---
title: "Объём конуса: формулы и калькулятор"
description: "Объём конуса V = ⅓πr²h: через радиус и высоту, диаметр, образующую, площадь основания, объём усечённого конуса. Рисунки, примеры и калькулятор."
url: https://neuromisha.ru/spravochnik/obem-konusa/
dateModified: 2026-09-29
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Объём конуса: формулы и калькулятор

Объём конуса равен трети произведения площади основания на высоту: V = 1/3πr^2 h. Через образующую l высота h = √(l^2 − r^2), объём усечённого конуса V = 1/3πh(R^2 + Rr + r^2).

*Калькулятор объёма конуса работает на странице (нужен JavaScript).*

Объём конуса равен трети произведения площади основания на высоту: V = ⅓πr²h. Конус занимает ровно треть цилиндра с тем же основанием и той же высотой. Если вместо высоты дана образующая, высоту находят по теореме Пифагора: h = √(l² − r²). Для усечённого конуса есть своя формула с радиусами обоих оснований.

**Обновлено:** 2026-09-29 · Математика

## Формулы объёма конуса

*Формулы объёма конуса и усечённого конуса: что известно, формула и обозначения*

| Что известно | Формула | Обозначения |
| --- | --- | --- |
| Радиус и высота | $V = \frac{1}{3} \cdot \pi r^{2} \cdot h$ | треть объёма цилиндра с тем же основанием и высотой |
| Диаметр и высота | $V = \frac{1}{12} \cdot \pi d^{2} \cdot h$ | r = d/2 |
| Радиус и образующая | $V = \frac{1}{3} \cdot \pi r^{2} \cdot \sqrt{l^{2} - r^{2}}$ | высота — по теореме Пифагора |
| Площадь основания и высота | $V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h$ | как у пирамиды |
| Усечённый конус | $V = \frac{1}{3} \cdot \pi h \cdot (R^{2} + Rr + r^{2})$ | R и r — радиусы оснований, h — расстояние между ними |
| Высота по объёму | $h = \frac{3V}{\pi r^{2}}$ | обратная задача |
| Радиус по объёму | $r = \sqrt{\frac{3V}{\pi h}}$ | обратная задача |
| Подобные конусы | $\frac{V_{1}}{V_{2}} = k^{3}$ | плоскость, параллельная основанию, отсекает конус, подобный исходному |

h — высота (перпендикуляр из вершины в центр основания), l — образующая, r — радиус основания; l^2 = r^2 + h^2.

## Примеры: как найти объём конуса

*Разобранные задачи на объём конуса: условие, решение и ответ*

| Что дано | Решение | Ответ |
| --- | --- | --- |
| r = 3, h = 5 | $V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 9 \cdot 5$ | 15π ≈ 47,12 |
| d = 10, h = 6 | $r = 5; V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 25 \cdot 6$ | 50π ≈ 157,08 |
| r = 5, образующая 13 | $h = \sqrt{169 - 25} = 12; V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 25 \cdot 12$ | 100π ≈ 314,16 |
| Площадь основания 30, h = 7 | $V = \frac{1}{3} \cdot 30 \cdot 7$ | 70 |
| Усечённый: R = 5, r = 2, h = 6 | $V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 6 \cdot (25 + 10 + 4)$ | 78π ≈ 245,04 |
| Воронка: диаметр 12 см, глубина 10 см | $V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 36 \cdot 10 = 120\pi$ | $\approx 377 \text{см}^{3}$ |

## Почему объём конуса — треть цилиндра

Конус можно представить как пирамиду с очень большим числом граней: её основание почти совпадает с кругом. У пирамиды V = 1/3S_осн · h, поэтому и у конуса V = 1/3πr^2 h.

Опыт с водой: конусом, наполненным до краёв, цилиндр той же высоты и с тем же основанием заполняют ровно за три раза.

## Объём конуса через образующую и диаметр

Образующая l, радиус r и высота h образуют прямоугольный треугольник, поэтому h = √(l^2 − r^2). При r = 5 и l = 13 высота 12, объём 100π.

Если дан диаметр, радиус — его половина, а формула принимает вид V = 1/12πd^2 h. Воронка диаметром 12 см и глубиной 10 см вмещает около 377 см^3.

## Объём усечённого конуса

Усечённый конус остаётся, если от конуса отрезать вершину плоскостью, параллельной основанию. Его объём V = 1/3πh(R^2 + Rr + r^2), где R и r — радиусы оснований, h — расстояние между ними.

Проверка: при r = 0 формула даёт обычный конус 1/3πR^2 h, а при r = R — цилиндр πR^2 h. Ведро с радиусами дна 10 и верха 15 см и высотой 30 см вмещает 1/3π · 30 · 475 ≈ 14,9 л.

## Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?

Объём конуса спрашивают в задании 3 профильной математики, а подобные конусы, отсечённые плоскостью, — в задании на тела вращения базового уровня. Номера заданий — по проекту спецификации ЕГЭ 2027 года.

- [Задание 3 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-3/) — Стереометрия: объём конуса, ответ через π.
- [Задание 13 базовой математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika-baza/zadanie-13/) — Тела вращения: конус, отсечённый плоскостью, отношение объёмов.
- [Задание 15 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-15/) — Стереометрия с доказательством: сечения конуса.

**Теория по теме:**

- [Тела и поверхности вращения](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/tela-i-poverhnosti-vrascheniya/)

## Вопросы и ответы

### Чем высота конуса отличается от образующей?

Высота — перпендикуляр из вершины в центр основания, образующая — отрезок от вершины до окружности основания. Образующая длиннее: l² = r² + h². В формулу объёма входит высота.

### Как изменится объём конуса, если радиус увеличить вдвое?

Увеличится в 4 раза, потому что радиус стоит в квадрате. Если вдвое увеличить высоту, объём вырастет только в 2 раза.

### Как найти объём усечённого конуса?

По формуле V = ⅓πh(R² + Rr + r²). Для R = 5, r = 2 и h = 6 объём 78π ≈ 245. Можно и как разность двух полных конусов.

## Источники

- [ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory) — кодификатор ЕГЭ по математике: тела вращения, объём конуса; номера заданий — по проекту спецификации 2027 года
- Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы — школьный учебник: конус и усечённый конус, их объёмы
- Примеры и калькулятор — значения в примерах пересчитаны программой; калькулятор считает теми же формулами, что в таблице

## Другие справочные таблицы

- [Объём цилиндра: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/obem-cilindra/)
- [Объём шара: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/obem-shara/)
- [Площадь поверхности конуса: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/ploshchad-poverhnosti-konusa/)
- [Формулы объёмов тел и площадей поверхностей: таблица](https://neuromisha.ru/spravochnik/formuly-obemov-tel/)
- [Объём параллелепипеда: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/obem-parallelepipeda/)
- [Объём пирамиды: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/obem-piramidy/)
- [Все таблицы по математике](https://neuromisha.ru/spravochnik/#matematika)

---

Источник: https://neuromisha.ru/spravochnik/obem-konusa/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.