--- title: "Площадь поверхности пирамиды: формулы полной и боковой" description: "Площадь поверхности пирамиды: полная и боковая, правильные треугольная, четырёхугольная и шестиугольная, тетраэдр, апофема." url: https://neuromisha.ru/spravochnik/ploshchad-poverhnosti-piramidy/ dateModified: 2026-09-29 author: "Редакция НейроМиши" --- # Площадь поверхности пирамиды: формулы и примеры Площадь поверхности пирамиды: S_полн = S_осн + S_бок. Для правильной пирамиды S_бок = 1/2P_осн · h_a, где h_a — апофема. У правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания a: S_полн = a^2 + 2a · h_a. *Поиск по таблице работает на странице (нужен JavaScript).* Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади основания и площади боковой поверхности: S = Sосн + Sбок. У правильной пирамиды боковая поверхность — половина произведения периметра основания на апофему, Sбок = ½·P·hₐ, где апофема hₐ — высота боковой грани. В таблице — формулы для правильных треугольной, четырёхугольной и шестиугольной пирамид и тетраэдра, а ещё как найти апофему через высоту или боковое ребро. **Обновлено:** 2026-09-29 · Математика · школьный курс геометрии 10–11 классов; кодификатор ЕГЭ 2027 по математике ## Площадь поверхности пирамиды: формулы *Формулы площади полной и боковой поверхности пирамиды, правильных пирамид и тетраэдра, формулы апофемы* | Что известно | Формула | Обозначения | | --- | --- | --- | | Полная поверхность | $S_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}$ | для любой пирамиды | | Боковая поверхность любой пирамиды | $S_{\text{бок}} = S_{1} + S_{2} + … + S_{n}$ | сумма площадей боковых граней-треугольников | | Боковая поверхность правильной пирамиды | $S_{\text{бок}} = \frac{1}{2}P_{\text{осн}} \cdot h_{a}$ | P_осн — периметр основания, h_a — апофема | | Через угол наклона граней | $S_{\text{бок}} = \frac{S_{\text{осн}}}{cos \varphi}$ | φ — угол между боковой гранью и основанием, одинаковый у всех граней | | Правильная четырёхугольная | $S_{\text{полн}} = a^{2} + 2a \cdot h_{a}$ | a — сторона квадрата в основании | | Правильная треугольная: боковая | $S_{\text{бок}} = \frac{3}{2}a \cdot h_{a}$ | три одинаковые грани с основанием a | | Правильная треугольная: полная | $S_{\text{полн}} = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} + \frac{3}{2}a \cdot h_{a}$ | основание — равносторонний треугольник | | Правильная шестиугольная | $S_{\text{полн}} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^{2} + 3a \cdot h_{a}$ | основание — правильный шестиугольник | | Правильный тетраэдр | $S = a^{2}\sqrt{3}$ | четыре равносторонних треугольника с ребром a | | Апофема через высоту | $h_{a} = \sqrt{h^{2} + r^{2}}$ | r — радиус вписанной окружности основания: a/2 у квадрата, a√3/6 у треугольника | | Апофема через боковое ребро | $h_{a} = \sqrt{b^{2} - \frac{a^{2}}{4}}$ | b — боковое ребро, a — сторона основания | Объём пирамиды — на странице объём пирамиды, площади оснований — в формулах площадей фигур. ## Пример: площадь поверхности правильной пирамиды Правильная четырёхугольная пирамида: сторона основания 6, высота 4. Радиус вписанной в квадрат окружности r = 3, апофема h_a = √(4^2 + 3^2) = 5. Боковая поверхность S_бок = 1/2 · 24 · 5 = 60, основание 36, полная поверхность 96. Правильная треугольная пирамида: сторона основания 8, боковое ребро 5. Апофема h_a = √(25 − 16) = 3, боковая поверхность S_бок = 3/2 · 8 · 3 = 36. Основание 64√3/4 = 16√3, полная поверхность 36 + 16√3 ≈ 63,7. ## Где ошибаются чаще всего? - Путают апофему с высотой пирамиды. Высота опущена на основание, апофема лежит в боковой грани — она всегда длиннее высоты. - Путают апофему с боковым ребром. Ребро идёт в вершину основания, апофема — в середину стороны. - Считают только боковую поверхность, когда спрашивают полную, и наоборот: читайте, какая нужна. - Берут для треугольной пирамиды радиус описанной окружности вместо вписанной: в формуле апофемы нужен r = a√3/6. ## Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ? Площадь поверхности пирамиды спрашивают в задании 3 профильной математики (стереометрия: объёмы и площади) и в задании 13 базовой, где часто нужна боковая поверхность правильной треугольной пирамиды. - [Задание 3 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-3/) — Стереометрия: объёмы и площади поверхности многогранников и тел вращения. - [Задание 13 базовой математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika-baza/zadanie-13/) — Пирамиды и тела вращения: площадь боковой поверхности, объём. **Теория по теме:** - [Многогранники](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/mnogogranniki/) ## Вопросы и ответы ### Как найти площадь полной поверхности пирамиды? Сложить площадь основания и площади всех боковых граней. У правильной пирамиды боковые грани одинаковые, поэтому S_полн = S_осн + 1/2P_осн · h_a. ### Как найти апофему пирамиды? Через боковое ребро b и сторону основания a: h_a = √(b^2 − (a^2)/4). Или через высоту h и радиус вписанной окружности основания r: h_a = √(h^2 + r^2). ### Чем площадь боковой поверхности отличается от полной? Боковая — это только грани-треугольники, полная — ещё и основание. Для правильной четырёхугольной пирамиды разница равна a^2. ### Чему равна площадь поверхности правильного тетраэдра? S = a^2√3: четыре равносторонних треугольника по (a^2√3)/4. При ребре 3 получается 9√3 ≈ 15,6. ## Источники - [ФИПИ: проект демоверсии, спецификации и кодификатора ЕГЭ 2027 по математике](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/ma_11_2027.zip) — кодификатор, раздел «Геометрия»: пирамида, площадь поверхности многогранников - [ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory) — раздел с документами ЕГЭ по всем предметам - Проверка примеров — площади и апофемы из примеров и тренажёра пересчитаны программой по координатам вершин ## Другие справочные таблицы - [Площадь поверхности призмы: формулы и примеры](https://neuromisha.ru/spravochnik/ploshchad-poverhnosti-prizmy/) - [Формулы объёмов тел и площадей поверхностей: таблица](https://neuromisha.ru/spravochnik/formuly-obemov-tel/) - [Объём пирамиды: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/obem-piramidy/) - [Объём параллелепипеда: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/obem-parallelepipeda/) - [Объём куба: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/obem-kuba/) - [Объём призмы: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/obem-prizmy/) - [Все таблицы по математике](https://neuromisha.ru/spravochnik/#matematika) --- Источник: https://neuromisha.ru/spravochnik/ploshchad-poverhnosti-piramidy/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.