---
title: "Свойства степеней: таблица формул с примерами, 7 класс и ЕГЭ"
description: "Свойства степеней в одной таблице: умножение и деление степеней, степень степени, произведения и дроби, нулевая, отрицательная и дробная степень, примеры."
url: https://neuromisha.ru/spravochnik/svoystva-stepeney/
dateModified: 2026-09-29
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Свойства степеней: таблица формул

Главные свойства степеней: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, (ab)ⁿ = aⁿbⁿ, (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ. Кроме того, a⁰ = 1 и a⁻ⁿ = 1/aⁿ при a ≠ 0.

*Калькулятор степеней работает на странице (нужен JavaScript).*

Свойства степеней позволяют упрощать выражения, не вычисляя каждую степень. В первой таблице — все свойства: умножение и деление степеней с одинаковым основанием, степень степени, произведения и дроби, нулевой, отрицательный и дробный показатель. Во второй — примеры на каждое свойство, в третьей — ошибки, которые чаще всего стоят баллов.

**Обновлено:** 2026-09-29 · Математика · учебник алгебры 7–9 классов; кодификатор ЕГЭ 2027 по математике

## Свойства степеней: таблица

| Свойство | Формула | Условие и пример |
| --- | --- | --- |
| Умножение степеней | $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ | основания одинаковые: 2^3 · 2^4 = 2^7 = 128 |
| Деление степеней | $a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$ | a ≠ 0: 5^7 : 5^5 = 5^2 = 25 |
| Степень степени | $(a^{m})^{n} = a^{mn}$ | (3^2)^3 = 3^6 = 729 |
| Степень произведения | $(ab)^{n} = a^{n}b^{n}$ | и обратно: 2^5 · 5^5 = 10^5 |
| Степень дроби | $(\frac{a}{b})^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}$ | b ≠ 0: (2/3)^2 = 4/9 |
| Нулевой показатель | $a^{0} = 1$ | a ≠ 0; выражение 0^0 не определено |
| Первая степень | $a^{1} = a$ | 7^1 = 7 |
| Отрицательный показатель | $a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}$ | a ≠ 0: 2^(−3) = 1/8 |
| Дробь в отрицательной степени | $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^{n}$ | (2/3)^(−2) = (3/2)^2 = 9/4 |
| Дробный показатель | $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$ | a > 0: 4^(3/2) = √(4^3) = 8 |
| Степень единицы и нуля | $1^{n} = 1, 0^{n} = 0$ | для 0^n — при n > 0 |

Свойства умножения и деления работают только для одинаковых оснований, степени произведения и дроби — для одинаковых показателей. Для суммы и разности степеней свойств нет. Значения степеней от 1 до 10 — в таблице степеней. На ЕГЭ свойства степеней нужны в задании 16 базового уровня и задании 8 профильного.

## Примеры на свойства степеней

*Примеры на свойства степеней: выражение, применённое свойство и результат*

| Выражение | Свойство | Результат |
| --- | --- | --- |
| $3^{4} \cdot 3^{-2}$ | умножение степеней | $3^{2} = 9$ |
| $\frac{7^{10}}{7^{8}}$ | деление степеней | $7^{2} = 49$ |
| $(2^{3})^{2}$ | степень степени | $2^{6} = 64$ |
| $4^{3} \cdot 25^{3}$ | степень произведения | $100^{3} = 1 000 000$ |
| $\frac{6^{4}}{3^{4}}$ | степень дроби | $2^{4} = 16$ |
| $(-5)^{0}$ | нулевой показатель | 1 |
| $10^{-3}$ | отрицательный показатель | 0,001 |
| $(\frac{1}{2})^{-4}$ | дробь в отрицательной степени | $2^{4} = 16$ |
| $81^{\frac{1}{4}}$ | дробный показатель | 3 |
| $125^{\frac{2}{3}}$ | дробный показатель | 25 |
| $\frac{4^{5}}{2^{8}}$ | $\text{общее основание}: 4 = 2^{2}$ | $2^{10} : 2^{8} = 4$ |
| $\frac{2^{7} \cdot 3^{5}}{6^{5}}$ | степень произведения | $2^{7} : 2^{5} = 4$ |

## Частые ошибки со степенями

*Частые ошибки со степенями: неверное преобразование и верный вариант*

| Неверно | Верно | Почему |
| --- | --- | --- |
| $a^{m} + a^{n} = a^{m + n}$ | $2^{3} + 2^{2} = 8 + 4 = 12$ | складывать показатели можно только при умножении |
| $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ | $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ | степень суммы раскрывают по формуле сокращённого умножения |
| $-3^{2} = 9$ | $-3^{2} = -9, (-3)^{2} = 9$ | без скобок в степень возводится только 3 |
| $2^{-3} = -8$ | $2^{-3} = \frac{1}{8}$ | отрицательный показатель даёт дробь, а не отрицательное число |
| $(a^{3})^{2} = a^{5}$ | $(a^{3})^{2} = a^{6}$ | показатели перемножают, а не складывают |
| $2^{3} \cdot 3^{2} = 6^{5}$ | $2^{3} \cdot 3^{2} = 8 \cdot 9 = 72$ | разные основания и разные показатели не объединяются |

## Что такое степень числа?

Степень a^n с натуральным показателем — произведение n одинаковых множителей a: 2^5 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32. Число a называют основанием, n — показателем. Из этого определения выводятся все свойства: при умножении 2^3 · 2^2 получается 3 + 2 = 5 двоек подряд. Отрицательный и дробный показатели определяют так, чтобы свойства остались верными: a^(−n) = 1/a^n, a^(1/n) = ⁿ√a.

## Как применять свойства степеней?

- Сведите к одному основанию. 8 = 2^3, 27 = 3^3, 0,25 = 2^(−2), √5 = 5^(1/2).
- Соберите показатели: при умножении сложите, при делении вычтите, степень степени — перемножьте.
- Разные основания, одинаковый показатель — перемножьте основания: 4^3 · 25^3 = 100^3.
- Вычисляйте в конце, когда показатель стал маленьким: так меньше шансов ошибиться. Значения — в таблице степеней.

## Какие свойства степеней проходят в 7 классе?

В 7 классе — свойства степени с натуральным показателем: первые пять строк таблицы и a^0 = 1. В 8 классе добавляется степень с целым отрицательным показателем, в 10–11 классах — с рациональным и действительным, а на ней строятся показательная функция и логарифмы. Свойства логарифмов — те же свойства степеней, записанные для показателя: они собраны на странице свойства логарифмов.

## Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?

Свойства степеней проверяет задание 16 базового уровня и задание 8 профильного — найти значение выражения со степенями и корнями. Они же нужны в показательных уравнениях задания 7 и в задаче 14 профиля.

- [Задание 16 ЕГЭ базы: степени, корни, логарифмы](https://neuromisha.ru/ege/matematika-baza/zadanie-16/) — Значение выражения вида (5^7 · 5^3) / 5^8.
- [Задание 8 ЕГЭ профиля: значение выражения](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-8/) — Дробные показатели и сведение к одному основанию.
- [Задание 7 ЕГЭ профиля: простейшее уравнение](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-7/) — Показательные уравнения: обе части — степени одного основания.

**Теория по теме:**

- [Степень с целым показателем](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/stepen-s-celym-pokazatelem/)
- [Степень с целым показателем на базовом ЕГЭ](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika-baza/stepen-s-celym-pokazatelem/)
- [Арифметический корень натуральной степени](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/arifmeticheskiy-koren-naturalnoy-stepeni/)

## Вопросы и ответы

### Сколько свойств степеней нужно знать?

Пять основных: умножение и деление степеней с одинаковым основанием, степень степени, степень произведения и степень дроби. К ним добавляют определения a^0 = 1, a^(−n) = 1/a^n и a^(m/n) = ⁿ√(a^m).

### Почему любое число в нулевой степени равно 1?

Так нужно, чтобы работало свойство деления: a^n : a^n = a^(n − n) = a^0, а любое ненулевое число, делённое на себя, равно 1. Для a = 0 деление невозможно, поэтому 0^0 не определено.

### Как умножить степени с разными основаниями?

Если показатели одинаковые — перемножьте основания: 2^4 · 5^4 = 10^4. Если разные — попробуйте свести к одному основанию (4^3 · 2^5 = 2^6 · 2^5 = 2^11), иначе просто вычислите каждую степень.

### Чему равна степень с отрицательным показателем?

Единице, делённой на ту же степень с положительным показателем: 3^(−2) = 1/9, 10^(−3) = 0,001. Знак результата от минуса в показателе не меняется.

## Источники

- Алгебра. 7 и 8 классы: учебники Ю. Н. Макарычева и др. (М.: Просвещение) — степень с натуральным и целым показателем и её свойства
- [ФИПИ: кодификатор и спецификация ЕГЭ по математике](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory) — степень с целым и рациональным показателем, свойства степени; задания 16 базового и 8 профильного уровня

## Другие справочные таблицы

- [Таблица степеней чисел от 1 до 10](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-stepeney/)
- [Свойства корней: таблица формул](https://neuromisha.ru/spravochnik/svoystva-korney/)
- [Таблица квадратных корней от 1 до 100](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-kvadratnyh-korney/)
- [Таблица квадратов от 1 до 100](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-kvadratov/)
- [Таблица кубов натуральных чисел от 1 до 100](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-kubov/)
- [Формулы понижения степени: таблица с выводом](https://neuromisha.ru/spravochnik/formuly-ponizheniya-stepeni/)
- [Все таблицы по математике](https://neuromisha.ru/spravochnik/#matematika)

---

Источник: https://neuromisha.ru/spravochnik/svoystva-stepeney/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.