--- title: "Признаки делимости чисел: таблица на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11" description: "Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 и 25 в одной таблице: правило, пример и проверка любого числа. Для школы и задания 19 ЕГЭ." url: https://neuromisha.ru/spravochnik/priznaki-delimosti/ dateModified: 2026-09-29 author: "Редакция НейроМиши" --- # Признаки делимости: таблица с примерами Число делится на 2, если последняя цифра чётная; на 5 — если она 0 или 5; на 10 — если она 0; на 3 и на 9 — если на 3 или на 9 делится сумма цифр; на 4 — если на 4 делится число из двух последних цифр. *Проверить делимость числа работает на странице (нужен JavaScript).* Признак делимости позволяет узнать по записи числа, делится ли оно нацело, не выполняя деления. В таблице для каждого делителя — само правило и два примера: число, которое делится, и похожее, которое не делится. На 2, 5 и 10 смотрят последнюю цифру, на 4 и 25 — две последние, на 3 и 9 — сумму цифр. **Обновлено:** 2026-09-29 · Математика ## Таблица признаков делимости *Признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 25 и 100 с примерами* | Делится на | Признак | Делится | Не делится | | --- | --- | --- | --- | | 2 | последняя цифра чётная: 0, 2, 4, 6 или 8 | 3 574 | 3 571 | | 3 | сумма цифр делится на 3 | 1 263: 1 + 2 + 6 + 3 = 12 | 1 264: сумма 13 | | 4 | число из двух последних цифр делится на 4 (в том числе 00) | 7 316: 16 делится на 4 | 7 318: 18 не делится на 4 | | 5 | последняя цифра 0 или 5 | 2 435 | 2 453 | | 6 | делится и на 2, и на 3 | 1 254: чётное, сумма цифр 12 | 1 256: сумма цифр 14 | | 7 | отбросить последнюю цифру и вычесть её удвоенное значение из оставшегося числа; делится, если результат делится на 7 | 364: 36 − 2 · 4 = 28 | 365: 36 − 2 · 5 = 26 | | 8 | число из трёх последних цифр делится на 8 (в том числе 000) | 5 120: 120 = 8 · 15 | 5 124: 124 не делится на 8 | | 9 | сумма цифр делится на 9 | 4 518: сумма 18 | 4 519: сумма 19 | | 10 | последняя цифра 0 | 7 830 | 7 835 | | 11 | разность сумм цифр на нечётных и на чётных местах делится на 11 (или равна 0) | 9 273: (9 + 7) − (2 + 3) = 11 | 9 274: (9 + 7) − (2 + 4) = 10 | | 12 | делится на 3 и на 4 | 1 236: сумма 12, 36 делится на 4 | 1 230: 30 не делится на 4 | | 15 | делится на 3 и на 5 | 2 745: сумма 18, конец 5 | 2 750: сумма 14 | | 25 | две последние цифры 00, 25, 50 или 75 | 3 475 | 3 485 | | 100 | две последние цифры — нули | 4 700 | 4 710 | Делимость на составное число проверяют по взаимно простым множителям: на 12 — по признакам 3 и 4, а не 2 и 6. Число 18 делится и на 2, и на 6, но на 12 не делится. ## Свойства делимости *Делимость суммы, произведения и делимость на составное число* | Свойство | Запись | Пример | | --- | --- | --- | | Каждое слагаемое делится на m — сумма делится на m | a ⋮ m, b ⋮ m ⇒ (a + b) ⋮ m | 120 + 36 делится на 12 | | Одно слагаемое делится на m, другое нет — сумма не делится | a ⋮ m, b не делится на m ⇒ a + b не делится на m | 70 + 3 не делится на 7 | | Один множитель делится на m — произведение делится на m | a ⋮ m ⇒ ab ⋮ m | 14 · 9 делится на 7 | | Делимость на составное число | a ⋮ p и a ⋮ q, НОД(p, q) = 1 ⇒ a ⋮ pq | делится на 4 и на 9 ⇒ делится на 36 | | Если a делится на b, а b на c, то a делится на c | a ⋮ b, b ⋮ c ⇒ a ⋮ c | 72 ⋮ 24, 24 ⋮ 8 ⇒ 72 ⋮ 8 | Знак ⋮ читается «делится на»: запись 72 ⋮ 8 означает, что 72 делится на 8 без остатка. ## Почему признаки делимости работают? Всё держится на записи числа по степеням десяти. 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1, и вообще каждая степень десяти на единицу больше числа, делящегося на 9. Поэтому число и сумма его цифр дают одинаковый остаток при делении на 9 и на 3: 4 518 = 4 · 999 + 5 · 99 + 1 · 9 + (4 + 5 + 1 + 8). 100 делится на 4 и на 25, поэтому всё, что стоит левее двух последних цифр, на делимость на 4 и 25 не влияет. По той же причине для 8 хватает трёх последних цифр: 1000 = 8 · 125. А 10 = 11 − 1, поэтому при делении на 11 цифры входят в остаток с чередующимися знаками. ## Как применять признаки в задачах ЕГЭ? В задании 19 базовой математики нужно найти число с несколькими свойствами сразу. Сначала выписывают условия на последние цифры (делимость на 2, 4, 5, 8, 10, 25), потом — на сумму цифр (3 и 9): так перебор сокращается до нескольких вариантов. Пример. Наименьшее трёхзначное число, которое делится на 45. 45 = 5 · 9, значит, число оканчивается на 0 или 5, а сумма цифр делится на 9. Среди чисел с первой цифрой 1 подходят 135 и 180, наименьшее — 135. ## Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ? Признаки делимости входят в кодификатор ЕГЭ по математике в разделе о натуральных и целых числах. На них строится задание 19 базового уровня и задача о числах во второй части профильного. - [Задание 19 базовой математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika-baza/zadanie-19/) — Найти число с заданными свойствами: делится на 12, 45 или 36, записано разными цифрами. - [Задание 20 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-20/) — Задача о числах с доказательством: делимость, остатки, десятичная запись. - [Задание 25 ЕГЭ по информатике](https://neuromisha.ru/ege/informatika/zadanie-25/) — Программа перебирает числа по маске и проверяет делимость — признаки помогают сузить перебор. **Теория по теме:** - [Натуральные и целые числа, признаки делимости](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/naturalnye-i-celye-chisla-priznaki/) - [Действительные числа (вещественные): что это такое, виды и примеры](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/deystvitelnye-chisla/) ## Вопросы и ответы ### Какой признак делимости на 7? Отбросьте последнюю цифру и вычтите её удвоенное значение из того, что осталось. Число делится на 7 тогда и только тогда, когда на 7 делится результат. Пример: 364 → 36 − 8 = 28, а 28 делится на 7, значит, делится и 364. Для длинных чисел шаг повторяют. ### Как проверить делимость на 12, 15 или 18? Разложить делитель на взаимно простые множители и проверить каждый: 12 = 3 · 4, 15 = 3 · 5, 18 = 2 · 9. Множители должны быть взаимно простыми: делимость на 2 и на 6 ещё не гарантирует делимость на 12. ### Что значит «делится нацело» и «кратно»? Это одно и то же: a делится на b нацело, если a = b · k для целого k, то есть остаток равен нулю. Тогда говорят, что a кратно b, а b — делитель a. ### Делится ли ноль на числа из таблицы? Да, ноль делится на любое число, кроме нуля: 0 = 7 · 0. Все признаки это подтверждают — последняя цифра 0, сумма цифр 0. ## Источники - [ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory) — кодификатор ЕГЭ по математике: натуральные и целые числа, признаки делимости, делимость и остатки - Примеры таблицы — каждый пример «делится» и «не делится» проверен делением программой ## Другие справочные таблицы - [Таблица простых чисел до 1000](https://neuromisha.ru/spravochnik/prostye-chisla/) - [Таблица квадратов от 1 до 100](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-kvadratov/) - [Свойства корней: таблица формул](https://neuromisha.ru/spravochnik/svoystva-korney/) - [Уравнение окружности: формула и как найти центр и радиус](https://neuromisha.ru/spravochnik/uravnenie-okruzhnosti/) - [Признаки равенства треугольников: таблица](https://neuromisha.ru/spravochnik/priznaki-ravenstva-treugolnikov/) - [Таблица производных: все формулы с примерами](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-proizvodnyh/) - [Все таблицы по математике](https://neuromisha.ru/spravochnik/#matematika) --- Источник: https://neuromisha.ru/spravochnik/priznaki-delimosti/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.