---
title: "Свойства логарифмов: все формулы в таблице с примерами"
description: "Свойства логарифмов в таблице: произведение, частное, степень, основное тождество, переход к новому основанию. Примеры и ОДЗ."
url: https://neuromisha.ru/spravochnik/svoystva-logarifmov/
dateModified: 2026-09-29
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Свойства логарифмов: формулы и примеры

log_a(xy) = log_a x + log_a y, log_a x/y = log_a x − log_a y, log_a x^k = k log_a x, a^(log_a b) = b. Условия: a > 0, a ≠ 1, числа под логарифмом положительны.

*Поиск по таблице работает на странице (нужен JavaScript).*

Главные свойства логарифмов: логарифм произведения равен сумме логарифмов, частного — разности, показатель степени выносится множителем: logₐ(xy) = logₐ x + logₐ y, logₐ xᵏ = k·logₐ x. Все они следуют из определения logₐ b = c ⇔ aᶜ = b. В таблице — все формулы с условиями и примерами вычислений для ЕГЭ.

**Обновлено:** 2026-09-29 · Математика · школьный курс алгебры 10–11 классов; кодификатор ЕГЭ 2027 по математике

## Свойства логарифмов: формулы

| Свойство | Формула | Условия и пример |
| --- | --- | --- |
| Определение | $log_{a} b = c ⇔ a^{c} = b$ | a > 0, a ≠ 1, b > 0; log_3 81 = 4, потому что 3^4 = 81 |
| Основное логарифмическое тождество | $a^{log_{a} b} = b$ | 5^(log_5 7) = 7 |
| Логарифм степени основания | $log_{a} a^{c} = c$ | log_7 49 = log_7 7^2 = 2 |
| Логарифм произведения | $log_{a}(xy) = log_{a} x + log_{a} y$ | x > 0, y > 0; log_6 4 + log_6 9 = log_6 36 = 2 |
| Логарифм частного | $log_{a} \frac{x}{y} = log_{a} x - log_{a} y$ | x > 0, y > 0; log_2 56 − log_2 7 = log_2 8 = 3 |
| Логарифм степени | $log_{a} x^{k} = k log_{a} x$ | x > 0; log_2 8^5 = 5 · 3 = 15 |
| Логарифм корня | $log_{a} \sqrt{x} = \frac{1}{2} log_{a} x$ | x > 0; log_3 √27 = 3/2 |
| Степень в основании | $log_{a^{k}} b = \frac{1}{k} log_{a} b$ | k ≠ 0; log_4 32 = 1/2 log_2 32 = 2,5 |
| Переход к новому основанию | $log_{a} b = \frac{log_{c} b}{log_{c} a}$ | c > 0, c ≠ 1; (lg 64)/(lg 4) = log_4 64 = 3 |
| Перестановка основания и числа | $log_{a} b = \frac{1}{log_{b} a}$ | b ≠ 1; log_2 5 · log_5 2 = 1 |
| Цепочка оснований | $log_{a} b \cdot log_{b} c = log_{a} c$ | log_3 5 · log_5 9 = log_3 9 = 2 |
| Обмен основания и показателя | $a^{log_{b} c} = c^{log_{b} a}$ | 4^(log_2 3) = 3^(log_2 4) = 9 |

Во всех строках основания положительны и не равны 1, а числа под логарифмом положительны. Формулы работают в обе стороны: в вычислениях сумму логарифмов обычно сворачивают в логарифм произведения.

## Частные случаи и особые логарифмы

*Логарифм единицы и основания, десятичный и натуральный логарифмы, логарифм квадрата*

| Запись | Значение или правило | Пример |
| --- | --- | --- |
| $log_{a} 1$ | 0 | $log_{17} 1 = 0, \text{потому что} 17^{0} = 1$ |
| $log_{a} a$ | 1 | $log_{5} 5 = 1$ |
| $log_{a} \frac{1}{a}$ | −1 | $log_{2} 0{,}5 = -1$ |
| lg b | десятичный логарифм, основание 10 | lg 1000 = 3, lg 0,01 = −2 |
| ln b | натуральный логарифм, основание e ≈ 2,718 | $ln e^{2} = 2, ln 1 = 0$ |
| $log_{a} x^{2}$ | $2 log_{a} \|x\| — \text{с модулем}, \text{если} x \text{может быть отрицательным}$ | $log_{3} x^{2} \text{определён при} x \neq 0, \text{а} 2 log_{3} x — \text{только при} x > 0$ |
| $log_{a} b < 0$ | при a > 1 и 0 < b < 1 | $log_{2} \frac{1}{8} = -3$ |

## Сравнение логарифмов и неравенства

*Когда знак неравенства сохраняется, а когда меняется*

| Основание | Функция y = log_a x | Неравенство log_a f(x) > log_a g(x) |
| --- | --- | --- |
| a > 1 | возрастает | f(x) > g(x) > 0 — знак сохраняется |
| 0 < a < 1 | убывает | 0 < f(x) < g(x) — знак меняется |

ОДЗ проверяют всегда: оба выражения под логарифмами положительны. Пример: log_2(x − 1) < 3 ⇔ 0 < x − 1 < 8, то есть 1 < x < 9.

## Откуда берутся свойства логарифмов?

Логарифм — это показатель степени: log_a b — число, в которое нужно возвести a, чтобы получить b. Поэтому свойства логарифмов — те же свойства степеней, записанные для показателей.

Пример вывода: пусть log_a x = m и log_a y = n, то есть x = a^m и y = a^n. Тогда xy = a^(m + n), и log_a(xy) = m + n = log_a x + log_a y. Так же из a^m : a^n = a^(m − n) получается логарифм частного, а из (a^m)^k = a^(mk) — логарифм степени.

## Примеры вычислений со свойствами логарифмов

log_3 18 − log_3 2 = log_3 9 = 2 — разность логарифмов с одним основанием свернули в логарифм частного.

2 log_5 10 − log_5 4 = log_5 100 − log_5 4 = log_5 25 = 2 — множитель занесли в показатель, потом свернули разность.

2^(3 + log_2 5) = 2^3 · 2^(log_2 5) = 8 · 5 = 40 — степень с суммой в показателе разложили на произведение, дальше основное тождество.

log_9 27 = log_(3^2) 3^3 = 3/2 = 1,5 — число и основание привели к степеням тройки.

## Где ошибаются чаще всего?

- Раскладывают логарифм суммы: log_a(x + y) не равен log_a x + log_a y. Свойство есть только у произведения.
- Делят логарифмы как числа под ними: (log_2 8)/(log_2 4) = 3/2, а не log_2 2.
- Выносят чётную степень без модуля и теряют корни уравнения: log_3 x^2 = 2 log_3 |x|.
- Не меняют знак неравенства при основании меньше единицы.

## Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?

Свойства логарифмов на ЕГЭ 2027 по профильной математике нужны как минимум в трёх заданиях: простейшее логарифмическое уравнение в задании 7, вычисление в задании 8, неравенство в задании 16. На базовом уровне — вычисление в задании 16.

- [Задание 7 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-7/) — Простейшее уравнение: log_2(x + 5) = 4 и подобные.
- [Задание 8 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-8/) — Значение выражения: основное тождество, сумма и разность логарифмов.
- [Задание 16 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-16/) — Неравенство с логарифмами: ОДЗ и монотонность.
- [Задание 16 базовой математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika-baza/zadanie-16/) — Степени, корни, логарифмы: вычисление значения.

**Теория по теме:**

- [Логарифм числа: определение и решение задач](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/logarifm-chisla/)
- [Логарифмические уравнения/неравенства](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/logarifmicheskie-uravneniya-neravenstva/)
- [Показательные и логарифмические функции](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/pokazatelnye-i-logarifmicheskie-funkcii/)
- [Логарифм числа на базовом ЕГЭ](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika-baza/logarifm-chisla/)

## Вопросы и ответы

### Какие свойства логарифмов нужны для ЕГЭ?

Определение с условиями a > 0, a ≠ 1, b > 0, основное тождество a^(log_a b) = b, логарифм произведения, частного и степени и переход к новому основанию. Этого хватает для заданий 7, 8 и 16 профиля.

### Чему равен логарифм единицы?

Нулю при любом допустимом основании: log_a 1 = 0, потому что a^0 = 1.

### Можно ли складывать логарифмы с разными основаниями?

Сразу — нет. Сначала переведите их к одному основанию по формуле log_a b = (log_c b)/(log_c a): например, log_4 x = 1/2 log_2 x.

### Бывает ли логарифм отрицательным?

Да. При основании больше 1 логарифм числа от 0 до 1 отрицателен: log_2 0,25 = −2. Отрицательным не может быть число под логарифмом.

## Источники

- [ФИПИ: проект демоверсии, спецификации и кодификатора ЕГЭ 2027 по математике](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/ma_11_2027.zip) — кодификатор, разделы «Логарифм числа», «Преобразования выражений, включающих операцию логарифмирования», «Логарифмические уравнения и неравенства»
- [ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory) — раздел с документами ЕГЭ по всем предметам
- Проверка формул — каждое свойство и каждый пример пересчитаны программой при нескольких допустимых значениях переменных

## Другие справочные таблицы

- [Круги Эйлера: множества, формулы и задачи](https://neuromisha.ru/spravochnik/krugi-eylera/)
- [Формулы приведения: полная таблица](https://neuromisha.ru/spravochnik/formuly-privedeniya/)
- [Тригонометрические формулы: все в одной таблице](https://neuromisha.ru/spravochnik/trigonometricheskie-formuly/)
- [Формулы понижения степени: таблица с выводом](https://neuromisha.ru/spravochnik/formuly-ponizheniya-stepeni/)
- [Признаки равенства треугольников: таблица](https://neuromisha.ru/spravochnik/priznaki-ravenstva-treugolnikov/)
- [Таблица синусов и косинусов](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-sinusov-i-kosinusov/)
- [Все таблицы по математике](https://neuromisha.ru/spravochnik/#matematika)

---

Источник: https://neuromisha.ru/spravochnik/svoystva-logarifmov/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.