---
title: "Метод интервалов: алгоритм решения неравенств с примерами"
description: "Метод интервалов: алгоритм решения неравенств по шагам, правило знаков, чётная кратность, выколотые точки. Таблица решённых примеров."
url: https://neuromisha.ru/spravochnik/metod-intervalov/
dateModified: 2026-09-29
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Метод интервалов: алгоритм и правило знаков

Метод интервалов: найдите нули числителя и знаменателя, отметьте их на прямой, определите знак справа и расставьте знаки, меняя их через корни нечётной кратности; выберите промежутки с нужным знаком.

*Поиск по таблице работает на странице (нужен JavaScript).*

Метод интервалов решает неравенства вида f(x) > 0, где f(x) — произведение или частное множителей: найдите нули числителя и знаменателя, отметьте их на числовой прямой, определите знак на каждом промежутке и выберите нужные. Знак меняется при переходе через корень нечётной кратности и сохраняется — чётной. В первой таблице — алгоритм по шагам, во второй — правила знаков и точек, в третьей — решённые примеры.

**Обновлено:** 2026-09-29 · Математика · школьный курс алгебры 9–11 классов; кодификатор ЕГЭ 2027 по математике

## Метод интервалов: алгоритм по шагам

*Алгоритм метода интервалов на примере неравенства (x − 1)(x + 3)/(x − 5) ≥ 0*

| Шаг | Что делать | На примере ((x − 1)(x + 3))/(x − 5) ≥ 0 |
| --- | --- | --- |
| 1 | перенести всё в одну часть, справа 0 | уже так |
| 2 | разложить числитель и знаменатель на множители | (x − 1)(x + 3) и (x − 5) |
| 3 | найти нули числителя и знаменателя | 1, −3 и 5 |
| 4 | отметить точки: нули числителя при ≥ и ≤ — закрашенные, при > и < — выколотые; нули знаменателя — всегда выколотые | −3 и 1 закрашены, 5 выколота |
| 5 | найти знак на крайнем правом промежутке, подставив большое x | $\text{при} x = 10: \frac{9 \cdot 13}{5} > 0, \text{знак} «+»$ |
| 6 | расставить знаки справа налево, меняя их через корни нечётной кратности | + на (5; +∞), − на (1; 5), + на (−3; 1), − на (−∞; −3) |
| 7 | выбрать промежутки со знаком из неравенства | x ∈ [−3; 1] ∪ (5; +∞) |

## Правила знаков и точек

*Когда знак меняется, когда нет, и какие точки закрашивать*

| Ситуация | Что делать | Пример |
| --- | --- | --- |
| $\text{корень нечётной кратности}: (x - a), (x - a)^{3}$ | знак меняется | (x − 2)(x + 1): знаки +, −, + |
| $\text{корень чётной кратности}: (x - a)^{2}, (x - a)^{4}$ | знак не меняется | $(x - 2)^{2}(x + 1): \text{знаки} +, +, -$ |
| неравенство строгое: > или < | нули числителя выколоты | (x − 2)(x + 1) > 0: x < −1 или x > 2 |
| неравенство нестрогое: ≥ или ≤ | нули числителя закрашены | $x^{2} - 5x + 6 \leq 0: 2 \leq x \leq 3$ |
| нуль знаменателя | всегда выколот | $\frac{x + 3}{x - 1} \geq 0: x \leq -3 \text{или} x > 1$ |
| $\text{множитель без корней}: x^{2} + 1, e^{x}$ | всегда положителен — отбросить | $(x^{2} + 1)(x - 3) < 0 ⇔ x < 3$ |
| множитель вида (a − x) | переписать как −(x − a) и поменять знак неравенства | (3 − x)(x + 1) > 0 ⇔ (x − 3)(x + 1) < 0 |

## Решённые неравенства методом интервалов

*Примеры неравенств и ответы, найденные методом интервалов*

| Неравенство | Нули | Ответ |
| --- | --- | --- |
| (x − 2)(x + 1) > 0 | −1; 2 | (−∞; −1) ∪ (2; +∞) |
| $x^{2} - 5x + 6 \leq 0$ | 2; 3 | [2; 3] |
| $\frac{x + 3}{x - 1} \geq 0$ | −3; 1 (выколота) | (−∞; −3] ∪ (1; +∞) |
| $x^{3} - 4x > 0$ | −2; 0; 2 | (−2; 0) ∪ (2; +∞) |
| $(x - 1)^{2}(x + 2) < 0$ | −2; 1 (чётная) | (−∞; −2) |
| $(x - 1)^{2}(x + 2) \leq 0$ | −2; 1 (чётная) | (−∞; −2] ∪ {1} |
| $\frac{x(x - 4)}{(x + 1)^{2}} \geq 0$ | 0; 4; −1 (выколота, чётная) | (−∞; −1) ∪ (−1; 0] ∪ [4; +∞) |

Каждый ответ проверен подстановкой точек из всех промежутков. Если корни квадратного трёхчлена не находятся подбором, их дают формула дискриминанта или теорема Виета.

## Почему метод интервалов работает?

Непрерывная функция меняет знак только там, где обращается в ноль или не определена. Поэтому между соседними нулями числителя и знаменателя знак левой части постоянен — его достаточно узнать в одной точке промежутка.

Множитель (x − a) меняет знак при переходе через a, а (x − a)^2 — нет: квадрат неотрицателен с обеих сторон. Отсюда правило чётной и нечётной кратности.

## Метод интервалов в неравенствах с логарифмами и степенями

В задании 16 ЕГЭ неравенство обычно сначала сводят к рациональному. Пример: log_2(x − 1) ≤ 3 при ОДЗ x > 1 превращается в x − 1 ≤ 8. А неравенство (2^x − 4)(x + 3) ≥ 0 решают методом интервалов сразу: множитель 2^x − 4 обращается в ноль при x = 2 и меняет знак так же, как x − 2.

Это частный случай метода рационализации: множитель, который меняет знак в тех же точках, что и более простое выражение, можно заменить этим выражением.

## Где ошибаются чаще всего?

- Начинают расставлять знаки со знака «+» справа, не проверив: при множителе (3 − x) справа будет «−».
- Чередуют знаки через корень чётной кратности.
- Закрашивают нуль знаменателя в нестрогом неравенстве — на ноль делить нельзя.
- Теряют изолированную точку: в (x − 1)^2(x + 2) ≤ 0 значение x = 1 входит в ответ.

## Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?

Метод интервалов на ЕГЭ 2027 по профильной математике — главный инструмент задания 16 (неравенство с развёрнутым решением), а также задачи с параметром в задании 19. На базе — задание 18 «Неравенства и соответствие».

- [Задание 16 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-16/) — Неравенство: логарифмическое, показательное или рациональное, решение с обоснованием.
- [Задание 18 базовой математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika-baza/zadanie-18/) — Неравенства и соответствие: решения неравенств на числовой прямой.

**Теория по теме:**

- [Квадратичные неравенства, метод интервалов](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/kvadratichnye-neravenstva-metod-intervalov/)
- [Целые и дробно-рациональные уравнения/неравенства](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/celye-i-drobno-racionalnye-uravneniya-neravenstv/)

## Вопросы и ответы

### Что такое метод интервалов?

Способ решать неравенства, в которых левая часть — произведение или частное множителей, а справа ноль. Нули множителей делят прямую на промежутки, на каждом знак постоянен, и остаётся выбрать нужные.

### Почему через некоторые точки знак не меняется?

Если множитель входит в чётной степени, например (x − 2)^2, он неотрицателен по обе стороны от корня и знак произведения при переходе через эту точку сохраняется.

### Когда точку закрашивать, а когда выкалывать?

Нули числителя закрашивают в нестрогом неравенстве (≥, ≤) и выкалывают в строгом (>, <). Нули знаменателя выкалывают всегда.

### Можно ли решать методом интервалов квадратные неравенства?

Да: x^2 − 5x + 6 ≤ 0 записывают как (x − 2)(x − 3) ≤ 0, получают знаки +, −, + и ответ [2; 3]. Это тот же результат, что даёт парабола с ветвями вверх.

## Источники

- [ФИПИ: проект демоверсии, спецификации и кодификатора ЕГЭ 2027 по математике](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/ma_11_2027.zip) — кодификатор, раздел «Неравенства»: рациональные неравенства, метод интервалов
- [ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory) — раздел с документами ЕГЭ по всем предметам
- Проверка ответов — каждый ответ из таблиц и тренажёра проверен программой подстановкой точек с шагом 0,25 на отрезке [−10; 10]

## Другие справочные таблицы

- [Свойства степеней: таблица формул](https://neuromisha.ru/spravochnik/svoystva-stepeney/)
- [Таблица степеней чисел от 1 до 10](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-stepeney/)
- [Свойства корней: таблица формул](https://neuromisha.ru/spravochnik/svoystva-korney/)
- [Таблица квадратных корней от 1 до 100](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-kvadratnyh-korney/)
- [Формула дискриминанта и корней квадратного уравнения](https://neuromisha.ru/spravochnik/formula-diskriminanta/)
- [Теорема Виета: формулы и примеры](https://neuromisha.ru/spravochnik/teorema-vieta/)
- [Все таблицы по математике](https://neuromisha.ru/spravochnik/#matematika)

---

Источник: https://neuromisha.ru/spravochnik/metod-intervalov/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.