---
title: "Показательная функция: график, свойства, уравнения"
description: "Показательная функция y = aˣ: графики при a > 1 и 0 < a < 1, свойства, показательные уравнения и неравенства с примерами."
url: https://neuromisha.ru/spravochnik/pokazatelnaya-funkciya/
dateModified: 2026-09-29
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Показательная функция y = aˣ: график и свойства

Показательная функция y = a^x (a > 0, a ≠ 1) определена при всех x, принимает только положительные значения и проходит через (0; 1); при a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.

*Поиск по таблице работает на странице (нужен JavaScript).*

Показательная функция — функция вида y = aˣ, где основание a > 0 и a ≠ 1. Она определена при всех x, принимает только положительные значения и проходит через точку (0; 1). При a > 1 функция возрастает, при 0 < a < 1 — убывает; ось Ox — её горизонтальная асимптота. На рисунках — оба случая, в таблицах — свойства и приёмы решения показательных уравнений и неравенств.

**Обновлено:** 2026-09-29 · Математика · школьный курс алгебры и начал анализа 10–11 классов; кодификатор ЕГЭ 2027 по математике

## Показательная функция: графики и свойства

*Графики y = aˣ при a > 1 и 0 < a < 1 и свойства показательной функции*

| Свойство | Формула | Пояснение |
| --- | --- | --- |
| Определение | $y = a^{x}, a > 0, a \neq 1$ | переменная — в показателе; при a = 1 получилась бы прямая y = 1 |
| Область определения | $D(y) = ℝ$ | x — любое число |
| Множество значений | $E(y) = (0; +\infty)$ | значения только положительные |
| Точка на оси Oy | $a^{0} = 1$ | любой график проходит через (0; 1) |
| Возрастание | $a > 1: x_{1} < x_{2} ⇒ a^{x_{1}} < a^{x_{2}}$ | y = 2^x, y = e^x, y = 10^x |
| Убывание | $0 < a < 1: x_{1} < x_{2} ⇒ a^{x_{1}} > a^{x_{2}}$ | y = (1/2)^x = 2^(−x) |
| Асимптота | $y = 0$ | при a > 1 — когда x → −∞, при 0 < a < 1 — когда x → +∞ |
| Отрицательный показатель | $a^{-x} = (\frac{1}{a})^{x}$ | графики y = a^x и y = a^(−x) симметричны относительно оси Oy |
| Равенство степеней | $a^{f(x)} = a^{g(x)} ⇔ f(x) = g(x)$ | основной приём показательных уравнений |
| Экспонента | $y = e^{x}, e \approx 2{,}718$ | (e^x)′ = e^x; обратная функция — y = ln x |

Обратная к y = a^x функция — логарифм y = log_a x: их графики симметричны относительно прямой y = x. Свойства степеней — на странице свойства степеней.

## Показательная функция при a > 1 и 0 < a < 1

*Сравнение свойств показательной функции при основании больше и меньше единицы*

| Свойство | a > 1 | 0 < a < 1 |
| --- | --- | --- |
| монотонность | возрастает | убывает |
| при x → +∞ | $a^{x} \to +\infty$ | $a^{x} \to 0$ |
| при x → −∞ | $a^{x} \to 0$ | $a^{x} \to +\infty$ |
| $a^{x} > 1$ | при x > 0 | при x < 0 |
| $0 < a^{x} < 1$ | при x < 0 | при x > 0 |
| $\text{неравенство} a^{f} > a^{g}$ | f > g — знак тот же | f < g — знак меняется |

## Показательные уравнения и неравенства: приёмы

*Основные приёмы решения показательных уравнений и неравенств с примерами*

| Приём | Пример | Ответ |
| --- | --- | --- |
| привести к одному основанию | $2^{x + 3} = 32 = 2^{5}$ | x = 2 |
| отрицательный показатель | $5^{x} = \frac{1}{125} = 5^{-3}$ | x = −3 |
| основание-дробь | $(\frac{1}{3})^{x} = 9 = (\frac{1}{3})^{-2}$ | x = −2 |
| вынести общий множитель | $2^{x + 1} + 2^{x} = 24: 3 \cdot 2^{x} = 24$ | x = 3 |
| $\text{замена} t = a^{x}$ | $4^{x} - 3 \cdot 2^{x} - 4 = 0: t^{2} - 3t - 4 = 0, t = 4$ | x = 2 (t = −1 не подходит) |
| логарифмирование | $3^{x} = 7$ | $x = log_{3} 7$ |
| неравенство, a > 1 | $2^{x} > 8$ | x > 3 |
| неравенство, 0 < a < 1 | $0{,}5^{x} \geq 0{,}25$ | x ≤ 2 |

После замены t = a^x отрицательные значения t отбрасывают: показательная функция принимает только положительные значения.

## Как построить график показательной функции?

Отметьте точку (0; 1), точку (1; a) и ещё две-три: для y = 2^x это (−1; 1/2), (2; 4), (3; 8). Проведите плавную кривую, которая слева прижимается к оси Ox, но не касается её, а справа быстро уходит вверх.

График y = (1/2)^x — зеркальное отражение y = 2^x относительно оси Oy. Графики со сдвигом строят преобразованиями: y = 2^x − 3 — тот же график, опущенный на 3, его асимптота — прямая y = −3.

## Где ошибаются чаще всего?

- Путают показательную и степенную функции: в y = 2^x переменная в показателе, в y = x^2 — в основании.
- Не меняют знак неравенства при основании меньше 1: (1/3)^x > (1/3)^2 ⇔ x < 2.
- После замены t = a^x оставляют отрицательный корень t — уравнение a^x = −1 решений не имеет.
- Считают, что график пересекает ось Ox. Значения a^x всегда положительны.

## Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?

Показательная функция на ЕГЭ 2027 по профильной математике — простейшее показательное уравнение в задании 7, уравнения с заменой в задании 14 и показательные неравенства в задании 16. На базе — неравенства в задании 18.

- [Задание 7 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-7/) — Простейшее уравнение: показательное, приведение к одному основанию.
- [Задание 14 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-14/) — Уравнение: показательное с заменой t = aˣ.
- [Задание 16 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-16/) — Неравенство: показательное или логарифмическое.
- [Задание 18 базовой математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika-baza/zadanie-18/) — Неравенства и соответствие: 2ˣ > 8 и подобные.

**Теория по теме:**

- [Показательные и логарифмические функции](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/pokazatelnye-i-logarifmicheskie-funkcii/)
- [Показательные уравнения/неравенства](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/pokazatelnye-uravneniya-neravenstva/)

## Вопросы и ответы

### Что такое показательная функция?

Функция y = a^x, где a — положительное число, не равное 1, а x — переменная в показателе. Примеры: y = 2^x, y = (1/3)^x, y = e^x.

### Почему основание показательной функции должно быть положительным?

При отрицательном a степень a^x не определена для многих x: (−2)^(1/2) — корень из отрицательного числа. А при a = 1 функция постоянна и не интересна.

### Может ли показательная функция быть отрицательной?

Нет. y = a^x > 0 при любом x, поэтому уравнения вида a^x = −5 или a^x = 0 корней не имеют.

### Чем показательная функция отличается от степенной?

Местом переменной: в показательной y = a^x она в показателе, в степенной y = x^n — в основании. Показательная при a > 1 со временем растёт быстрее любой степенной.

## Источники

- [ФИПИ: проект демоверсии, спецификации и кодификатора ЕГЭ 2027 по математике](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/ma_11_2027.zip) — кодификатор, разделы «Показательная функция, её свойства и график», «Показательные уравнения и неравенства»
- [ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory) — раздел с документами ЕГЭ по всем предметам
- Проверка примеров — корни уравнений и решения неравенств подставлены программой; графики построены по точкам самих функций

## Другие справочные таблицы

- [Обратные тригонометрические функции: arcsin, arccos, arctg, arcctg](https://neuromisha.ru/spravochnik/obratnye-trigonometricheskie-funkcii/)
- [Графики функций: виды, рисунки и свойства](https://neuromisha.ru/spravochnik/grafiki-funkciy/)
- [Свойства логарифмов: формулы и примеры](https://neuromisha.ru/spravochnik/svoystva-logarifmov/)
- [Радианы в градусы и градусы в радианы: таблица перевода](https://neuromisha.ru/spravochnik/radiany-v-gradusy/)
- [Таблица степеней чисел от 1 до 10](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-stepeney/)
- [Уравнение касательной к графику функции: формула и алгоритм](https://neuromisha.ru/spravochnik/uravnenie-kasatelnoy/)
- [Все таблицы по математике](https://neuromisha.ru/spravochnik/#matematika)

---

Источник: https://neuromisha.ru/spravochnik/pokazatelnaya-funkciya/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.