x^2, сдвинутая на 1 вправо и на 4 вниз.

## Как читать график: что спрашивают, если «на рисунке изображён график функции»?

- Значение функции f(a) — ордината точки графика с абсциссой a.
- Нули функции — абсциссы точек пересечения с осью Ox.
- Промежутки возрастания и убывания — где график идёт вверх и вниз при движении слева направо.
- Точки максимума и минимума — абсциссы «вершин» и «впадин»; сами значения в этих точках — максимум и минимум.
- Промежутки знакопостоянства — где график выше оси Ox (f(x) > 0) и где ниже (f(x) < 0).

## Где ошибаются чаще всего?

- Сдвигают график y = f(x − 2) влево. Правильно — вправо: вершина y = (x − 2)^2 там, где x − 2 = 0, то есть при x = 2.
- Путают точки (0; b) и (b; 0): свободный член b линейной функции — это пересечение с осью Oy.
- Рисуют гиперболу y = k/x, пересекающей оси. Ни при каком x значение k/x не равно нулю, и при x = 0 функция не определена.
- Забывают про область определения: график y = √x начинается в точке (0; 0) и влево не продолжается, а y = log_2 x существует только при x > 0.

## Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?

Графики функций на ЕГЭ по профильной математике — задание 12: по рисунку найти коэффициенты формулы или значение функции. Чтение графика производной — задание 9, а на базовом уровне — задание 7.

- [Задание 12 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-12/) — Графики функций: по рисунку найти коэффициенты k, b, a, c или значение функции.
- [Задание 9 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-9/) — Производная по графику: возрастание, убывание, точки экстремума.
- [Задание 7 базовой математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika-baza/zadanie-7/) — Действия с функциями по графику: значения, нули, промежутки.

**Теория по теме:**

- [График функции, взаимно обратные функции](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/grafik-funkcii-vzaimno-obratnye-funkcii/)
- [Функция, область определения, множество значений](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/funkciya-oblast-opredeleniya-mnozhestvo-znacheni/)

## Вопросы и ответы

### Какие бывают графики функций?

В школьном курсе — прямая (y = kx + b), парабола (y = ax^2 + bx + c), кубическая парабола (y = x^3), гипербола (y = k/x), ветвь параболы (y = √x), график модуля, экспонента (y = a^x), логарифмическая кривая и тригонометрические графики: синусоида, косинусоида, тангенсоида.

### Как понять, что график — парабола?

Если в формуле старшая степень переменной — вторая: y = ax^2 + bx + c при a ≠ 0. Ветви смотрят вверх при a > 0 и вниз при a < 0, а вершина лежит на прямой x = −b/(2a).

### Как найти k по графику линейной функции?

Возьмите две точки прямой с целыми координатами и разделите разность ординат на разность абсцисс: k = (y_2 − y_1)/(x_2 − x_1). Через (1; 2) и (3; 8) получается k = 6/2 = 3.

### Чем график y = f(x) + 2 отличается от y = f(x + 2)?

Первый сдвинут на 2 вверх, второй — на 2 влево. Слагаемое вне функции двигает график по вертикали, внутри аргумента — по горизонтали и в обратную знаку сторону.

### Можно ли построить график функции онлайн?

Можно в любом графическом калькуляторе, но на ЕГЭ его не будет. Надёжнее узнавать вид графика по формуле и строить по 5–7 точкам: так же решают задание 12, где по рисунку восстанавливают формулу.

## Источники

- [ФИПИ: проект демоверсии, спецификации и кодификатора ЕГЭ 2027 по математике](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/ma_11_2027.zip) — кодификатор, раздел «Функции»: линейная, квадратичная, степенная, показательная, логарифмическая и тригонометрические функции, их графики и преобразования
- [ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory) — раздел с документами ЕГЭ по всем предметам
- Рисунки графиков — построены программой по точкам самих функций (шаг — около 0,02 единицы), а не нарисованы от руки; отмеченные точки — с целыми координатами

## Другие справочные таблицы

- [Теорема Пифагора: формула и пифагоровы тройки](https://neuromisha.ru/spravochnik/teorema-pifagora/)
- [Показательная функция y = aˣ: график и свойства](https://neuromisha.ru/spravochnik/pokazatelnaya-funkciya/)
- [Уравнение касательной к графику функции: формула и алгоритм](https://neuromisha.ru/spravochnik/uravnenie-kasatelnoy/)
- [Вписанный угол: теорема и свойства](https://neuromisha.ru/spravochnik/vpisannyy-ugol/)
- [Свойства степеней: таблица формул](https://neuromisha.ru/spravochnik/svoystva-stepeney/)
- [Свойства корней: таблица формул](https://neuromisha.ru/spravochnik/svoystva-korney/)
- [Все таблицы по математике](https://neuromisha.ru/spravochnik/#matematika)

---

Источник: https://neuromisha.ru/spravochnik/grafiki-funkciy/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.