--- title: "Объём призмы: формулы и калькулятор" description: "Объём призмы V = S·h: правильная треугольная, четырёхугольная и шестиугольная, прямая с прямоугольным треугольником в основании, наклонная. Калькулятор." url: https://neuromisha.ru/spravochnik/obem-prizmy/ dateModified: 2026-09-29 author: "Редакция НейроМиши" --- # Объём призмы: формулы и калькулятор Объём призмы равен произведению площади основания на высоту: V = S_осн · h. У правильной треугольной призмы V = (a^2√3)/4 · h, у правильной четырёхугольной V = a^2 h. *Калькулятор объёма призмы работает на странице (нужен JavaScript).* Объём любой призмы равен площади основания, умноженной на высоту. Для прямой призмы высота совпадает с боковым ребром, для наклонной — это перпендикуляр между основаниями, он короче ребра. Поэтому главное в задаче — найти площадь основания: правильного треугольника, квадрата, шестиугольника или треугольника по трём сторонам. **Обновлено:** 2026-09-29 · Математика ## Формулы объёма призмы *Формулы объёма призмы: что известно, формула и обозначения* | Что известно | Формула | Обозначения | | --- | --- | --- | | Площадь основания и высота | $V = S_{\text{осн}} \cdot h$ | для любой призмы, прямой и наклонной | | Правильная треугольная | $V = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} \cdot h$ | в основании правильный треугольник со стороной a | | Правильная четырёхугольная | $V = a^{2} \cdot h$ | в основании квадрат | | Правильная шестиугольная | $V = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot a^{2} \cdot h$ | основание — шесть правильных треугольников | | В основании прямоугольный треугольник | $V = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot h$ | a и b — катеты основания | | Треугольная: три стороны основания и высота | $V = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} \cdot h$ | площадь основания — по формуле Герона | | Наклонная призма | $V = S_{\text{осн}} \cdot l \cdot sin \varphi$ | l — боковое ребро, φ — его угол с плоскостью основания | | Через перпендикулярное сечение | $V = S_{\perp} \cdot l$ | S_(⊥) — площадь сечения, перпендикулярного боковым рёбрам | | Высота по объёму | $h = \frac{V}{S_{\text{осн}}}$ | обратная задача | Прямоугольный параллелепипед и куб — тоже призмы: у них в основании прямоугольник или квадрат. Цилиндр считают по той же формуле V = S_осн · h. ## Примеры: как найти объём призмы *Разобранные задачи на объём призмы: условие, решение и ответ* | Что дано | Решение | Ответ | | --- | --- | --- | | Площадь основания 15, высота 8 | V = 15 · 8 | 120 | | Правильная треугольная: a = 6, h = 10 | $S_{\text{осн}} = 9\sqrt{3}; V = 9\sqrt{3} \cdot 10$ | $90\sqrt{3} \approx 155{,}88$ | | Правильная четырёхугольная: a = 3, h = 7 | $V = 3^{2} \cdot 7$ | 63 | | Правильная шестиугольная: a = 2, h = 10 | $S_{\text{осн}} = 6\sqrt{3}; V = 6\sqrt{3} \cdot 10$ | $60\sqrt{3} \approx 103{,}92$ | | Основание — прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, h = 5 | $S_{\text{осн}} = 24; V = 24 \cdot 5$ | 120 | | Основание — треугольник 5, 5, 6, h = 10 | $p = 8; S_{\text{осн}} = \sqrt{8 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2} = 12; V = 12 \cdot 10$ | 120 | ## Объём правильной призмы Правильная призма — прямая, в основании правильный многоугольник. Её объём — площадь этого многоугольника на высоту: треугольная (a^2√3)/4 · h, четырёхугольная a^2 h, шестиугольная 3√3/2a^2 h. У правильной треугольной призмы со стороной 6 и высотой 10 объём 90√3 ≈ 155,88. Площади оснований — на страницах площадь треугольника и площадь многоугольника. ## Объём наклонной призмы У наклонной призмы боковое ребро l не перпендикулярно основанию, и высота h = l · sin φ, где φ — угол ребра с плоскостью основания. Объём V = S_осн · l · sin φ. Другой способ — через перпендикулярное сечение: V = S_(⊥) · l. Площадь сечения, перпендикулярного рёбрам, умножают на длину ребра. ## Треугольная призма: основание по трём сторонам Если в основании треугольник с известными сторонами, площадь находят по формуле Герона. Для сторон 13, 14, 15 полупериметр 21 и площадь 84, при высоте 10 объём призмы 840. Если основание — прямоугольный треугольник, площадь равна половине произведения катетов: катеты 3 и 4, высота 10 — объём 60. ## Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ? Объём призмы спрашивают в задании 3 профильной математики и в задачах на многогранники базового уровня, в том числе про вытесненную воду. Номера заданий — по проекту спецификации ЕГЭ 2027 года. - [Задание 3 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-3/) — Стереометрия: объём правильной призмы, изменение объёма. - [Задание 11 базовой математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika-baza/zadanie-11/) — Объём многогранника: сосуды-призмы, уровень воды после погружения детали. - [Задание 15 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-15/) — Стереометрия с доказательством: сечения призмы, расстояния и углы. **Теория по теме:** - [Многогранники](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/mnogogranniki/) ## Вопросы и ответы ### Как найти объём треугольной призмы? Найти площадь треугольника в основании и умножить на высоту призмы. Для правильной треугольной призмы это a²√3/4 · h, для произвольной — площадь по Герону или по основанию и высоте треугольника. ### Чем высота призмы отличается от бокового ребра? У прямой призмы ничем: ребро перпендикулярно основанию. У наклонной высота — перпендикуляр между основаниями, она равна l · sin φ и короче ребра. ### Как найти объём вытесненной воды в сосуде-призме? Умножить площадь дна на то, насколько поднялся уровень. Если дно 20 × 10 см и уровень поднялся на 3 см, объём погружённого тела 600 см³. ## Источники - [ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory) — кодификатор ЕГЭ по математике: призма, объём многогранника; номера заданий — по проекту спецификации 2027 года - Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы — школьный учебник: прямая и наклонная призма, объём призмы - Примеры и калькулятор — значения в примерах пересчитаны программой; калькулятор считает теми же формулами, что в таблице ## Другие справочные таблицы - [Объём параллелепипеда: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/obem-parallelepipeda/) - [Объём пирамиды: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/obem-piramidy/) - [Формулы объёмов тел и площадей поверхностей: таблица](https://neuromisha.ru/spravochnik/formuly-obemov-tel/) - [Объём цилиндра: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/obem-cilindra/) - [Объём конуса: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/obem-konusa/) - [Объём шара: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/obem-shara/) - [Все таблицы по математике](https://neuromisha.ru/spravochnik/#matematika) --- Источник: https://neuromisha.ru/spravochnik/obem-prizmy/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.