---
title: "Свойства корней: формулы и таблица квадратных корней от 1 до 100"
description: "Свойства арифметического квадратного корня и корня n-й степени с условиями применения, связь корня со степенью и таблица квадратных корней чисел от 1 до 100."
url: https://neuromisha.ru/spravochnik/svoystva-korney/
dateModified: 2026-09-22
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Свойства корней: формулы и таблица

Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа a — такое неотрицательное число, квадрат которого равен a: √49 = 7, потому что 7^2 = 49. Главные свойства: корень из произведения равен произведению корней, корень из дроби — дроби корней, √(a^2) = |a|. У каждого свойства есть условие, при котором оно верно, — оно указано в таблице.

**Обновлено:** 2026-09-22 · Математика

## Свойства корней

| Свойство | Формула | Когда верно |
| --- | --- | --- |
| Определение | $\sqrt{a} = b ⇔ b^{2} = a, b \geq 0$ | a ≥ 0 |
| Квадрат корня | $(\sqrt{a})^{2} = a$ | a ≥ 0 |
| Корень из квадрата | $\sqrt{a^{2}} = \|a\|$ | любое a; для a ≥ 0 это просто a |
| Корень из произведения | $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ | a ≥ 0, b ≥ 0 |
| Корень из дроби | $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ | a ≥ 0, b > 0 |
| Вынесение множителя | $\sqrt{a^{2}b} = \|a\|\sqrt{b}$ | b ≥ 0; например √50 = 5√2 |
| Внесение множителя | $a\sqrt{b} = \sqrt{a^{2}b}$ | a ≥ 0, b ≥ 0 |
| Корень n-й степени из произведения | $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ | a ≥ 0, b ≥ 0 |
| Корень n-й степени из дроби | $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ | a ≥ 0, b > 0 |
| Степень корня | $(\sqrt[n]{a})^{k} = \sqrt[n]{a^{k}}$ | a ≥ 0 |
| Корень из корня | $\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[nk]{a}$ | a ≥ 0 |
| Сокращение показателей | $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^{m}}$ | a ≥ 0 |
| Корень чётной степени из степени | $\sqrt[2k]{a^{2k}} = \|a\|$ | любое a |
| Корень нечётной степени из степени | $\sqrt[2k + 1]{a^{2k + 1}} = a$ | любое a |
| Связь со степенью | $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$ | a > 0 (при m > 0 допускается a = 0) |

## Таблица квадратных корней от 1 до 100

*Квадратные корни чисел от 1 до 100 с точностью до тысячных*

| n = десятки + единицы | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 0+ | 1 | 1,414 | 1,732 | 2 | 2,236 | 2,449 | 2,646 | 2,828 | 3 | 3,162 |
| 10+ | 3,317 | 3,464 | 3,606 | 3,742 | 3,873 | 4 | 4,123 | 4,243 | 4,359 | 4,472 |
| 20+ | 4,583 | 4,690 | 4,796 | 4,899 | 5 | 5,099 | 5,196 | 5,292 | 5,385 | 5,477 |
| 30+ | 5,568 | 5,657 | 5,745 | 5,831 | 5,916 | 6 | 6,083 | 6,164 | 6,245 | 6,325 |
| 40+ | 6,403 | 6,481 | 6,557 | 6,633 | 6,708 | 6,782 | 6,856 | 6,928 | 7 | 7,071 |
| 50+ | 7,141 | 7,211 | 7,280 | 7,348 | 7,416 | 7,483 | 7,550 | 7,616 | 7,681 | 7,746 |
| 60+ | 7,810 | 7,874 | 7,937 | 8 | 8,062 | 8,124 | 8,185 | 8,246 | 8,307 | 8,367 |
| 70+ | 8,426 | 8,485 | 8,544 | 8,602 | 8,660 | 8,718 | 8,775 | 8,832 | 8,888 | 8,944 |
| 80+ | 9 | 9,055 | 9,110 | 9,165 | 9,220 | 9,274 | 9,327 | 9,381 | 9,434 | 9,487 |
| 90+ | 9,539 | 9,592 | 9,644 | 9,695 | 9,747 | 9,798 | 9,849 | 9,899 | 9,950 | 10 |

Значения округлены до тысячных, кроме точных квадратов (1, 4, 9, …, 100) — у них корень целый. Корни больших чисел — через таблицу квадратов.

## Как применять свойства корней

Чаще всего корни упрощают вынесением множителя из-под корня: подкоренное число раскладывают так, чтобы один множитель был точным квадратом. √72 = √(36 · 2) = 6√2. Обратный ход — внесение множителя — помогает сравнивать числа: 3√5 = √45 и 4√3 = √48, значит второе больше.

Сумма корней не равна корню из суммы: √(9 + 16) = 5, а √9 + √16 = 7. Складывать можно только одинаковые корни: 2√3 + 5√3 = 7√3.

Избавиться от корня в знаменателе помогает домножение: 6/(√3) = 6√3/3 = 2√3. Если в знаменателе сумма, домножают на сопряжённое выражение: (√5 − √2)(√5 + √2) = 5 − 2 = 3.

## Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ

Корни на ЕГЭ — это прежде всего вычисления без калькулятора и иррациональные уравнения, где свойство без условия даёт посторонний корень.

- [Задание 16 базовой математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika-baza/zadanie-16/) — Выражение с корнями и степенями нужно довести до числа по свойствам.
- [Задание 8 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-8/) — Значение выражения с корнями: вынесение множителя, переход к степени с дробным показателем.
- [Задание 7 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-7/) — Иррациональное уравнение: после возведения в квадрат корень обязательно проверяют.
- [Задание 14 базовой математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika-baza/zadanie-14/) — Вычисление выражения с дробями, степенями и корнями.

**Теория по теме:**

- [Арифметический корень натуральной степени](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/arifmeticheskiy-koren-naturalnoy-stepeni/)
- [Иррациональные уравнения/неравенства](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/irracionalnye-uravneniya-neravenstva/)
- [Преобразование выражений](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/preobrazovanie-vyrazheniy/)
- [Арифметический корень на базовом ЕГЭ](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika-baza/arifmeticheskiy-koren-naturalnoy-stepeni/)

## Вопросы и ответы

### Почему √(a²) равен модулю a, а не a?

Арифметический корень по определению неотрицателен. Если a = −3, то a^2 = 9, а √9 = 3, то есть −a. Модуль как раз и даёт неотрицательное значение при любом знаке a.

### Можно ли извлечь корень из отрицательного числа?

Квадратный корень и любой корень чётной степени — нет, в действительных числах они определены только для a ≥ 0. Корень нечётной степени — можно: ³√(−8) = −2.

### Равен ли корень из суммы сумме корней?

Нет. Это самая частая ошибка: √(9 + 16) = √25 = 5, но √9 + √16 = 3 + 4 = 7. Свойство «разбить на множители» работает только для произведения и частного.

### Как вынести множитель из-под корня?

Разложите подкоренное число на множители так, чтобы один был точным квадратом, и извлеките из него корень: √200 = √(100 · 2) = 10√2, √48 = √(16 · 3) = 4√3.

## Источники

- [ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory) — кодификатор ЕГЭ по математике: корень степени n > 1 и его свойства, степень с рациональным показателем
- Значения таблицы корней — вычислены программой при сборке страницы, округление до тысячных по обычным правилам

## Другие справочные таблицы

- [Таблица квадратов натуральных чисел от 0 до 99](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-kvadratov/)
- [Таблица степеней чисел от 1 до 10](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-stepeney/)
- [Таблица синусов, косинусов и тангенсов](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-sinusov-i-kosinusov/)
- [Векторы: все формулы в одной таблице](https://neuromisha.ru/spravochnik/vektory-formuly/)
- [Простые числа до 1000: таблица и проверка](https://neuromisha.ru/spravochnik/prostye-chisla/)
- [Таблица Менделеева с атомными массами](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-mendeleeva/)
- [Молярная масса вещества: калькулятор и таблица](https://neuromisha.ru/spravochnik/molyarnaya-massa/)
- [Количество вещества: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/kolichestvo-veshchestva/)
- [Закон Ома: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/zakon-oma/)
- [Электроотрицательность элементов: таблица и ряд](https://neuromisha.ru/spravochnik/elektrootricatelnost/)
- [Таблица производных и правила дифференцирования](https://neuromisha.ru/materialy/tablica-proizvodnyh/)
- [Свойства логарифмов: формулы и примеры для ЕГЭ](https://neuromisha.ru/materialy/svoystva-logarifmov/)
- [Формулы сокращённого умножения: все семь с примерами](https://neuromisha.ru/materialy/formuly-sokrashchennogo-umnozheniya/)

---

Источник: https://neuromisha.ru/spravochnik/svoystva-korney/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.