--- title: "Площадь сферы и поверхности шара: формулы, калькулятор" description: "Площадь сферы S = 4πR²: через радиус, диаметр, объём шара, площадь сечения шара плоскостью. Рисунки, примеры с ответом через π и калькулятор." url: https://neuromisha.ru/spravochnik/ploshchad-sfery/ dateModified: 2026-09-29 author: "Редакция НейроМиши" --- # Площадь сферы (поверхности шара): формулы и калькулятор Площадь сферы (поверхности шара) радиуса R: S = 4πR^2. Через диаметр S = πd^2. Площадь сечения шара на расстоянии d от центра S = π(R^2 − d^2). *Калькулятор площади сферы работает на странице (нужен JavaScript).* Площадь сферы равна учетверённой площади её большого круга: S = 4πR². Сфера — это поверхность шара, поэтому «площадь сферы» и «площадь поверхности шара» — одна и та же величина. Через диаметр формула короче: S = πd². Площадь растёт как квадрат радиуса: радиус вдвое больше — площадь вчетверо. **Обновлено:** 2026-09-29 · Математика ## Формулы площади сферы *Формулы площади сферы и сечения шара: что известно, формула и обозначения* | Что известно | Формула | Обозначения | | --- | --- | --- | | Радиус | $S = 4\pi R^{2}$ | площадь сферы равна четырём площадям её большого круга | | Диаметр | $S = \pi d^{2}$ | из S = 4πR² при R = d/2 | | Объём шара | $R = \sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}; S = 4\pi R^{2}$ | сначала радиус из формулы объёма | | Сечение шара: радиус и расстояние от центра | $S_{\text{сеч}} = \pi(R^{2} - d^{2})$ | d — расстояние от центра до плоскости сечения | | Площадь большого круга | $S_{\text{кр}} = \pi R^{2}$ | сечение через центр; площадь сферы в 4 раза больше | | Радиус по площади сферы | $R = \sqrt{\frac{S}{4\pi}}$ | обратная задача | | Радиус сечения | $\rho = \sqrt{R^{2} - d^{2}}$ | d — расстояние от центра шара до плоскости сечения | Сфера — поверхность, шар — тело, ограниченное сферой. У сферы есть площадь, у шара — объём; «площадь поверхности шара» — это площадь сферы. ## Примеры: площадь сферы и сечения шара *Разобранные задачи на площадь сферы и сечения шара: условие, решение и ответ* | Что дано | Решение | Ответ | | --- | --- | --- | | R = 5 | S = 4π · 25 | 100π ≈ 314,16 | | d = 12 | S = π · 144 | 144π ≈ 452,39 | | R = 0,5 м | S = 4π · 0,25 | $\pi \approx 3{,}14 \text{м}^{2}$ | | Объём шара 288π | $R^{3} = \frac{3 \cdot 288\pi}{4\pi} = 216; R = 6; S = 4\pi \cdot 36$ | 144π | | Сечение: R = 10, расстояние 6 | $\rho^{2} = 100 - 36 = 64; S_{\text{сеч}} = 64\pi$ | 64π ≈ 201,06 | | Радиус втрое больше | $S = 4\pi(3R)^{2} = 9 \cdot 4\pi R^{2}$ | в 9 раз больше | ## Площадь поверхности шара через радиус и диаметр Площадь сферы в четыре раза больше площади её большого круга πR^2: S = 4πR^2. Через диаметр d = 2R формула становится S = πd^2. Мяч диаметром 22 см имеет поверхность около 1520 см^2. Архимед сравнивал шар с описанным цилиндром: площадь сферы равна площади боковой поверхности цилиндра той же высоты 2R, то есть 2πR · 2R = 4πR^2. ## Площадь сечения шара Любое сечение шара плоскостью — круг. Его радиус ρ находят из прямоугольного треугольника с гипотенузой R и катетом d — расстоянием от центра до плоскости: ρ = √(R^2 − d^2), площадь сечения π(R^2 − d^2). Наибольшее сечение проходит через центр (d = 0) — это большой круг с площадью πR^2. Для R = 10 и d = 6 радиус сечения 8, площадь 64π. ## Площадь сферы и объём шара Если известен объём шара V = 4/3πR^3, сначала находят радиус R = ³√(3V/(4π)), затем площадь. Для V = 288π радиус 6, площадь 144π. При увеличении радиуса в k раз площадь растёт в k^2 раз, а объём — в k^3. Поэтому у крупного шара на единицу объёма приходится меньше поверхности, чем у мелкого. ## Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ? Площадь сферы спрашивают в задании 3 профильной математики и в заданиях на тела вращения базового уровня — часто с ответом через π или «во сколько раз». Номера заданий — по проекту спецификации ЕГЭ 2027 года. - [Задание 3 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-3/) — Стереометрия: площадь поверхности шара, вписанный и описанный шар. - [Задание 13 базовой математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika-baza/zadanie-13/) — Тела вращения: во сколько раз изменится площадь или объём шара. - [Задание 15 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-15/) — Стереометрия с доказательством: сечения шара плоскостью. **Теория по теме:** - [Тела и поверхности вращения](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/tela-i-poverhnosti-vrascheniya/) ## Вопросы и ответы ### Площадь сферы и площадь поверхности шара — это одно и то же? Да. Сфера — поверхность, которая ограничивает шар. У шара как тела считают объём, а его поверхность — это сфера, её площадь 4πR². ### Как найти площадь сферы, если известен диаметр? По формуле S = πd². При диаметре 10 площадь 100π ≈ 314,16. Можно и через радиус: R = 5, 4π · 25 = 100π. ### Во сколько раз изменится площадь сферы, если радиус увеличить вдвое? В четыре раза: площадь пропорциональна квадрату радиуса. Объём шара при этом вырастет в восемь раз. ## Источники - [ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory) — кодификатор ЕГЭ по математике: шар и сфера, площадь сферы; номера заданий — по проекту спецификации 2027 года - Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы — школьный учебник: сфера и шар, площадь сферы, сечение шара плоскостью - Примеры и калькулятор — значения в примерах пересчитаны программой; калькулятор считает теми же формулами, что в таблице ## Другие справочные таблицы - [Площадь поверхности цилиндра: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/ploshchad-poverhnosti-cilindra/) - [Площадь поверхности конуса: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/ploshchad-poverhnosti-konusa/) - [Объём шара: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/obem-shara/) - [Формулы объёмов тел и площадей поверхностей: таблица](https://neuromisha.ru/spravochnik/formuly-obemov-tel/) - [Объём цилиндра: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/obem-cilindra/) - [Объём конуса: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/obem-konusa/) - [Все таблицы по математике](https://neuromisha.ru/spravochnik/#matematika) --- Источник: https://neuromisha.ru/spravochnik/ploshchad-sfery/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.