--- title: "Правильные многогранники: таблица граней, вершин и рёбер" description: "Пять правильных многогранников: грани, вершины и рёбра в таблице, формула Эйлера, площадь поверхности, объём и радиусы сфер." url: https://neuromisha.ru/spravochnik/pravilnye-mnogogranniki/ dateModified: 2026-09-29 author: "Редакция НейроМиши" --- # Правильные многогранники: таблица и формулы Правильных многогранников пять: тетраэдр (4 грани), куб (6), октаэдр (8), додекаэдр (12) и икосаэдр (20). Для всех верна формула Эйлера В − Р + Г = 2. *Поиск по таблице работает на странице (нужен JavaScript).* Правильных многогранников ровно пять: тетраэдр, куб (гексаэдр), октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. У каждого все грани — одинаковые правильные многоугольники, и в каждой вершине сходится одно и то же число рёбер. В первой таблице — число граней, вершин и рёбер, во второй — площадь поверхности, объём и радиусы сфер через ребро a. **Обновлено:** 2026-09-29 · Математика · школьный курс геометрии 10 класса; кодификатор ЕГЭ 2027 по математике ## Правильные многогранники: грани, вершины, рёбра *Пять правильных многогранников: вид граней, число граней, вершин и рёбер, граней при вершине* | Многогранник | Грани | Граней | Вершин | Рёбер | У вершины | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | Тетраэдр | треугольники | 4 | 4 | 6 | 3 | | Куб (гексаэдр) | квадраты | 6 | 8 | 12 | 3 | | Октаэдр | треугольники | 8 | 6 | 12 | 4 | | Додекаэдр | пятиугольники | 12 | 20 | 30 | 3 | | Икосаэдр | треугольники | 20 | 12 | 30 | 5 | Для всех выполняется формула Эйлера В − Р + Г = 2: у куба 8 − 12 + 6 = 2. Куб и октаэдр, додекаэдр и икосаэдр — двойственные пары: число граней одного равно числу вершин другого. ## Площадь поверхности, объём и радиусы сфер *Формулы правильных многогранников через ребро a: площадь поверхности, объём, радиусы описанной и вписанной сфер* | Многогранник | Площадь поверхности S | Объём V | Радиус описанной R | Радиус вписанной r | | --- | --- | --- | --- | --- | | Тетраэдр | $a^{2}\sqrt{3}$ | $\frac{a^{3}\sqrt{2}}{12}$ | $\frac{a\sqrt{6}}{4}$ | $\frac{a\sqrt{6}}{12}$ | | Куб | $6a^{2}$ | $a^{3}$ | $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{a}{2}$ | | Октаэдр | $2a^{2}\sqrt{3}$ | $\frac{a^{3}\sqrt{2}}{3}$ | $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{a\sqrt{6}}{6}$ | | Додекаэдр | $3a^{2}\sqrt{25 + 10\sqrt{5}} \approx 20{,}65a^{2}$ | $\frac{(15 + 7\sqrt{5})a^{3}}{4} \approx 7{,}66a^{3}$ | ≈ 1,401a | ≈ 1,114a | | Икосаэдр | $5a^{2}\sqrt{3}$ | $\frac{5(3 + \sqrt{5})a^{3}}{12} \approx 2{,}18a^{3}$ | ≈ 0,951a | ≈ 0,756a | Проверка любой строки: V = 1/3r · S — многогранник делится на пирамиды с вершиной в центре. Для тетраэдра 1/3 · a√6/12 · a^2√3 = (a^3√2)/12. ## Почему правильных многогранников только пять? В вершине сходятся минимум три грани, и сумма их плоских углов должна быть меньше 360°, иначе вершина «расплющится». Угол правильного треугольника 60°: в вершине помещаются 3, 4 или 5 треугольников (180°, 240°, 300°) — это тетраэдр, октаэдр и икосаэдр. Шесть треугольников дают ровно 360° — плоскость. Угол квадрата 90°: помещаются только три — куб. Угол правильного пятиугольника 108°: тоже три (324°) — додекаэдр. У шестиугольника угол 120°, три дают 360°, поэтому многогранников из шестиугольников и многоугольников с большим числом сторон нет. ## Пример: площадь поверхности и объём октаэдра Октаэдр с ребром 3. Площадь поверхности S = 2 · 9 · √3 = 18√3 ≈ 31,2. Объём V = 27√2/3 = 9√2 ≈ 12,7. Октаэдр удобно представлять как две правильные четырёхугольные пирамиды, сложенные основаниями. ## Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ? Правильные многогранники на ЕГЭ встречаются в стереометрии: задание 3 профильной математики (площадь поверхности и объём, чаще всего тетраэдр и куб) и задание 15 с доказательством. - [Задание 3 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-3/) — Стереометрия: объёмы и площади поверхности, в том числе правильного тетраэдра. - [Задание 15 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-15/) — Стереометрия с доказательством: сечения и расстояния в кубе и пирамиде. **Теория по теме:** - [Многогранники](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/mnogogranniki/) ## Вопросы и ответы ### Какие многогранники называются правильными? Выпуклые многогранники, у которых все грани — равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое число рёбер. ### Какие правильные многогранники существуют? Тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Их ещё называют платоновыми телами. ### Что такое формула Эйлера для многогранников? В − Р + Г = 2, где В — число вершин, Р — рёбер, Г — граней. Она верна для любого выпуклого многогранника, не только правильного. ### Правильная пирамида — правильный многогранник? Не всегда. Правильный многогранник среди пирамид только один — правильный тетраэдр, где все четыре грани — равносторонние треугольники. ## Источники - [ФИПИ: проект демоверсии, спецификации и кодификатора ЕГЭ 2027 по математике](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/ma_11_2027.zip) — кодификатор, раздел «Геометрия»: многогранники, правильные многогранники - [ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory) — раздел с документами ЕГЭ по всем предметам - Проверка формул — площади, объёмы и радиусы пересчитаны программой; для каждого многогранника выполняется V = 1/3rS ## Другие справочные таблицы - [Формулы объёмов тел и площадей поверхностей: таблица](https://neuromisha.ru/spravochnik/formuly-obemov-tel/) - [Объём параллелепипеда: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/obem-parallelepipeda/) - [Объём пирамиды: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/obem-piramidy/) - [Объём призмы: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/obem-prizmy/) - [Площадь поверхности призмы: формулы и примеры](https://neuromisha.ru/spravochnik/ploshchad-poverhnosti-prizmy/) - [Объём цилиндра: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/obem-cilindra/) - [Все таблицы по математике](https://neuromisha.ru/spravochnik/#matematika) --- Источник: https://neuromisha.ru/spravochnik/pravilnye-mnogogranniki/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.