--- title: "Объём пирамиды: формулы и калькулятор" description: "Объём пирамиды V = ⅓·S·h: формулы для правильной треугольной, четырёхугольной и шестиугольной пирамиды, через боковое ребро. Рисунки, примеры, калькулятор." url: https://neuromisha.ru/spravochnik/obem-piramidy/ dateModified: 2026-09-29 author: "Редакция НейроМиши" --- # Объём пирамиды: формулы и калькулятор Объём пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту: V = 1/3S_осн · h. У правильной четырёхугольной пирамиды V = 1/3a^2 h, у правильной треугольной V = (a^2 h√3)/12. *Калькулятор объёма пирамиды работает на странице (нужен JavaScript).* Объём любой пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту. Высота — перпендикуляр из вершины на плоскость основания, а не боковое ребро. Для правильной пирамиды сначала считают площадь правильного многоугольника в основании. Если высоты нет, её находят из прямоугольного треугольника с боковым ребром и радиусом описанной около основания окружности. **Обновлено:** 2026-09-29 · Математика ## Формулы объёма пирамиды *Формулы объёма пирамиды: что известно, формула и обозначения* | Что известно | Формула | Обозначения | | --- | --- | --- | | Площадь основания и высота | $V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h$ | для любой пирамиды; h — перпендикуляр из вершины на основание | | Правильная четырёхугольная: сторона основания и высота | $V = \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot h$ | в основании квадрат со стороной a | | Правильная треугольная: сторона основания и высота | $V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} \cdot h = \frac{a^{2}h\sqrt{3}}{12}$ | в основании правильный треугольник | | Правильная шестиугольная: сторона основания и высота | $V = \frac{1}{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}a^{2} \cdot h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a^{2}h$ | основание — шесть правильных треугольников | | Прямоугольное основание: стороны и высота | $V = \frac{1}{3} \cdot a \cdot b \cdot h$ | a и b — стороны основания | | Правильная четырёхугольная: сторона основания и боковое ребро | $V = \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot \sqrt{l^{2} - \frac{a^{2}}{2}}$ | высота из прямоугольного треугольника: ребро, высота и половина диагонали основания | | Высота по объёму | $h = \frac{3V}{S_{\text{осн}}}$ | обратная задача | | Высота правильной пирамиды | $h = \sqrt{l^{2} - R^{2}}$ | R — радиус окружности, описанной около основания: у квадрата R = a√2/2, у правильного треугольника R = a√3/3 | | Усечённая пирамида | $V = \frac{1}{3}h(S_{1} + \sqrt{S_{1}S_{2}} + S_{2})$ | S_1, S_2 — площади оснований, h — расстояние между ними | Пирамида занимает ровно треть призмы с тем же основанием и той же высотой: три равновеликие треугольные пирамиды складываются в треугольную призму. ## Примеры: как найти объём пирамиды *Разобранные задачи на объём пирамиды: условие, решение и ответ* | Что дано | Решение | Ответ | | --- | --- | --- | | Площадь основания 36, высота 10 | $V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 10$ | 120 | | Правильная четырёхугольная: a = 6, h = 9 | $V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 9$ | 108 | | Правильная треугольная: a = 6, h = 10 | $S_{\text{осн}} = 9\sqrt{3}; V = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot 10$ | $30\sqrt{3} \approx 51{,}96$ | | Основание — прямоугольник 4 × 5, h = 6 | $V = \frac{1}{3} \cdot 20 \cdot 6$ | 40 | | Правильная четырёхугольная: a = 8, боковое ребро 9 | $h = \sqrt{81 - 32} = 7; V = \frac{1}{3} \cdot 64 \cdot 7$ | ≈ 149,33 | | Правильная шестиугольная: a = 2, h = 5 | $S_{\text{осн}} = 6\sqrt{3}; V = \frac{1}{3} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 5$ | $10\sqrt{3} \approx 17{,}32$ | ## Объём правильной пирамиды В основании правильной пирамиды — правильный многоугольник, а высота падает в его центр. Площадь основания: квадрат a^2, правильный треугольник (a^2√3)/4, правильный шестиугольник 3√3/2a^2. Её умножают на высоту и делят на 3. Правильная четырёхугольная пирамида со стороной 6 и высотой 9 имеет объём 1/3 · 36 · 9 = 108. Правильная треугольная с теми же числами — 27√3 ≈ 46,77: основание у неё меньше. ## Объём пирамиды через боковое ребро У правильной пирамиды боковое ребро l, высота h и радиус R описанной около основания окружности образуют прямоугольный треугольник: h = √(l^2 − R^2). Для квадратного основания R — половина диагонали, a√2/2. Пример: сторона основания 8, боковое ребро 9. R^2 = 32, высота √(81 − 32) = 7, объём 1/3 · 64 · 7 ≈ 149,33. Этот способ стоит в калькуляторе отдельной строкой. ## Почему в формуле одна треть Треугольную призму можно разрезать на три треугольные пирамиды с равными объёмами. Поэтому объём пирамиды — треть объёма призмы с тем же основанием и той же высотой. Любую пирамиду можно разбить на треугольные, и множитель 1/3 сохраняется. То же верно для конуса и цилиндра: объём конуса — треть объёма цилиндра. ## Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ? Объём пирамиды спрашивают в задании 3 профильной математики и в задачах на многогранники базового уровня. Номера заданий — по проекту спецификации ЕГЭ 2027 года. - [Задание 3 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-3/) — Стереометрия: объём правильной пирамиды, высота по боковому ребру. - [Задание 13 базовой математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika-baza/zadanie-13/) — Правильная пирамида: площадь боковой поверхности и объём. - [Задание 15 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-15/) — Стереометрия с доказательством: сечения пирамиды, расстояния и углы. **Теория по теме:** - [Многогранники](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/mnogogranniki/) ## Вопросы и ответы ### Что такое высота пирамиды? Перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания. Боковое ребро и апофема (высота боковой грани) длиннее высоты, подставлять их в V = ⅓·S·h нельзя. ### Как найти объём правильной треугольной пирамиды? Площадь основания a²√3/4 умножить на высоту и разделить на 3: V = a²h√3/12. При a = 6 и h = 10 объём 30√3 ≈ 51,96. ### Чем объём пирамиды отличается от объёма призмы? При одинаковых основании и высоте пирамида втрое меньше: V = ⅓·S·h против V = S·h у призмы. ## Источники - [ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory) — кодификатор ЕГЭ по математике: пирамида, объём многогранника; номера заданий — по проекту спецификации 2027 года - Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы — школьный учебник: пирамида, правильная пирамида, объём пирамиды и усечённой пирамиды - Примеры и калькулятор — значения в примерах пересчитаны программой; калькулятор считает теми же формулами, что в таблице ## Другие справочные таблицы - [Объём параллелепипеда: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/obem-parallelepipeda/) - [Объём призмы: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/obem-prizmy/) - [Формулы объёмов тел и площадей поверхностей: таблица](https://neuromisha.ru/spravochnik/formuly-obemov-tel/) - [Объём цилиндра: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/obem-cilindra/) - [Объём конуса: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/obem-konusa/) - [Объём шара: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/obem-shara/) - [Все таблицы по математике](https://neuromisha.ru/spravochnik/#matematika) --- Источник: https://neuromisha.ru/spravochnik/obem-piramidy/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.