---
title: "Обратные тригонометрические функции: графики, таблица значений"
description: "Обратные тригонометрические функции arcsin, arccos, arctg, arcctg: графики, область определения, таблица значений и свойства."
url: https://neuromisha.ru/spravochnik/obratnye-trigonometricheskie-funkcii/
dateModified: 2026-09-29
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Обратные тригонометрические функции: arcsin, arccos, arctg, arcctg

arcsin a ∈ [−π/2; π/2] и arccos a ∈ [0; π] определены при |a| ≤ 1, arctg a ∈ (−π/2; π/2) — при любом a. Например, arcsin 1/2 = π/6, arctg 1 = π/4.

*Поиск по таблице работает на странице (нужен JavaScript).*

Обратные тригонометрические функции возвращают угол по значению синуса, косинуса, тангенса или котангенса: arcsin a — угол из отрезка [−π/2; π/2], синус которого равен a. Их четыре: arcsin и arccos определены при |a| ≤ 1, arctg и arcctg — при любом a. На рисунках — графики всех четырёх, в таблице — область определения, множество значений и свойства, ниже — значения для табличных углов.

**Обновлено:** 2026-09-29 · Математика · школьный курс алгебры и начал анализа 10 класса; кодификатор ЕГЭ 2027 по математике

## Обратные тригонометрические функции: графики и свойства

*Обратные тригонометрические функции: графики arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x, их область определения, множество значений и свойства*

| Функция | Определение | D(y), E(y) и свойства |
| --- | --- | --- |
| Арксинус | $y = arcsin x ⇔ sin y = x, y \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ | D(y) = [−1; 1], E(y) = [−π/2; π/2]; возрастает; нечётная: arcsin(−x) = −arcsin x |
| Арккосинус | $y = arccos x ⇔ cos y = x, y \in [0; \pi]$ | D(y) = [−1; 1], E(y) = [0; π]; убывает; arccos(−x) = π − arccos x |
| Арктангенс | $y = arctg x ⇔ tg y = x, y \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ | D(y) = ℝ, E(y) = (−π/2; π/2); возрастает; нечётная; асимптоты y = ±π/2 |
| Арккотангенс | $y = arcctg x ⇔ ctg y = x, y \in (0; \pi)$ | D(y) = ℝ, E(y) = (0; π); убывает; arcctg(−x) = π − arcctg x; асимптоты y = 0 и y = π |
| Сумма арксинуса и арккосинуса | $arcsin x + arccos x = \frac{\pi}{2}$ | при −1 ≤ x ≤ 1 |
| Сумма арктангенса и арккотангенса | $arctg x + arcctg x = \frac{\pi}{2}$ | при любом x |
| Синус арксинуса | $sin(arcsin x) = x$ | при −1 ≤ x ≤ 1; так же cos(arccos x) = x, tg(arctg x) = x |
| Косинус арксинуса | $cos(arcsin x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ | корень берут со знаком плюс: arcsin x лежит в I или IV четверти |
| Арксинус синуса | $arcsin(sin x) = x$ | только при x ∈ [−π/2; π/2]: arcsin(sin π) = 0, а не π |

Графики обратных функций симметричны графикам y = sin x, y = cos x, y = tg x и y = ctg x (на выбранных промежутках) относительно прямой y = x. Графики самих тригонометрических функций — на странице графики функций.

## Таблица значений обратных тригонометрических функций

*Значения arcsin, arccos и arctg для табличных аргументов*

| a | arcsin a | arccos a | arctg a |
| --- | --- | --- | --- |
| −1 | $-\frac{\pi}{2}$ | π | $-\frac{\pi}{4}$ |
| $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $-\frac{\pi}{3}$ | $\frac{5\pi}{6}$ | — |
| $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $-\frac{\pi}{4}$ | $\frac{3\pi}{4}$ | — |
| $-\frac{1}{2}$ | $-\frac{\pi}{6}$ | $\frac{2\pi}{3}$ | — |
| 0 | 0 | $\frac{\pi}{2}$ | 0 |
| $\frac{1}{2}$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{3}$ | — |
| $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{4}$ | — |
| $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | — | — | $\frac{\pi}{6}$ |
| $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{6}$ | — |
| 1 | $\frac{\pi}{2}$ | 0 | $\frac{\pi}{4}$ |
| $\sqrt{3}$ | — | — | $\frac{\pi}{3}$ |
| $-\sqrt{3}$ | — | — | $-\frac{\pi}{3}$ |
| $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ | — | — | $-\frac{\pi}{6}$ |

Прочерк — значение не табличное или не существует: arcsin и arccos определены только при −1 ≤ a ≤ 1. arcctg a = π/2 − arctg a: arcctg 1 = π/4, arcctg √3 = π/6.

## Решения простейших тригонометрических уравнений

| Уравнение | Решение | Условие |
| --- | --- | --- |
| sin x = a | $x = (-1)^{n} arcsin a + \pi n$ | \|a\| ≤ 1, n — целое |
| cos x = a | $x = \pm arccos a + 2\pi n$ | \|a\| ≤ 1 |
| tg x = a | $x = arctg a + \pi n$ | любое a |
| ctg x = a | $x = arcctg a + \pi n$ | любое a |

Все частные случаи и примеры — на странице тригонометрические уравнения.

## Зачем нужны обратные тригонометрические функции?

Уравнение sin x = 1/3 имеет бесконечно много решений, и ни одно не выражается «красивым» углом. Арксинус даёт имя одному из них: arcsin 1/3 — угол из [−π/2; π/2], синус которого равен 1/3. Остальные решения получаются из него по формулам третьей таблицы.

Промежутки значений выбраны так, чтобы функция была взаимно однозначной: на [−π/2; π/2] синус принимает каждое значение от −1 до 1 ровно один раз, на [0; π] — косинус.

## Как вычислить арксинус и арккосинус отрицательного числа?

Арксинус и арктангенс — нечётные функции: минус выносится за знак функции, arcsin(−√3/2) = −π/3. У арккосинуса и арккотангенса минус превращается в «π минус»: arccos(−√2/2) = π − π/4 = 3π/4.

Проверяйте ответ по промежутку значений: arccos не бывает отрицательным, а арксинус не бывает больше π/2. Ответ 7π/6 для arcsin(−1/2) заведомо неверен.

## Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?

Обратные тригонометрические функции на ЕГЭ появляются в ответах тригонометрических уравнений: в задании 7 профиля — простейшее уравнение, в задании 14 — уравнение с отбором корней, где корни вида arcsin a + 2πn нужно отобрать на отрезке.

- [Задание 7 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-7/) — Простейшее уравнение, в том числе тригонометрическое.
- [Задание 14 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-14/) — Уравнение с отбором корней: корни через arcsin и arccos.

**Теория по теме:**

- [Тригонометрические функции](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/trigonometricheskie-funkcii/)
- [Тригонометрические уравнения/неравенства](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/trigonometricheskie-uravneniya-neravenstva/)

## Вопросы и ответы

### Что такое арксинус простыми словами?

Угол от −π/2 до π/2, синус которого равен данному числу. arcsin 1/2 = π/6, потому что sin π/6 = 1/2, и π/6 лежит в нужном промежутке.

### Почему arccos не бывает отрицательным?

Его значения по определению берутся из отрезка [0; π], где все числа неотрицательны. Для отрицательных аргументов arccos больше π/2: arccos(−1) = π.

### Чем arctg отличается от arcctg?

arctg a — угол из (−π/2; π/2) с тангенсом a, arcctg a — угол из (0; π) с котангенсом a. Их сумма всегда равна π/2.

### Существует ли arcsin 2?

Нет: синус любого угла лежит от −1 до 1, поэтому уравнение sin x = 2 решений не имеет, а arcsin 2 не определён.

## Источники

- [ФИПИ: проект демоверсии, спецификации и кодификатора ЕГЭ 2027 по математике](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/ma_11_2027.zip) — кодификатор, разделы «Арксинус, арккосинус, арктангенс числа» и «Простейшие тригонометрические уравнения»
- [ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory) — раздел с документами ЕГЭ по всем предметам
- Проверка значений — таблица значений сверена программой с функциями asin, acos и atan; графики построены по точкам самих функций

## Другие справочные таблицы

- [Показательная функция y = aˣ: график и свойства](https://neuromisha.ru/spravochnik/pokazatelnaya-funkciya/)
- [Тригонометрические формулы: все в одной таблице](https://neuromisha.ru/spravochnik/trigonometricheskie-formuly/)
- [Тригонометрический круг со всеми значениями](https://neuromisha.ru/spravochnik/trigonometricheskiy-krug/)
- [Радианы в градусы и градусы в радианы: таблица перевода](https://neuromisha.ru/spravochnik/radiany-v-gradusy/)
- [Тригонометрические уравнения: формулы корней и готовые ответы](https://neuromisha.ru/spravochnik/trigonometricheskie-uravneniya/)
- [Формулы приведения: полная таблица](https://neuromisha.ru/spravochnik/formuly-privedeniya/)
- [Все таблицы по математике](https://neuromisha.ru/spravochnik/#matematika)

---

Источник: https://neuromisha.ru/spravochnik/obratnye-trigonometricheskie-funkcii/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.