---
title: "Правила дифференцирования и производная сложной функции"
description: "Правила дифференцирования: производная суммы, произведения, частного и сложной функции. Таблица производных сложных функций и примеры."
url: https://neuromisha.ru/spravochnik/pravila-differencirovaniya/
dateModified: 2026-09-29
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Правила дифференцирования: таблица и производная сложной функции

Правила дифференцирования: (u ± v)′ = u′ ± v′, (Cu)′ = Cu′, (uv)′ = u′v + uv′, (u/v)′ = (u′v − uv′)/(v^2), (f(g(x)))′ = f′(g(x)) · g′(x). Например, (x^2 sin x)′ = 2x sin x + x^2 cos x, (sin 3x)′ = 3 cos 3x.

*Поиск по таблице работает на странице (нужен JavaScript).*

Правил дифференцирования пять: производная суммы равна сумме производных, постоянный множитель выносится, (uv)′ = u′v + uv′, (u/v)′ = (u′v − uv′)/v², а производная сложной функции равна производной внешней функции, умноженной на производную внутренней. В первой таблице — все правила с примерами, во второй — производные сложных функций вида f(u), где u — любое выражение от x, в третьей — разобранные функции от простых к трудным.

**Обновлено:** 2026-09-29 · Математика · школьный курс алгебры и начал анализа 10–11 классов; кодификатор ЕГЭ 2027 по математике

## Правила дифференцирования

| Правило | Формула | Пример |
| --- | --- | --- |
| Производная суммы и разности | $(u \pm v)′ = u′ \pm v′$ | (x^3 + sin x)′ = 3x^2 + cos x |
| Постоянный множитель | $(Cu)′ = Cu′$ | (7x^4)′ = 28x^3 |
| Производная произведения | $(uv)′ = u′v + uv′$ | (x^2 sin x)′ = 2x sin x + x^2 cos x |
| Произведение трёх множителей | $(uvw)′ = u′vw + uv′w + uvw′$ | каждый множитель дифференцируют по очереди |
| Производная частного | $(\frac{u}{v})′ = \frac{u′v - uv′}{v^{2}}$ | v ≠ 0; ((sin x)/x)′ = (x cos x − sin x)/(x^2) |
| Обратная величина | $(\frac{1}{v})′ = -\frac{v′}{v^{2}}$ | (1/(x^2 + 1))′ = −2x/((x^2 + 1)^2) |
| Производная сложной функции | $(f(g(x)))′ = f′(g(x)) \cdot g′(x)$ | (sin x^2)′ = cos x^2 · 2x |
| Линейный аргумент | $(f(kx + b))′ = k \cdot f′(kx + b)$ | (e^(3x − 1))′ = 3e^(3x − 1) |

Производные «кирпичиков» — x^n, e^x, ln x, sin x — в таблице производных.

## Производная сложной функции: таблица

| Функция | Производная | Пример |
| --- | --- | --- |
| Степень выражения | $(u^{n})′ = nu^{n - 1} \cdot u′$ | ((3x − 1)^4)′ = 12(3x − 1)^3 |
| Корень из выражения | $(\sqrt{u})′ = \frac{u′}{2\sqrt{u}}$ | (√(2x + 1))′ = 1/(√(2x + 1)) |
| Единица на выражение | $(\frac{1}{u})′ = -\frac{u′}{u^{2}}$ | (1/(3x + 2))′ = −3/((3x + 2)^2) |
| Экспонента от выражения | $(e^{u})′ = e^{u} \cdot u′$ | (e^(x^2))′ = 2xe^(x^2) |
| Показательная от выражения | $(a^{u})′ = a^{u} ln a \cdot u′$ | (2^(3x))′ = 3 · 2^(3x) ln 2 |
| Логарифм выражения | $(ln u)′ = \frac{u′}{u}$ | (ln(x^2 + 1))′ = 2x/(x^2 + 1) |
| Синус выражения | $(sin u)′ = cos u \cdot u′$ | (sin 3x)′ = 3 cos 3x |
| Косинус выражения | $(cos u)′ = -sin u \cdot u′$ | (cos x^2)′ = −2x sin x^2 |
| Тангенс выражения | $(tg u)′ = \frac{u′}{cos^{2} u}$ | (tg 2x)′ = 2/(cos^2 2x) |
| Квадрат синуса | $(sin^{2} x)′ = 2 sin x cos x = sin 2x$ | внешняя функция — квадрат, внутренняя — sin x |

## Примеры: как применять правила

*Разобранные производные: какое правило первое и что получается*

| Функция | Первое правило | Производная |
| --- | --- | --- |
| $x^{3} - 4x^{2} + 5$ | сумма | $3x^{2} - 8x$ |
| $(x - 2)e^{x}$ | произведение | $e^{x} + (x - 2)e^{x} = (x - 1)e^{x}$ |
| x ln x | произведение | ln x + 1 |
| $\frac{x^{2} + 1}{x}$ | $\text{лучше упростить}: x + x^{-1}$ | $1 - \frac{1}{x^{2}}$ |
| $\frac{2x + 3}{x - 1}$ | частное | $-\frac{5}{(x - 1)^{2}}$ |
| cos(5x − 2) | сложная, аргумент линейный | −5 sin(5x − 2) |
| $(x^{2} + 1)^{3}$ | сложная | $6x(x^{2} + 1)^{2}$ |
| $x^{2} - 8 ln x$ | сумма | $2x - \frac{8}{x}$ |
| $e^{2x} sin x$ | произведение, внутри — сложная | $e^{2x}(2 sin x + cos x)$ |

## Как найти производную сложной функции?

Сложная функция — функция от функции: в sin(x^2) внешняя функция — синус, внутренняя — x^2. Дифференцируют снаружи внутрь: берут производную внешней функции, не трогая аргумент, и умножают на производную внутренней: (sin(x^2))′ = cos(x^2) · 2x.

Если вложений несколько, множителей тоже несколько. Пример: y = sin^3(2x). Внешняя — куб, потом синус, потом 2x: y′ = 3 sin^2(2x) · cos 2x · 2 = 6 sin^2(2x) cos 2x.

## С какого правила начинать?

Смотрите на последнее действие при вычислении функции. В (x − 2)e^x последнее действие — умножение, значит, начинаем с правила произведения. В e^(x^2) последнее — возведение e в степень, значит, это сложная функция.

Перед дифференцированием упрощайте: дробь (x^2 + 1)/x проще записать как x + x^(−1), чем применять правило частного, а (x + 1)^2 при желании — раскрыть.

## Где ошибаются чаще всего?

- Дифференцируют произведение как произведение производных: (x sin x)′ не равно cos x.
- Меняют местами слагаемые в числителе частного: сначала u′v, потом минус uv′.
- Теряют множитель внутренней функции: (e^(3x))′ = 3e^(3x), а не e^(3x).
- Дифференцируют внутреннюю функцию, но заодно меняют аргумент внешней: (sin 2x)′ = 2 cos 2x, а не 2 cos x.

## Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?

Правила дифференцирования на ЕГЭ 2027 по профильной математике нужны в задании 9 (касательная, экстремумы) и в новом задании 17 с развёрнутым решением: там функцию нужно продифференцировать и обосновать, где у неё наибольшее или наименьшее значение.

- [Задание 9 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-9/) — Производная: касательная, точки экстремума, промежутки монотонности.
- [Задание 17 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-17/) — Модель реальной ситуации: производная и исследование функции.

**Теория по теме:**

- [Производная](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/proizvodnaya/)

## Вопросы и ответы

### Сколько всего правил дифференцирования?

Основных пять: производная суммы, вынесение постоянного множителя, производная произведения, частного и сложной функции. Остальное — следствия, например (1/v)′ = −v′/(v^2).

### Как найти производную произведения трёх функций?

Дифференцировать по очереди каждый множитель, оставляя остальные: (uvw)′ = u′vw + uv′w + uvw′. Для x · e^x · sin x получится e^x sin x + xe^x sin x + xe^x cos x.

### Чему равна производная сложной функции e в степени 2x?

(e^(2x))′ = e^(2x) · (2x)′ = 2e^(2x). Экспонента сохраняется, появляется множитель — производная показателя.

### Нужно ли знать правило частного для ЕГЭ?

Да, в задании 17 встречаются дроби. Но часто дробь выгоднее упростить до суммы степеней — тогда хватит правила суммы.

## Источники

- [ФИПИ: проект демоверсии, спецификации и кодификатора ЕГЭ 2027 по математике](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/ma_11_2027.zip) — кодификатор, раздел «Начала математического анализа»: производная суммы, произведения, частного, сложной функции
- [ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory) — раздел с документами ЕГЭ по всем предметам
- Проверка формул — каждый пример из трёх таблиц и тренажёра сверен программой с численной производной в нескольких точках

## Другие справочные таблицы

- [Таблица производных: все формулы с примерами](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-proizvodnyh/)
- [Таблица интегралов и первообразных](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-integralov/)
- [Уравнение касательной к графику функции: формула и алгоритм](https://neuromisha.ru/spravochnik/uravnenie-kasatelnoy/)
- [Таблица тангенсов и котангенсов](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-tangensov/)
- [Римские цифры: таблица от 1 до 20 и до 100, правила перевода](https://neuromisha.ru/spravochnik/rimskie-cifry/)
- [Правильные многогранники: таблица и формулы](https://neuromisha.ru/spravochnik/pravilnye-mnogogranniki/)
- [Все таблицы по математике](https://neuromisha.ru/spravochnik/#matematika)

---

Источник: https://neuromisha.ru/spravochnik/pravila-differencirovaniya/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.