--- title: "Площадь сектора круга: формулы и калькулятор" description: "Площадь кругового сектора: через радиус и угол в градусах или радианах, через длину дуги. Площадь сегмента, рисунки, примеры и калькулятор с решением." url: https://neuromisha.ru/spravochnik/ploshchad-sektora/ dateModified: 2026-09-29 author: "Редакция НейроМиши" --- # Площадь сектора круга: формулы и калькулятор Площадь сектора круга радиуса r с центральным углом α: S = (πr^2 · α)/(360°). Через длину дуги l: S = 1/2lr, для угла в радианах: S = 1/2r^2 α. *Калькулятор площади сектора работает на странице (нужен JavaScript).* Сектор — часть круга между двумя радиусами. Его площадь составляет такую же долю от площади круга, какую центральный угол составляет от 360°: сектор в 90° — четверть круга, в 60° — шестая часть. Если известна длина дуги, площадь равна половине произведения дуги на радиус. Сегмент получается, если из сектора вычесть треугольник под хордой. **Обновлено:** 2026-09-29 · Математика ## Формулы площади сектора и сегмента *Формулы площади кругового сектора и сегмента: что известно, формула и обозначения* | Что известно | Формула | Обозначения | | --- | --- | --- | | Радиус и угол в градусах | $S = \frac{\pi r^{2} \cdot \alpha}{360^\circ}$ | α — центральный угол сектора | | Радиус и длина дуги | $S = \frac{1}{2} \cdot l \cdot r$ | l — длина дуги сектора | | Радиус и угол в радианах | $S = \frac{1}{2} \cdot r^{2} \cdot \alpha$ | α — в радианах: 180° = π | | Сегмент: радиус и угол | $S = \frac{r^{2}}{2} \cdot (\frac{\pi\alpha}{180^\circ} - sin \alpha)$ | сектор минус треугольник под хордой | | Длина дуги | $l = \frac{\pi r\alpha}{180^\circ}$ | для угла в радианах l = rα | | Угол по площади сектора | $\alpha = \frac{360^\circ \cdot S}{\pi r^{2}}$ | обратная задача | | Перевод градусов в радианы | $\alpha_{\text{рад}} = \frac{\pi \cdot \alpha^\circ}{180^\circ}$ | 90° = π/2, 60° = π/3, 45° = π/4 | Сектор — часть круга между двумя радиусами и дугой, сегмент — между хордой и дугой. Площадь сегмента меньше площади сектора с тем же углом на площадь треугольника с вершиной в центре. ## Примеры: площадь сектора и сегмента *Разобранные задачи на площадь сектора и сегмента: условие, решение и ответ* | Что дано | Решение | Ответ | | --- | --- | --- | | r = 6, α = 60° | $S = \frac{\pi \cdot 36 \cdot 60}{360}$ | 6π ≈ 18,85 | | r = 10, α = 90° | $S = \frac{\pi \cdot 100}{4}$ | 25π ≈ 78,54 | | r = 4, α = 135° | $S = \frac{\pi \cdot 16 \cdot 135}{360}$ | 6π ≈ 18,85 | | r = 8, длина дуги 10 | $S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 8$ | 40 | | $r = 3, \alpha = \frac{2\pi}{3} \text{рад}$ | $S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot \frac{2\pi}{3}$ | 3π ≈ 9,42 | | Сегмент: r = 6, α = 60° | $S = 6\pi - \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\pi - 9\sqrt{3}$ | ≈ 3,26 | ## Площадь сектора как доля круга Площадь сектора пропорциональна его центральному углу. Полный круг — 360° и площадь πr^2, поэтому сектор с углом α занимает долю α/(360°): S = πr^2 · α/(360°). Удобные доли: 180° — половина круга, 90° — четверть, 120° — треть, 60° — шестая часть, 45° — восьмая. Сектор радиуса 6 с углом 60° — это шестая часть от 36π, то есть 6π. ## Площадь сектора через длину дуги Длина дуги тоже пропорциональна углу: l = πrα/(180°). Если подставить её в формулу площади, угол сокращается и остаётся S = 1/2lr — как площадь треугольника с основанием l и высотой r. В радианах формулы короче: l = rα и S = 1/2r^2 α. Проверка: для полного круга α = 2π и S = 1/2r^2 · 2π = πr^2. ## Площадь сегмента круга Хорда отсекает от круга сегмент. Его площадь — площадь сектора с тем же углом минус площадь треугольника, у которого две стороны — радиусы: S = (πr^2 α)/(360°) − 1/2r^2 · sin α. Для α = 90° и r = 6 получается 9π − 18 ≈ 10,27. Если угол больше 180°, синус отрицателен и треугольник не вычитается, а прибавляется — формула остаётся той же. ## Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ? Секторы появляются в практических задачах базового уровня (круг, разделённый на равные части) и на клетчатой бумаге, где площадь сектора считают через π. Номера заданий — по проекту спецификации ЕГЭ 2027 года. - [Задание 10 базовой математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika-baza/zadanie-10/) — Практическая планиметрия: центральный угол одного из равных секторов круга. - [Задание 9 базовой математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika-baza/zadanie-9/) — Сектор на клетчатой бумаге: радиус по клеткам, ответ через π. - [Задание 1 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-1/) — Планиметрия: центральные и вписанные углы, дуги окружности. **Теория по теме:** - [Фигуры на плоскости](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/figury-na-ploskosti/) ## Вопросы и ответы ### Чем сектор отличается от сегмента? Сектор ограничен двумя радиусами и дугой — похож на кусок пирога. Сегмент ограничен хордой и дугой. Площадь сегмента — площадь сектора минус треугольник из двух радиусов и хорды. ### Как найти площадь сектора, если угол дан в радианах? По формуле S = ½·r²·α. Для r = 4 и α = π/4 площадь ½·16·π/4 = 2π ≈ 6,28. Можно и перевести угол в градусы: π/4 = 45°. ### Как найти центральный угол, если известна площадь сектора? Найти, какую долю площади круга занимает сектор, и умножить её на 360°. Сектор 6π в круге радиуса 6 (площадь 36π) — это 1/6 круга, угол 60°. ## Источники - [ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory) — кодификатор ЕГЭ по математике: окружность и круг, центральный угол, площади плоских фигур; номера заданий — по проекту спецификации 2027 года - Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 7–9 классы — школьный учебник: длина дуги, площадь круга и кругового сектора - Примеры и калькулятор — значения в примерах пересчитаны программой; калькулятор считает теми же формулами, что в таблице ## Другие справочные таблицы - [Площадь прямоугольника: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/ploshchad-pryamougolnika/) - [Площадь квадрата: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/ploshchad-kvadrata/) - [Площадь круга: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/ploshchad-kruga/) - [Площадь треугольника: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/ploshchad-treugolnika/) - [Площадь трапеции: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/ploshchad-trapecii/) - [Площадь параллелограмма: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/ploshchad-parallelogramma/) - [Все таблицы по математике](https://neuromisha.ru/spravochnik/#matematika) --- Источник: https://neuromisha.ru/spravochnik/ploshchad-sektora/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.