---
title: "Площадь многоугольника: формулы и калькулятор"
description: "Площадь правильного многоугольника и шестиугольника, формула Пика для клетчатой бумаги, площадь описанного многоугольника. Рисунки, примеры и калькулятор."
url: https://neuromisha.ru/spravochnik/ploshchad-mnogougolnika/
dateModified: 2026-09-29
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Площадь многоугольника: формулы и калькулятор

Площадь правильного n-угольника со стороной a: S = (na^2)/(4 · tg(180°/n)), правильного шестиугольника S = 3√3/2a^2. На клетчатой бумаге — формула Пика S = В + Г/2 − 1.

*Калькулятор площади многоугольника работает на странице (нужен JavaScript).*

Площадь многоугольника находят одним из трёх способов. Правильный многоугольник делят на n равных треугольников с вершиной в центре. Многоугольник на клетчатой бумаге считают по формуле Пика — по числу узлов сетки внутри и на границе. Любой другой разрезают на треугольники и прямоугольники и складывают их площади.

**Обновлено:** 2026-09-29 · Математика

## Формулы площади многоугольника

*Формулы площади правильного и произвольного многоугольника: что известно, формула и обозначения*

| Что известно | Формула | Обозначения |
| --- | --- | --- |
| Правильный n-угольник: сторона | $S = \frac{n \cdot a^{2}}{4 \cdot tg(180^\circ/n)}$ | n — число сторон, a — сторона |
| Правильный n-угольник: радиус описанной окружности | $S = \frac{1}{2} \cdot n \cdot R^{2} \cdot sin(360^\circ/n)$ | многоугольник делится на n равнобедренных треугольников |
| Правильный n-угольник: радиус вписанной окружности | $S = n \cdot r^{2} \cdot tg(180^\circ/n)$ | r — апофема, расстояние от центра до стороны |
| Правильный шестиугольник: сторона | $S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot a^{2}$ | шесть правильных треугольников со стороной a |
| На клетчатой бумаге (формула Пика) | $S = \text{В} + \frac{\text{Г}}{2} - 1$ | В — узлы сетки внутри, Г — узлы на границе; площадь в клетках |
| Периметр и радиус вписанной окружности | $S = \frac{1}{2} \cdot P \cdot r$ | для любого многоугольника, в который вписана окружность |
| Сумма углов выпуклого n-угольника | $180^\circ \cdot (n - 2)$ | у правильного каждый угол (180° · (n − 2))/n |
| Правильный шестиугольник: радиусы | $R = a; r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ | сторона равна радиусу описанной окружности |
| Произвольный многоугольник | $S = S_{1} + S_{2} + … + S_{k}$ | разрезать на треугольники и прямоугольники и сложить площади |

Для правильного n-угольника все формулы связаны: R — радиус описанной окружности, r — вписанной (апофема), a = 2R · sin(180°/n) = 2r · tg(180°/n).

## Примеры: площадь многоугольника

*Разобранные задачи на площадь многоугольника: условие, решение и ответ*

| Что дано | Решение | Ответ |
| --- | --- | --- |
| Правильный шестиугольник, a = 6 | $S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 36 = 54\sqrt{3}$ | ≈ 93,53 |
| Правильный восьмиугольник, a = 2 | $S = \frac{8 \cdot 4}{4 \cdot tg 22{,}5^\circ}$ | ≈ 19,31 |
| Правильный пятиугольник, a = 10 | $S = \frac{5 \cdot 100}{4 \cdot tg 36^\circ}$ | ≈ 172,05 |
| Правильный 12-угольник, R = 1 | $S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 1 \cdot sin 30^\circ$ | 3 |
| Клетчатая бумага: В = 5, Г = 8 | $S = 5 + \frac{8}{2} - 1$ | 8 клеток |
| Описанный многоугольник: P = 30, r = 4 | $S = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 4$ | 60 |

## Площадь правильного многоугольника

Правильный n-угольник — все стороны и все углы равны. Отрезки из центра к вершинам делят его на n равнобедренных треугольников с боковыми сторонами R и углом 360°/n при вершине. Отсюда S = 1/2nR^2 · sin(360°/n).

Если известна сторона a, высота такого треугольника — апофема r = a/(2 · tg(180°/n)), и площадь S = 1/2Pr = (na^2)/(4 · tg(180°/n)). Для квадрата (n = 4) формула даёт a^2, для правильного треугольника — (a^2√3)/4.

## Площадь правильного шестиугольника

Правильный шестиугольник складывается из шести правильных треугольников со стороной a, поэтому S = 6 · (a^2√3)/4 = 3√3/2a^2 ≈ 2,598a^2. Радиус описанной окружности равен стороне, радиус вписанной — a√3/2.

Шестиугольник со стороной 4 имеет площадь 24√3 ≈ 41,57. Такая форма у пчелиных сот и у оснований шестиугольных призм и пирамид — их объёмы на страницах объём призмы и объём пирамиды.

## Формула Пика: площадь на клетчатой бумаге

Если все вершины многоугольника лежат в узлах сетки, его площадь в клетках S = В + Г/2 − 1, где В — число узлов строго внутри, Г — на границе, включая вершины. Формулу доказал австрийский математик Георг Пик в 1899 году.

На рисунке выше 11 узлов внутри и 12 на границе: S = 11 + 6 − 1 = 16 клеток. Без формулы ту же площадь получают, обводя фигуру прямоугольником по сетке и вычитая лишние треугольники.

## Сумма углов многоугольника

Диагонали из одной вершины делят выпуклый n-угольник на n − 2 треугольника, поэтому сумма его углов 180° · (n − 2). У пятиугольника это 540°, у шестиугольника 720°.

Каждый угол правильного n-угольника равен (180° · (n − 2))/n: у правильного шестиугольника 120°, у восьмиугольника 135°. Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника — 360°.

## Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?

Многоугольники на клетчатой бумаге — отдельное задание базовой математики, а правильные многоугольники встречаются в планиметрии и в основаниях призм и пирамид. Номера заданий — по проекту спецификации ЕГЭ 2027 года.

- [Задание 9 базовой математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika-baza/zadanie-9/) — Площадь многоугольника на клетчатой бумаге: формула Пика или разбиение на части.
- [Задание 1 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-1/) — Планиметрия: углы и площади правильных многоугольников.
- [Задание 3 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-3/) — Стереометрия: шестиугольная призма или пирамида — площадь основания.

**Теория по теме:**

- [Фигуры на плоскости](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/figury-na-ploskosti/)

## Вопросы и ответы

### Как найти площадь неправильного многоугольника?

Разрезать его диагоналями на треугольники (или на треугольники и прямоугольники), найти площадь каждой части и сложить. Если вершины в узлах сетки, быстрее формула Пика S = В + Г/2 − 1.

### Чему равна площадь правильного шестиугольника со стороной 1?

3√3/2 ≈ 2,598. Для стороны a площадь в a² раз больше: при a = 4 это 24√3 ≈ 41,57.

### Какие узлы считать в формуле Пика?

Г — все узлы сетки на сторонах многоугольника, включая вершины; В — узлы строго внутри. Узел на стороне не считают внутренним.

### Какая сумма углов у многоугольника?

У выпуклого n-угольника — 180°·(n − 2): у четырёхугольника 360°, у пятиугольника 540°, у шестиугольника 720°.

## Источники

- [ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory) — кодификатор ЕГЭ по математике: многоугольники, правильные многоугольники, площади плоских фигур; номера заданий — по проекту спецификации 2027 года
- Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 7–9 классы — школьный учебник: многоугольники, сумма углов, правильные многоугольники, вписанная и описанная окружности
- Примеры и калькулятор — значения в примерах и число узлов на рисунке пересчитаны программой; калькулятор считает теми же формулами, что в таблице

## Другие справочные таблицы

- [Площадь треугольника: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/ploshchad-treugolnika/)
- [Площадь трапеции: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/ploshchad-trapecii/)
- [Площадь параллелограмма: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/ploshchad-parallelogramma/)
- [Площадь круга: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/ploshchad-kruga/)
- [Площадь ромба: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/ploshchad-romba/)
- [Формулы площадей всех фигур: таблица с рисунками](https://neuromisha.ru/spravochnik/formuly-ploshchadey-figur/)
- [Все таблицы по математике](https://neuromisha.ru/spravochnik/#matematika)

---

Источник: https://neuromisha.ru/spravochnik/ploshchad-mnogougolnika/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.