---
title: "Таблица интегралов и первообразных: основные формулы"
description: "Таблица первообразных и интегралов: степень, 1/x, экспонента, синус, косинус и формулы для вуза. Правила интегрирования и формула Ньютона — Лейбница."
url: https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-integralov/
dateModified: 2026-09-29
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Таблица интегралов и первообразных

Таблица интегралов, главные строки: ∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C при n ≠ −1, ∫ dx/x = ln|x| + C, ∫ e^x dx = e^x + C, ∫ sin x dx = −cos x + C, ∫ cos x dx = sin x + C.

*Поиск по таблице работает на странице (нужен JavaScript).*

Первообразная F(x) для функции f(x) — такая функция, что F′(x) = f(x). В первой таблице — первообразные функций школьной программы, во второй — интегралы, которые добавляются в вузе. К любой первообразной можно прибавить постоянную C. Ниже — правила интегрирования, формула Ньютона — Лейбница и площадь под графиком.

**Обновлено:** 2026-09-29 · Математика

## Таблица интегралов и первообразных для 11 класса

| Функция f(x) | Интеграл и первообразная | Условие |
| --- | --- | --- |
| k (постоянная) | $∫ k dx = kx + C$ | в частности, ∫ 0 dx = C |
| x^n | $∫ x^{n} dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ | n ≠ −1 |
| 1/x | $∫ \frac{dx}{x} = ln\|x\| + C$ | x ≠ 0 |
| 1/(x^2) | $∫ \frac{dx}{x^{2}} = -\frac{1}{x} + C$ | x ≠ 0; частный случай степени при n = −2 |
| √x | $∫ \sqrt{x} dx = \frac{2}{3}x\sqrt{x} + C$ | x ≥ 0; √x = x^(1/2) |
| 1/(√x) | $∫ \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x} + C$ | x > 0 |
| e^x | $∫ e^{x} dx = e^{x} + C$ | экспонента — первообразная сама себе |
| a^x | $∫ a^{x} dx = \frac{a^{x}}{ln a} + C$ | a > 0, a ≠ 1 |
| sin x | $∫ sin x dx = -cos x + C$ | знак минус — частая ошибка |
| cos x | $∫ cos x dx = sin x + C$ |  |
| 1/(cos^2 x) | $∫ \frac{dx}{cos^{2} x} = tg x + C$ | cos x ≠ 0 |
| 1/(sin^2 x) | $∫ \frac{dx}{sin^{2} x} = -ctg x + C$ | sin x ≠ 0 |

Проверка любой строки — продифференцировать правую часть: получится функция из левого столбца. Производные для такой проверки — в таблице производных, первообразная на ЕГЭ встречается в задании 9 профильной математики.

## Правила интегрирования и формула Ньютона — Лейбница

| Правило | Формула | Пояснение |
| --- | --- | --- |
| Сумма | $∫ (f(x) + g(x)) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx$ | интегрируют каждое слагаемое |
| Постоянный множитель | $∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx$ | число выносят за знак интеграла |
| Линейный аргумент | $∫ f(kx + b) dx = \frac{1}{k}F(kx + b) + C$ | k ≠ 0; пример: ∫ cos 3x dx = 1/3 sin 3x + C |
| Формула Ньютона — Лейбница | $∫_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$ | F — любая первообразная f на отрезке [a; b] |
| Площадь криволинейной трапеции | $S = ∫_{a}^{b} f(x) dx$ | f(x) ≥ 0 на [a; b] |
| Площадь между графиками | $S = ∫_{a}^{b} (f(x) - g(x)) dx$ | f(x) ≥ g(x) на [a; b] |

## Полная таблица интегралов для студентов: дополнение

| Функция f(x) | Интеграл | Условие |
| --- | --- | --- |
| 1/(1 + x^2) | $∫ \frac{dx}{1 + x^{2}} = arctg x + C$ |  |
| 1/(a^2 + x^2) | $∫ \frac{dx}{a^{2} + x^{2}} = \frac{1}{a} arctg \frac{x}{a} + C$ | a ≠ 0 |
| 1/(√(1 − x^2)) | $∫ \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}} = arcsin x + C$ | \|x\| < 1 |
| 1/(√(a^2 − x^2)) | $∫ \frac{dx}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} = arcsin \frac{x}{a} + C$ | a > 0, \|x\| < a |
| 1/(x^2 − a^2) | $∫ \frac{dx}{x^{2} - a^{2}} = \frac{1}{2a} ln\|\frac{x - a}{x + a}\| + C$ | a ≠ 0, x ≠ ±a; «высокий логарифм» |
| 1/(√(x^2 + A)) | $∫ \frac{dx}{\sqrt{x^{2} + A}} = ln\|x + \sqrt{x^{2} + A}\| + C$ | A ≠ 0; «длинный логарифм» |
| tg x | $∫ tg x dx = -ln\|cos x\| + C$ | cos x ≠ 0 |
| ctg x | $∫ ctg x dx = ln\|sin x\| + C$ | sin x ≠ 0 |

## Как находить первообразную по таблице?

Разбейте функцию на слагаемые, вынесите числа за знак интеграла и возьмите каждую строку из таблицы. Пример: ∫ (3x^2 − 4x + 5) dx = 3 · (x^3)/3 − 4 · (x^2)/2 + 5x + C = x^3 − 2x^2 + 5x + C. Проверка: (x^3 − 2x^2 + 5x)′ = 3x^2 − 4x + 5.

Определённый интеграл считают по формуле Ньютона — Лейбница: ∫_0^2 x^2 dx = (2^3)/3 − (0^3)/3 = 8/3. Постоянная C здесь не нужна: она сокращается при вычитании F(b) − F(a).

## Первообразная, неопределённый и определённый интеграл — в чём разница?

- Первообразная — одна функция F(x), у которой F′(x) = f(x). Например, x^2 — первообразная для 2x.
- Неопределённый интеграл ∫ f(x) dx — все первообразные сразу: F(x) + C, где C — любое число.
- Определённый интеграл ∫_a^b f(x) dx — число, равное F(b) − F(a). Если f(x) ≥ 0, это площадь под графиком на отрезке [a; b].

## Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?

Первообразная и площадь криволинейной трапеции входят в кодификатор профильной математики. На ЕГЭ они встречаются в задании 9 и в задачах второй части, где нужны начала анализа.

- [Задание 9 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-9/) — Производная и первообразная по графику, площадь под графиком через интеграл.
- [Задание 17 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-17/) — Модель реальной ситуации с началами анализа: производная и интеграл в прикладной задаче.

**Теория по теме:**

- [Первообразная, интеграл](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/pervoobraznaya-integral/)
- [Производная](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/proizvodnaya/)

## Вопросы и ответы

### Чем первообразная отличается от интеграла?

Первообразная — одна функция F(x), производная которой равна f(x). Неопределённый интеграл — множество всех первообразных F(x) + C. Определённый интеграл — число F(b) − F(a).

### Зачем в ответе писать + C?

У функции бесконечно много первообразных, и они отличаются на постоянную: производная константы равна нулю. Запись + C показывает все сразу. Если в задаче дано значение F в точке, C находят из него.

### Есть ли таблица первообразных в справочных материалах ЕГЭ?

Нет. В справке профильной математики только синус и косинус двойного угла и суммы; первообразные и производные нужно помнить. Подробнее — на странице справочные материалы ЕГЭ.

### Как проверить, что первообразная найдена верно?

Продифференцировать ответ. Если получилась исходная функция — всё верно: (x^4/4 + C)′ = x^3. Таблица производных — на отдельной странице.

## Источники

- [ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory) — кодификатор ЕГЭ по математике профильного уровня: первообразные элементарных функций, площадь криволинейной трапеции, формула Ньютона — Лейбница
- Проверка таблицы — каждая строка проверяется дифференцированием правой части; числовые примеры пересчитаны

## Другие справочные таблицы

- [Таблица производных: все формулы с примерами](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-proizvodnyh/)
- [Правила дифференцирования: таблица и производная сложной функции](https://neuromisha.ru/spravochnik/pravila-differencirovaniya/)
- [Уравнение касательной к графику функции: формула и алгоритм](https://neuromisha.ru/spravochnik/uravnenie-kasatelnoy/)
- [Таблица тангенсов и котангенсов](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-tangensov/)
- [Римские цифры: таблица от 1 до 20 и до 100, правила перевода](https://neuromisha.ru/spravochnik/rimskie-cifry/)
- [Таблица квадратов от 1 до 100](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-kvadratov/)
- [Все таблицы по математике](https://neuromisha.ru/spravochnik/#matematika)

---

Источник: https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-integralov/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.