--- title: "Таблица истинности и логические операции: И, ИЛИ, импликация" description: "Таблицы истинности отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквивалентности и XOR: обозначения, запись в Python, порядок операций и законы логики." url: https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-istinnosti/ dateModified: 2026-09-29 author: "Редакция НейроМиши" --- # Таблица истинности логических операций Таблица истинности перечисляет все наборы значений переменных, 1 — истина, 0 — ложь. И истинно, только когда оба операнда равны 1. ИЛИ ложно, только когда оба равны 0. Импликация A → B ложна лишь при A = 1 и B = 0. *Поиск по таблице работает на странице (нужен JavaScript).* Каждая строка — один набор значений A и B, каждый столбец — операция. Чтобы узнать A → B при A = 1 и B = 0, возьмите строку «1 0» и столбец импликации: там 0. Поиск в начале страницы находит операцию по названию или значку и показывает, как её пишут в школе, в заданиях ЕГЭ и в Python. **Обновлено:** 2026-09-29 · Информатика ## Шесть логических операций на всех наборах A и B *Таблица истинности: значения отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквивалентности и исключающего ИЛИ для всех наборов A и B* | A | B | ¬A (НЕ) | A ∧ B (И) | A ∨ B (ИЛИ) | A → B | A ≡ B | A ⊕ B | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 — истина, 0 — ложь. Отрицание зависит только от A. Эквивалентность и исключающее ИЛИ — зеркальные столбцы: где одна даёт 1, другая даёт 0. ## Логические операции: названия, обозначения, Python *Шесть логических операций: другие названия, обозначения в школе и в заданиях ЕГЭ, запись на Python, когда операция истинна* | Операция | Другие названия | Обозначения | На Python | Истинна, когда | | --- | --- | --- | --- | --- | | НЕ | отрицание, инверсия | ¬A, не A | not a | A ложно | | И | конъюнкция, логическое умножение | A ∧ B, A & B, A · B | a and b | обе переменные истинны | | ИЛИ | дизъюнкция, логическое сложение | A ∨ B, A \| B, A + B | a or b | хотя бы одна переменная истинна | | Импликация | следование, «если A, то B» | A → B, A ⇒ B | a <= b или not a or b | во всех случаях, кроме A = 1 и B = 0 | | Эквивалентность | тождество, равносильность | A ≡ B, A ↔ B, A ⇔ B | a == b | значения A и B совпадают | | Исключающее ИЛИ | строгая дизъюнкция, сложение по модулю 2, XOR | A ⊕ B | a != b или a ^ b | значения A и B различаются | В заданиях ЕГЭ по информатике приняты значки ¬, ∧ (или &), ∨ (или |), → и ≡. Исключающего ИЛИ в этих соглашениях нет — если оно встречается, его определяют в условии. ## Пример: таблица истинности для F = ¬A ∨ B → C *Построение таблицы истинности выражения ¬A ∨ B → C по шагам: сначала отрицание, затем ИЛИ, затем импликация* | A | B | C | ¬A | ¬A ∨ B | F = ¬A ∨ B → C | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | Выражение истинно на 5 наборах из 8. Если бы импликацию ошибочно выполнили раньше ИЛИ, то есть считали ¬A ∨ (B → C), результат разошёлся бы в строках 000 и 010. ## Законы алгебры логики | Закон | Запись | Зачем нужен | | --- | --- | --- | | Двойное отрицание | $¬¬A = A$ | два отрицания подряд сокращаются | | Де Морган для И | $¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B$ | отрицание скобки меняет И на ИЛИ | | Де Морган для ИЛИ | $¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B$ | и наоборот, ИЛИ на И | | Импликация через ИЛИ | $A \to B = ¬A ∨ B$ | главная замена в задании 2 и в Python | | Контрапозиция | $A \to B = ¬B \to ¬A$ | «если не B, то не A» — то же утверждение | | Эквивалентность | $A ≡ B = (A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B)$ | обе истинны или обе ложны | | Исключающее ИЛИ | $A ⊕ B = ¬(A ≡ B) = (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B)$ | отрицание эквивалентности | | Распределительный для И | $A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)$ | раскрытие скобок, как в алгебре | | Распределительный для ИЛИ | $A ∨ (B ∧ C) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)$ | в алгебре чисел такого нет | | Поглощение | $A ∨ (A ∧ B) = A$ | так же A ∧ (A ∨ B) = A | | Склеивание | $(A ∧ B) ∨ (A ∧ ¬B) = A$ | сокращает строки таблицы, отличающиеся одной переменной | | Исключённое третье | $A ∨ ¬A = 1$ | парный закон противоречия: A ∧ ¬A = 0 | | Действия с константами | $A ∧ 1 = A, A ∨ 0 = A, A ∧ 0 = 0, A ∨ 1 = 1$ | единица в И и ноль в ИЛИ ничего не меняют | Переместительный и сочетательный законы для И и ИЛИ работают как для умножения и сложения чисел: A ∧ B = B ∧ A, (A ∨ B) ∨ C = A ∨ (B ∨ C). ## В каком порядке выполняются логические операции? Если скобок нет, порядок такой: сначала отрицание, затем И, затем ИЛИ, затем импликация и последней — эквивалентность. Так записано в соглашениях к заданиям ЕГЭ по информатике. Выражение ¬A ∨ B ∧ C читается как (¬A) ∨ (B ∧ C), а ¬A ∨ B → C — как ((¬A) ∨ B) → C. Для исключающего ИЛИ общего соглашения нет, поэтому его всегда берут в скобки. В Python порядок другой, и на этом теряют баллы. Сравнения <=, == и != выполняются раньше not, and и or, а цепочка a <= b <= c означает (a <= b) and (b <= c), а не (a <= b) <= c. При A = B = C = 0 выражение (A → B) → C ложно, а a <= b <= c выдаёт True. Поэтому каждую импликацию и эквивалентность в коде берите в скобки: (a <= b) == c. ## Как построить таблицу истинности для выражения? - Посчитайте переменные: при n переменных в таблице 2^n строк. Две переменные — 4 строки, три — 8, четыре — 16. - Выпишите наборы по порядку, как двоичные числа: 000, 001, 010 … 111. Так ни один набор не потеряется. - Добавьте столбцы для промежуточных действий в порядке приоритета: отрицания, потом И, потом ИЛИ, потом импликация и эквивалентность. - Заполните последний столбец — значение всего выражения. Проверка: число строк с единицей удобно сверить с перебором на Python — четыре вложенных цикла for по (0, 1) и print там, где выражение истинно. ## Как таблица истинности помогает в задании 2 ЕГЭ? В задании 2 дают логическую функцию от четырёх переменных и фрагмент её таблицы истинности: несколько строк, столбцы которых не подписаны. Нужно понять, какой переменной соответствует каждый столбец, и записать буквы в порядке столбцов. Это 1 балл базового уровня. Решают двумя способами. Вручную — ищут строки, где функция равна 0 или 1 особым образом: импликация ложна только при 1 → 0, И истинно только при всех единицах, и одна такая строка сразу отсекает часть перестановок. Программой — перебирают все 16 наборов, печатают те, что подходят по значению функции, и сопоставляют их с фрагментом. Подробный разбор с примерами — на странице задания 2. ## Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ? Логика — одна из самых «дешёвых» тем ЕГЭ по информатике: таблица истинности и порядок операций нужны сразу в нескольких номерах, а переборное решение на Python занимает пару минут. - [Задание 2 ЕГЭ по информатике](https://neuromisha.ru/ege/informatika/zadanie-2/) — Фрагмент таблицы истинности: определить, какой переменной соответствует каждый столбец. - [Задание 15 ЕГЭ по информатике](https://neuromisha.ru/ege/informatika/zadanie-15/) — Логическое выражение с числами и делимостью: при каком A оно истинно для всех x. ## Вопросы и ответы ### Что такое таблица истинности? Таблица, в которой перечислены все возможные наборы значений переменных логического выражения и для каждого указано, истинно выражение (1) или ложно (0). Для A ∧ B это 4 строки: выражение равно 1 только в строке A = 1, B = 1. ### Сколько строк в таблице истинности? 2^n, где n — число переменных: для двух переменных 4 строки, для трёх 8, для четырёх 16, для пяти 32. Каждая новая переменная удваивает число наборов. ### Когда импликация ложна? Только в одном случае: A = 1, B = 0 — из истины следует ложь. Если A ложно, импликация A → B истинна при любом B. Поэтому A → B равносильна ¬A ∨ B. ### Как записать импликацию и эквивалентность на Python? Импликацию — как a <= b или not a or b, эквивалентность — как a == b, исключающее ИЛИ — как a != b. Сравнения в Python выполняются раньше and и or и образуют цепочки, поэтому каждую такую операцию берите в скобки. ### Чем эквивалентность отличается от исключающего ИЛИ? Это противоположные операции: A ≡ B истинна, когда значения совпадают, A ⊕ B — когда различаются. В таблице истинности их столбцы зеркальны: A ⊕ B = ¬(A ≡ B). ## Источники - [ФИПИ: проект демоверсии, спецификации и кодификатора ЕГЭ 2027 по информатике](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/inf_11_2027.zip) — кодификатор, раздел 2.7 «Алгебра логики»: логические операции, таблицы истинности, законы алгебры логики; соглашения об обозначениях и приоритете операций в демоверсии - [ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory) — раздел с документами ЕГЭ по всем предметам - Проверка таблиц — значения операций, пример и все законы из таблицы проверены программой перебором всех наборов; запись операций на Python проверена запуском ## Другие справочные таблицы - [Логические операции: символы, названия и приоритет](https://neuromisha.ru/spravochnik/logicheskie-operacii/) - [Двоичный код: таблица чисел и букв](https://neuromisha.ru/spravochnik/dvoichnyy-kod/) - [Шестнадцатеричная система счисления: таблица](https://neuromisha.ru/spravochnik/shestnadcaterichnaya-sistema/) - [Единицы измерения информации: таблица и перевод](https://neuromisha.ru/spravochnik/edinicy-izmereniya-informacii/) - [Степени двойки: таблица до 2^64](https://neuromisha.ru/spravochnik/stepeni-dvoyki/) - [Перевод в восьмеричную систему: таблица чисел и триад](https://neuromisha.ru/spravochnik/vosmerichnaya-sistema/) - [Все таблицы по информатике](https://neuromisha.ru/spravochnik/#informatika) --- Источник: https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-istinnosti/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.