--- title: "Круги Эйлера: операции над множествами и формулы" description: "Круги Эйлера: пересечение, объединение и разность множеств, их запись в логике и в поисковых запросах, формулы для двух и трёх множеств и разобранные задачи." url: https://neuromisha.ru/spravochnik/krugi-eylera/ dateModified: 2026-09-29 author: "Редакция НейроМиши" --- # Круги Эйлера: множества, формулы и задачи Круги Эйлера — схема, где множества изображают кругами. Общая часть кругов — пересечение A ∩ B (логическое И, в запросе A & B), оба круга целиком — объединение A ∪ B (ИЛИ, A | B). Число элементов: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|. *Поиск по таблице работает на странице (нужен JavaScript).* Круги Эйлера изображают множества кругами, а их общие части — пересечениями кругов. В первой таблице — пять операций над множествами с обозначением, логической связкой и записью в поисковом запросе. Во второй — формулы, по которым считают число элементов, в третьей — задача о поисковых запросах, какие дают в школе и на ОГЭ. **Обновлено:** 2026-09-29 · Математика · кодификатор ЕГЭ 2027 по математике, раздел «Множества и логика» ## Операции над множествами на кругах Эйлера *Операции над множествами: обозначение, логическая связка, запись в поисковом запросе и часть кругов Эйлера* | Операция | Обозначение | Логика | В поисковом запросе | Что закрашено на кругах | | --- | --- | --- | --- | --- | | Пересечение | A ∩ B | A И B (A ∧ B) | A & B | общая часть кругов — элементы, которые есть в обоих множествах | | Объединение | A ∪ B | A ИЛИ B (A ∨ B) | A \| B | оба круга целиком — элементы хотя бы одного множества | | Разность | A \ B | A И НЕ B (A ∧ ¬B) | A & ∼B | часть круга A, не попавшая в B | | Дополнение | Ā | НЕ A (¬A) | ∼A | всё, что вне круга A, внутри прямоугольника-универсума | | Симметрическая разность | A Δ B | A ⊕ B (исключающее ИЛИ) | (A \| B) & ∼(A & B) | обе части кругов без общей | Прямоугольник вокруг кругов изображает универсальное множество — всё, из чего выбирают. Знаки в поисковых запросах условные, как в школьных задачах: & — И, | — ИЛИ, ∼ — НЕ; у настоящих поисковиков синтаксис свой. ## Формулы для числа элементов множеств | Что найти | Формула | Пояснение | | --- | --- | --- | | Пересечение двух множеств | $\|A ∩ B\| = \|A\| + \|B\| - \|A ∪ B\|$ | \|A\| — число элементов множества A | | Объединение двух множеств | $\|A ∪ B\| = \|A\| + \|B\| - \|A ∩ B\|$ | общая часть вычитается, чтобы не считать её дважды | | Разность | $\|A \ B\| = \|A\| - \|A ∩ B\|$ | только A, без B | | Симметрическая разность | $\|A \Delta B\| = \|A ∪ B\| - \|A ∩ B\|$ | ровно одно из двух свойств | | Дополнение | $\|Ā\| = \|U\| - \|A\|$ | U — всё множество, например все ученики класса | | Объединение трёх множеств | $\|A ∪ B ∪ C\| = \|A\| + \|B\| + \|C\| - \|A ∩ B\| - \|A ∩ C\| - \|B ∩ C\| + \|A ∩ B ∩ C\|$ | попарные пересечения вычитают, тройное возвращают | | Поисковые запросы | $N(A \| B) = N(A) + N(B) - N(A & B)$ | N — сколько страниц найдено по запросу | ## Задача про поисковые запросы: пример решения *Сколько страниц найдено по запросам: три известны, четвёртое число находят по кругам Эйлера* | Запрос | Найдено страниц, тыс. | | --- | --- | | Кошки \| Собаки | 800 | | Кошки | 450 | | Собаки | 500 | | Кошки & Собаки | 450 + 500 − 800 = 150 | Проверка по смыслу: по запросу с «&» страниц всегда не больше, чем по каждому слову отдельно, а с «|» — не меньше. Порядок по возрастанию: Кошки & Собаки, Кошки, Собаки, Кошки | Собаки. ## Что такое круги Эйлера? Это схема, на которой множества изображают кругами внутри прямоугольника — всего множества. Если у двух множеств есть общие элементы, круги пересекаются; если одно множество целиком входит в другое, его круг лежит внутри; если общих элементов нет, круги не касаются. Схему придумал Леонард Эйлер в XVIII веке, чтобы наглядно объяснять логические рассуждения. ## Как решать задачи с помощью кругов Эйлера? - Нарисуйте круги — по одному на каждое свойство: «изучают английский», «изучают немецкий». - Заполняйте с середины. Сначала впишите число в самое узкое пересечение, потом — в остальные части каждого круга, вычитая уже вписанное. - Не забудьте тех, кто вне кругов: «ни одного языка не изучают 3 человека» — это число за пределами кругов, внутри прямоугольника. - Сложите части, которые спрашивают, и проверьте, что сумма всех частей равна общему числу. ## Как решать задачи с тремя кругами Эйлера? На трёх кругах семь частей. Пример: из 30 учеников 15 занимаются музыкой, 12 — спортом, 10 — рисованием; музыкой и спортом — 5, музыкой и рисованием — 4, спортом и рисованием — 3, всеми тремя — 2. По формуле хотя бы одним занимаются 15 + 12 + 10 − 5 − 4 − 3 + 2 = 27 человек, значит, ничем — 3 ученика. ## Как связаны круги Эйлера и логические операции? Каждой операции над множествами соответствует логическая связка. Пересечение — это И: элемент лежит в A и в B. Объединение — ИЛИ, дополнение — НЕ. Поэтому кругами Эйлера проверяют логические законы: например, закон де Моргана ¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B виден как то, что вне обоих кругов. Значения самих операций на наборах 0 и 1 — в таблице истинности. ## Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ? Задачи на множества и круги Эйлера входят в задание 8 ЕГЭ базового уровня: выбрать верные утверждения о пересечении и объединении групп. На ОГЭ по информатике по той же формуле считают страницы, найденные по поисковым запросам. - [Задание 8 ЕГЭ базы: верные утверждения](https://neuromisha.ru/ege/matematika-baza/zadanie-8/) — Пересечение и объединение множеств: сколько человек в обеих группах. - [Задание 21 ЕГЭ базы: логика и перебор](https://neuromisha.ru/ege/matematika-baza/zadanie-21/) — Задачи, где подсчёт по частям множеств помогает перебору. - [Задание 15 ЕГЭ по информатике: логика](https://neuromisha.ru/ege/informatika/zadanie-15/) — Логические выражения с отрезками и множествами на числовой прямой. **Теория по теме:** - [Логика](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/logika/) ## Вопросы и ответы ### Как найти пересечение по кругам Эйлера, если известны оба множества и объединение? Сложите числа элементов двух множеств и вычтите объединение: |A ∩ B| = |A| + |B| − |A ∪ B|. Если сумма меньше объединения, данные противоречивы. ### Чем круги Эйлера отличаются от диаграммы Венна? На диаграмме Венна рисуют все возможные пересечения, даже пустые. На кругах Эйлера — только реальные отношения: если общих элементов нет, круги не пересекаются, если одно множество входит в другое, круг рисуют внутри. ### Что означают & и | в поисковых запросах? В школьных задачах & — логическое И: найдутся страницы, где есть оба слова. | — логическое ИЛИ: страницы хотя бы с одним словом. Поэтому по «A & B» страниц меньше, а по «A | B» — больше, чем по каждому слову. ### Как изобразить множество, которое входит в другое? Кругом внутри круга. Например, множество квадратов лежит внутри множества прямоугольников: любой квадрат — прямоугольник. Тогда пересечение — это меньшее множество, а объединение — большее. ## Источники - [ФИПИ: кодификатор и спецификация ЕГЭ по математике](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory) — множество, операции над множествами, круги Эйлера; задание 8 базового уровня - Вероятность и статистика. 7–9 классы: учебник И. Р. Высоцкого, И. В. Ященко (М.: Просвещение) — множества и операции над ними, диаграммы Эйлера ## Другие справочные таблицы - [Формулы приведения: полная таблица](https://neuromisha.ru/spravochnik/formuly-privedeniya/) - [Свойства логарифмов: формулы и примеры](https://neuromisha.ru/spravochnik/svoystva-logarifmov/) - [Тригонометрические формулы: все в одной таблице](https://neuromisha.ru/spravochnik/trigonometricheskie-formuly/) - [Формулы понижения степени: таблица с выводом](https://neuromisha.ru/spravochnik/formuly-ponizheniya-stepeni/) - [Признаки равенства треугольников: таблица](https://neuromisha.ru/spravochnik/priznaki-ravenstva-treugolnikov/) - [Таблица синусов и косинусов](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-sinusov-i-kosinusov/) - [Все таблицы по математике](https://neuromisha.ru/spravochnik/#matematika) --- Источник: https://neuromisha.ru/spravochnik/krugi-eylera/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.