--- title: "Объём параллелепипеда: формулы и калькулятор" description: "Объём прямоугольного параллелепипеда V = abc, любого — площадь основания на высоту, через диагональ. Кубические единицы и литры, примеры и калькулятор." url: https://neuromisha.ru/spravochnik/obem-parallelepipeda/ dateModified: 2026-09-29 author: "Редакция НейроМиши" --- # Объём параллелепипеда: формулы и калькулятор Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению длины, ширины и высоты: V = a · b · c. Для любого параллелепипеда V = S_осн · h. *Калькулятор объёма параллелепипеда работает на странице (нужен JavaScript).* Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений — длины, ширины и высоты. Для любого параллелепипеда, в том числе наклонного, объём — площадь основания, умноженная на высоту. Если вместо одного ребра дана диагональ, недостающее ребро находят из равенства d² = a² + b² + c². Ответ записывают в кубических единицах или литрах. **Обновлено:** 2026-09-29 · Математика ## Формулы объёма параллелепипеда *Формулы объёма параллелепипеда: что известно, формула и обозначения* | Что известно | Формула | Обозначения | | --- | --- | --- | | Прямоугольный: длина, ширина, высота | $V = a \cdot b \cdot c$ | a, b, c — три ребра из одной вершины | | Любой: площадь основания и высота | $V = S_{\text{осн}} \cdot h$ | для наклонного h — перпендикуляр между основаниями, а не боковое ребро | | Два ребра и диагональ | $V = a \cdot b \cdot \sqrt{d^{2} - a^{2} - b^{2}}$ | квадрат диагонали равен сумме квадратов трёх измерений | | Диагональ прямоугольного | $d = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ | все четыре диагонали прямоугольного параллелепипеда равны | | Площадь полной поверхности | $S = 2(ab + bc + ac)$ | шесть граней, попарно равных | | Высота по объёму | $h = \frac{V}{S_{\text{осн}}}$ | обратная задача: объём и основание известны | Куб — прямоугольный параллелепипед с равными рёбрами: V = a^3. Все размеры переводят в одни единицы до умножения. ## Примеры: как найти объём параллелепипеда *Разобранные задачи на объём параллелепипеда: условие, решение и ответ* | Что дано | Решение | Ответ | | --- | --- | --- | | Рёбра 5, 4 и 3 | V = 5 · 4 · 3 | 60 | | 2 м × 1,5 м × 0,8 м | V = 2 · 1,5 · 0,8 | $2{,}4 \text{м}^{3} = 2400 \text{л}$ | | Площадь основания 24, высота 5 | V = 24 · 5 | 120 | | Рёбра 2 и 3, диагональ 7 | $c = \sqrt{49 - 4 - 9} = 6; V = 2 \cdot 3 \cdot 6$ | 36 | | Аквариум 50 × 30 × 40 см | $V = 60 000 \text{см}^{3} = 60 \text{дм}^{3}$ | 60 л | | Каждое ребро увеличили вдвое | V = 2a · 2b · 2c = 8abc | в 8 раз больше | ## Единицы объёма и литры *Единицы объёма: кубические миллиметры, сантиметры, дециметры, метры и литры* | Единица | Сколько это | В литрах | | --- | --- | --- | | $1 \text{см}^{3}$ | $1000 \text{мм}^{3}$ | 0,001 л = 1 мл | | $1 \text{дм}^{3}$ | $1000 \text{см}^{3}$ | 1 л | | $1 \text{м}^{3}$ | $1000 \text{дм}^{3} = 1 000 000 \text{см}^{3}$ | 1000 л | | $1 \text{км}^{3}$ | $1 000 000 000 \text{м}^{3}$ | $10^{12} \text{л}$ | При переводе длин множитель возводят в куб: 1 м = 10 дм, значит, 1 м^3 = 10^3 = 1000 дм^3. ## Объём прямоугольного параллелепипеда Прямоугольный параллелепипед с рёбрами a, b и c складывается из a · b · c единичных кубиков, поэтому V = abc. Это форма коробки, комнаты, кирпича. Комната 5 м на 4 м при высоте потолка 2,7 м имеет объём 54 м^3. Если одно измерение не дано, но известна диагональ d, его находят из d^2 = a^2 + b^2 + c^2. ## Объём наклонного параллелепипеда Для любого параллелепипеда V = S_осн · h, где h — высота: перпендикуляр между плоскостями оснований. У наклонного параллелепипеда боковое ребро длиннее высоты, и подставлять его вместо h нельзя. Если боковое ребро l наклонено к основанию под углом φ, высота h = l · sin φ. Основание-параллелограмм со сторонами a, b и углом α имеет площадь ab · sin α. ## Объём в литрах и кубических метрах Один литр — это один кубический дециметр. Чтобы получить литры, удобно перевести размеры в дециметры: аквариум 50 × 30 × 40 см — это 5 × 3 × 4 дм, объём 60 дм^3 = 60 л. Калькулятор выше сам пересчитывает объём в литры, если выбраны миллиметры, сантиметры, дециметры или метры. ## Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ? Объём параллелепипеда нужен в стереометрии обоих уровней: в базовом — задачи про коробки и аквариумы, в профильном — объёмы и диагонали многогранников. Номера заданий — по проекту спецификации ЕГЭ 2027 года. - [Задание 11 базовой математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika-baza/zadanie-11/) — Объём многогранника: коробки, аквариумы, вытесненная вода. - [Задание 3 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-3/) — Стереометрия: объём и диагональ параллелепипеда, изменение объёма. - [Задание 15 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-15/) — Стереометрия с доказательством: сечения, расстояния и углы в параллелепипеде. **Теория по теме:** - [Многогранники](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/mnogogranniki/) ## Вопросы и ответы ### Как найти объём коробки? Перемножить длину, ширину и высоту, измеренные в одних единицах. Коробка 30 × 20 × 10 см имеет объём 6000 см³, это 6 литров. ### Чем объём отличается от площади поверхности параллелепипеда? Объём V = abc — сколько поместится внутрь, в кубических единицах. Площадь поверхности S = 2(ab + bc + ac) — сколько материала на стенки, в квадратных. У коробки 3 × 4 × 5 объём 60, поверхность 94. ### Как изменится объём, если каждое ребро увеличить в k раз? В k³ раз: (ka)(kb)(kc) = k³·abc. Рёбра вдвое длиннее — объём в 8 раз больше. ### Можно ли для наклонного параллелепипеда умножать на боковое ребро? Нет. В формулу V = S·h входит высота — перпендикуляр между основаниями. Боковое ребро наклонного параллелепипеда длиннее высоты. ## Источники - [ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory) — кодификатор ЕГЭ по математике: параллелепипед, объём многогранника; номера заданий — по проекту спецификации 2027 года - Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы — школьный учебник: объём прямоугольного и наклонного параллелепипеда, диагональ - Примеры и калькулятор — значения в примерах пересчитаны программой; калькулятор считает теми же формулами, что в таблице ## Другие справочные таблицы - [Объём пирамиды: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/obem-piramidy/) - [Объём призмы: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/obem-prizmy/) - [Формулы объёмов тел и площадей поверхностей: таблица](https://neuromisha.ru/spravochnik/formuly-obemov-tel/) - [Объём цилиндра: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/obem-cilindra/) - [Объём конуса: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/obem-konusa/) - [Объём шара: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/obem-shara/) - [Все таблицы по математике](https://neuromisha.ru/spravochnik/#matematika) --- Источник: https://neuromisha.ru/spravochnik/obem-parallelepipeda/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.