---
title: "Площадь треугольника: формулы, как найти, калькулятор"
description: "Все формулы площади треугольника с рисунками: основание и высота, две стороны и угол, Герон, радиусы окружностей. Калькулятор с ходом решения."
url: https://neuromisha.ru/spravochnik/ploshchad-treugolnika/
dateModified: 2026-09-29
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Площадь треугольника: формулы и калькулятор

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту: S = 1/2ah. Через две стороны и угол между ними S = 1/2ab · sin γ, через три стороны — формула Герона S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)).

*Калькулятор площади треугольника работает на странице (нужен JavaScript).*

Формулу площади треугольника выбирают по тому, что известно. Есть основание и высота к нему — берут половину их произведения. Две стороны и угол между ними — половину произведения сторон на синус угла. Три стороны — формулу Герона. У прямоугольного треугольника площадь равна половине произведения катетов.

**Обновлено:** 2026-09-29 · Математика

## Формулы площади треугольника

*Формулы площади треугольника: что известно, формула и обозначения*

| Что известно | Формула | Обозначения |
| --- | --- | --- |
| Основание и высота | $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$ | h — высота, проведённая к стороне a |
| Две стороны и угол между ними | $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot sin \gamma$ | γ — угол между сторонами a и b |
| Три стороны (формула Герона) | $S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$ | p = (a + b + c)/2 — полупериметр |
| Периметр и радиус вписанной окружности | $S = p \cdot r$ | p — полупериметр, r — радиус вписанной окружности |
| Три стороны и радиус описанной окружности | $S = \frac{abc}{4R}$ | R — радиус описанной окружности |
| Прямоугольный: два катета | $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$ | a и b — катеты |
| Прямоугольный: гипотенуза и катет | $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \sqrt{c^{2} - a^{2}}$ | второй катет — по теореме Пифагора |
| Равнобедренный: основание и боковая сторона | $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \sqrt{b^{2} - \frac{a^{2}}{4}}$ | высота к основанию делит его пополам |
| Равносторонний: сторона | $S = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$ | высота равностороннего треугольника h = a√3/2 |
| Прямоугольный: гипотенуза и высота к ней | $S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_{c}$ | отсюда высота к гипотенузе h_c = ab/c |
| По координатам вершин | $S = \frac{1}{2} \cdot \|(x_{2} - x_{1})(y_{3} - y_{1}) - (x_{3} - x_{1})(y_{2} - y_{1})\|$ | вершины A(x_1; y_1), B(x_2; y_2), C(x_3; y_3) |
| Подобные треугольники | $\frac{S_{1}}{S_{2}} = k^{2}$ | k — коэффициент подобия: площади относятся как квадрат его |
| Медиана делит пополам | $S_{ABM} = S_{ACM} = \frac{S}{2}$ | M — середина стороны BC, AM — медиана |

Все формулы дают одну площадь: у треугольника со сторонами 13, 14, 15 по Герону S = 84, и через сторону 14 с высотой 12 к ней — тоже 84. Площадь треугольника ищут в задании 1 профильной математики и в задачах на клетчатой бумаге базового уровня.

## Примеры: как найти площадь треугольника

*Разобранные задачи на площадь треугольника: условие, решение и ответ*

| Что дано | Решение | Ответ |
| --- | --- | --- |
| Основание 12 см, высота к нему 5 см | $S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5$ | $30 \text{см}^{2}$ |
| Стороны 7 и 8, угол между ними 150° | $S = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 8 \cdot sin 150^\circ = 28 \cdot \frac{1}{2}$ | 14 |
| Стороны 13, 14 и 15 | $p = 21; S = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056}$ | 84 |
| Прямоугольный, катеты 9 и 12 | $S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12$ | 54 |
| Равнобедренный: основание 16, боковая сторона 10 | $h = \sqrt{10^{2} - 8^{2}} = 6; S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 6$ | 48 |
| Вершины A(1; 1), B(5; 1), C(2; 4) | $S = \frac{1}{2} \cdot \|4 \cdot 3 - 1 \cdot 0\|$ | 6 |

sin 150° = sin 30° = 1/2: синусы смежных углов равны, поэтому тупой угол в формуле не мешает.

## Как найти площадь прямоугольного треугольника?

Катеты прямоугольного треугольника перпендикулярны, поэтому один катет служит высотой к другому: S = 1/2ab. Если известны гипотенуза c и катет a, второй катет находят по теореме Пифагора: b = √(c^2 − a^2). При c = 13 и a = 5 получается b = 12 и S = 30.

Площадь можно записать и через гипотенузу: S = 1/2c · h_c, где h_c — высота из прямого угла. Отсюда удобная формула этой высоты: h_c = ab/c. У треугольника с катетами 6 и 8 гипотенуза 10, а высота к ней 4,8.

## Площадь равнобедренного и равностороннего треугольника

В равнобедренном треугольнике высота к основанию делит его пополам. Поэтому h = √(b^2 − (a^2)/4), где a — основание, b — боковая сторона, и S = 1/2a · h. Для основания 10 и боковой стороны 13 высота равна 12, площадь — 60.

У равностороннего треугольника со стороной a высота h = a√3/2, а площадь S = (a^2√3)/4, примерно 0,433 · a^2. При стороне 6 это 9√3 ≈ 15,59.

## Площадь треугольника через синус угла

Если известны две стороны и угол между ними, высоту искать не нужно: S = 1/2ab · sin γ. Высота к стороне a здесь уже спрятана в формуле — это b · sin γ.

Пример: стороны 6 и 8, угол между ними 30°. S = 1/2 · 6 · 8 · 1/2 = 12. Если угол 150°, ответ тот же, потому что sin 150° = sin 30°. При угле 90° синус равен 1, и формула превращается в площадь прямоугольного треугольника по катетам. Значения синусов — в таблице синусов и косинусов.

## Площадь по трём сторонам: формула Герона

Сначала находят полупериметр p = (a + b + c)/2, затем S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)). Если под корнем вышел ноль или отрицательное число, треугольника с такими сторонами нет: одна сторона не меньше суммы двух других.

Формулу проверяют на «египетском» треугольнике 3, 4, 5. Полупериметр 6, S = √(6 · 3 · 2 · 1) = 6 — столько же, сколько 1/2 · 3 · 4 по катетам.

## Площадь треугольника ABC по координатам и на клетках

Для вершин A(x_1; y_1), B(x_2; y_2), C(x_3; y_3) площадь равна S = 1/2 · |(x_2 − x_1)(y_3 − y_1) − (x_3 − x_1)(y_2 − y_1)|. Модуль нужен потому, что без него знак ответа зависит от порядка обхода вершин.

На клетчатой бумаге обычно быстрее другой приём: обвести треугольник прямоугольником по линиям сетки и вычесть площади прямоугольных треугольников по углам. Для многоугольника с вершинами в узлах сетки работает и формула Пика.

## Где чаще всего ошибаются?

- Берут высоту, проведённую не к той стороне. В S = 1/2ah высота должна быть перпендикуляром именно к стороне a или к её продолжению.
- Подставляют в S = 1/2ab · sin γ угол, который не лежит между сторонами a и b.
- Забывают множитель 1/2 и получают площадь параллелограмма — вдвое больше ответа.
- Путают единицы: стороны в сантиметрах, а площадь записывают в метрах. Площадь измеряют в квадратных единицах: см^2, м^2.

## Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?

Площадь треугольника нужна в заданиях по планиметрии в обоих уровнях ЕГЭ по математике. Номера заданий — по проекту спецификации ЕГЭ 2027 года.

- [Задание 1 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-1/) — Планиметрия: площадь по катетам, по основанию и высоте, через синус угла.
- [Задание 12 базовой математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika-baza/zadanie-12/) — Теоремы о треугольнике: второй катет по теореме Пифагора, затем площадь.
- [Задание 9 базовой математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika-baza/zadanie-9/) — Площадь треугольника или многоугольника на клетчатой бумаге.
- [Задание 18 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-18/) — Планиметрия с доказательством: отношения площадей, радиусы вписанной и описанной окружностей.

**Теория по теме:**

- [Фигуры на плоскости](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/figury-na-ploskosti/)

## Вопросы и ответы

### Как найти площадь треугольника, если известны только стороны?

По формуле Герона: сначала полупериметр p = (a + b + c)/2, потом S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)). Для сторон 13, 14 и 15 полупериметр 21, площадь √7056 = 84.

### Почему площадь треугольника — половина основания на высоту?

Два одинаковых треугольника, приложенные друг к другу, складываются в параллелограмм с тем же основанием и той же высотой. Его площадь a · h, значит, у одного треугольника — половина.

### Можно ли взять высоту, которая лежит вне треугольника?

Да. У тупоугольного треугольника высоты к сторонам тупого угла падают на продолжения этих сторон. Формула S = ½ah от этого не меняется: берут длину перпендикуляра до прямой, на которой лежит сторона.

### Как проверить ответ, если площадь посчитана по одной формуле?

Посчитать другим способом из таблицы: по трём сторонам и по стороне с высотой к ней ответ должен совпасть. Калькулятор выше показывает ход решения, чтобы сверить каждый шаг.

## Источники

- [ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory) — кодификатор ЕГЭ по математике: треугольник, площади плоских фигур; номера заданий — по проекту спецификации 2027 года
- Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 7–9 классы — школьный учебник: площадь треугольника, теорема Пифагора, соотношения между сторонами и углами треугольника
- Примеры и калькулятор — значения в примерах пересчитаны программой; калькулятор считает теми же формулами, что в таблице

## Другие справочные таблицы

- [Площадь трапеции: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/ploshchad-trapecii/)
- [Площадь параллелограмма: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/ploshchad-parallelogramma/)
- [Площадь круга: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/ploshchad-kruga/)
- [Площадь ромба: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/ploshchad-romba/)
- [Площадь многоугольника: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/ploshchad-mnogougolnika/)
- [Формулы площадей всех фигур: таблица с рисунками](https://neuromisha.ru/spravochnik/formuly-ploshchadey-figur/)
- [Все таблицы по математике](https://neuromisha.ru/spravochnik/#matematika)

---

Источник: https://neuromisha.ru/spravochnik/ploshchad-treugolnika/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.