--- title: "Объём шара: формулы и калькулятор" description: "Объём шара V = 4/3·πR³: через радиус, диаметр, площадь поверхности, радиус по объёму, отношения объёмов шаров. Рисунок, примеры и калькулятор." url: https://neuromisha.ru/spravochnik/obem-shara/ dateModified: 2026-09-29 author: "Редакция НейроМиши" --- # Объём шара: формулы и калькулятор Объём шара радиуса R: V = 4/3πR^3. Через диаметр V = 1/6πd^3. Радиус по объёму R = ³√(3V/(4π)). *Калькулятор объёма шара работает на странице (нужен JavaScript).* Объём шара равен четырём третям числа π, умноженным на куб радиуса. Через диаметр формула проще: V = πd³/6. Объём растёт как куб радиуса, поэтому шар с вдвое большим радиусом вмещает в восемь раз больше. Шар занимает ровно две трети описанного около него цилиндра. **Обновлено:** 2026-09-29 · Математика ## Формулы объёма шара *Формулы объёма шара: что известно, формула и обозначения* | Что известно | Формула | Обозначения | | --- | --- | --- | | Радиус | $V = \frac{4}{3} \cdot \pi R^{3}$ | R — радиус шара | | Диаметр | $V = \frac{1}{6} \cdot \pi d^{3}$ | из V = 4/3πR^3 при R = d/2 | | Площадь поверхности | $R = \sqrt{\frac{S}{4\pi}}; V = \frac{4}{3} \cdot \pi R^{3}$ | радиус — из S = 4πR^2 | | Радиус по объёму | $R = \sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}$ | обратная задача: известен объём | | Отношение объёмов двух шаров | $\frac{V_{1}}{V_{2}} = (\frac{R_{1}}{R_{2}})^{3}$ | то же для диаметров | | Шаровой сегмент | $V = \pi h^{2}(R - \frac{h}{3})$ | h — высота сегмента, отсечённого плоскостью | | Шар и описанный цилиндр | $V_{\text{шара}} = \frac{2}{3}V_{\text{цил}}$ | цилиндр с радиусом R и высотой 2R | Площадь поверхности шара S = 4πR^2; объём и площадь связаны: V = 1/3SR. ## Примеры: как найти объём шара *Разобранные задачи на объём шара: условие, решение и ответ* | Что дано | Решение | Ответ | | --- | --- | --- | | R = 3 | $V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot 27$ | 36π ≈ 113,1 | | d = 10 | $V = \frac{1}{6} \cdot \pi \cdot 1000$ | $\frac{500\pi}{3} \approx 523{,}6$ | | Площадь поверхности 64π | $R = 4; V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot 64$ | $\frac{256\pi}{3} \approx 268{,}08$ | | Объём 288π: найти радиус | $R^{3} = \frac{3 \cdot 288}{4} = 216$ | 6 | | Мяч диаметром 22 см | $V = \frac{\pi \cdot 22^{3}}{6} \approx 5575 \text{см}^{3}$ | ≈ 5,58 л | | Радиус втрое больше | $V = \frac{4}{3}\pi(3R)^{3} = 27 \cdot \frac{4}{3}\pi R^{3}$ | в 27 раз больше | ## Объём шара через диаметр Подставим R = d/2: 4/3π · (d^3)/8 = (πd^3)/6. Для диаметра 10 объём 500π/3 ≈ 523,6. Формулой через диаметр удобно пользоваться для мячей и шариков: диаметр измерить проще, чем радиус. Мяч диаметром 22 см вмещает около 5,6 литра воздуха. ## Во сколько раз объём одного шара больше другого Объём пропорционален кубу радиуса, поэтому (V_1)/(V_2) = ((R_1)/(R_2))^3 — и так же для диаметров. Шар с радиусом в 5 раз больше имеет объём в 125 раз больше. Обратная задача: если объёмы отличаются в 8 раз, радиусы — в ³√8 = 2 раза. Площади поверхностей при этом отличаются в 4 раза. ## Шар, цилиндр и конус: теорема Архимеда Опишем около шара цилиндр: радиус основания R, высота 2R. Его объём 2πR^3, а объём шара 4/3πR^3 — ровно две трети. Архимед считал это открытие главным и завещал изобразить шар в цилиндре на своём надгробии. Конус с тем же основанием и высотой 2R имеет объём 2/3πR^3. Объёмы конуса, шара и цилиндра относятся как 1 : 2 : 3. ## Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ? Объём шара спрашивают в задании 3 профильной математики и в задании на тела вращения базового уровня — чаще всего «во сколько раз». Номера заданий — по проекту спецификации ЕГЭ 2027 года. - [Задание 13 базовой математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika-baza/zadanie-13/) — Тела вращения: во сколько раз объём одного шара больше объёма другого. - [Задание 3 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-3/) — Стереометрия: шар, вписанный в куб или цилиндр, объёмы и отношения. - [Задание 15 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-15/) — Стереометрия с доказательством: сечения шара, касание плоскостей. **Теория по теме:** - [Тела и поверхности вращения](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/tela-i-poverhnosti-vrascheniya/) ## Вопросы и ответы ### Как найти объём шара, если известен диаметр? По формуле V = πd³/6. Для диаметра 6 объём 36π ≈ 113,1. Можно и через радиус: R = 3, V = 4/3 · π · 27. ### Как найти радиус шара по объёму? R = ∛(3V/(4π)). Если V = 288π, то R³ = 216 и R = 6. ### Чем объём шара отличается от площади сферы? Объём V = 4/3·πR³ — сколько места внутри шара, в кубических единицах. Площадь сферы S = 4πR² — площадь его поверхности, в квадратных. Они связаны: V = S·R/3. ## Источники - [ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory) — кодификатор ЕГЭ по математике: шар и сфера, объём шара; номера заданий — по проекту спецификации 2027 года - Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы — школьный учебник: объём шара и его частей, площадь сферы - Примеры и калькулятор — значения в примерах пересчитаны программой; калькулятор считает теми же формулами, что в таблице ## Другие справочные таблицы - [Объём цилиндра: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/obem-cilindra/) - [Объём конуса: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/obem-konusa/) - [Площадь сферы (поверхности шара): формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/ploshchad-sfery/) - [Формулы объёмов тел и площадей поверхностей: таблица](https://neuromisha.ru/spravochnik/formuly-obemov-tel/) - [Объём параллелепипеда: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/obem-parallelepipeda/) - [Объём пирамиды: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/obem-piramidy/) - [Все таблицы по математике](https://neuromisha.ru/spravochnik/#matematika) --- Источник: https://neuromisha.ru/spravochnik/obem-shara/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.