---
title: "Таблица производных элементарных функций и правила"
description: "Таблица производных элементарных функций: степень, корень, eˣ, ln x, sin x, tg x, arcsin x. Правила дифференцирования и смысл производной."
url: https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-proizvodnyh/
dateModified: 2026-09-29
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Таблица производных: все формулы с примерами

Основные производные: (C)′ = 0, (x^n)′ = nx^(n − 1), (√x)′ = 1/(2√x), (e^x)′ = e^x, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x, (tg x)′ = 1/(cos^2 x). Производная сложной функции: (f(g(x)))′ = f′(g(x)) · g′(x).

*Поиск по таблице работает на странице (нужен JavaScript).*

Главные строки таблицы производных: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹, (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x. В первой таблице — производные всех элементарных функций школьного курса, во второй — правила для суммы, произведения, частного и сложной функции, в третьей — смысл производной.

**Обновлено:** 2026-09-29 · Математика · школьный курс алгебры и начал анализа 10–11 классов; кодификатор ЕГЭ 2027 по математике

## Таблица производных элементарных функций

| Функция | Производная | Условие, пример |
| --- | --- | --- |
| Постоянная | $(C)′ = 0$ | (7)′ = 0, (π^2)′ = 0 |
| Переменная | $(x)′ = 1$ | частный случай степени при n = 1 |
| Степень | $(x^{n})′ = nx^{n - 1}$ | n — любое число; (x^5)′ = 5x^4 |
| Квадрат | $(x^{2})′ = 2x$ | в точке x = 3 производная равна 6 |
| Куб | $(x^{3})′ = 3x^{2}$ | в точке x = 2 производная равна 12 |
| Обратная величина | $(\frac{1}{x})′ = -\frac{1}{x^{2}}$ | x ≠ 0; это степень x^(−1) |
| Дробь с квадратом | $(\frac{1}{x^{2}})′ = -\frac{2}{x^{3}}$ | x ≠ 0; это степень x^(−2) |
| Квадратный корень | $(\sqrt{x})′ = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ | x > 0; в точке x = 4 производная равна 1/4 |
| Корень n-й степени | $(\sqrt[n]{x})′ = \frac{1}{n \sqrt[n]{x^{n - 1}}}$ | степень x^(1/n) |
| Экспонента | $(e^{x})′ = e^{x}$ | единственная функция, равная своей производной (с точностью до множителя) |
| Показательная | $(a^{x})′ = a^{x} ln a$ | a > 0, a ≠ 1; (2^x)′ = 2^x ln 2 |
| Натуральный логарифм | $(ln x)′ = \frac{1}{x}$ | x > 0 |
| Логарифм по основанию a | $(log_{a} x)′ = \frac{1}{x ln a}$ | x > 0, a > 0, a ≠ 1 |
| Синус | $(sin x)′ = cos x$ | в точке x = 0 производная равна 1 |
| Косинус | $(cos x)′ = -sin x$ | минус — только у косинуса и котангенса |
| Тангенс | $(tg x)′ = \frac{1}{cos^{2} x}$ | cos x ≠ 0 |
| Котангенс | $(ctg x)′ = -\frac{1}{sin^{2} x}$ | sin x ≠ 0 |
| Арксинус | $(arcsin x)′ = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ | −1 < x < 1 |
| Арккосинус | $(arccos x)′ = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ | −1 < x < 1 |
| Арктангенс | $(arctg x)′ = \frac{1}{1 + x^{2}}$ | при любом x |
| Арккотангенс | $(arcctg x)′ = -\frac{1}{1 + x^{2}}$ | при любом x |

Первые девять строк — одна формула (x^n)′ = nx^(n − 1) при разных n: корень — это x^(1/2), дробь 1/x — это x^(−1). Обратные тригонометрические функции в ЕГЭ почти не встречаются, они для полноты таблицы.

## Правила дифференцирования

| Правило | Формула | Пример |
| --- | --- | --- |
| Сумма и разность | $(u \pm v)′ = u′ \pm v′$ | (x^3 − 2x + 5)′ = 3x^2 − 2 |
| Постоянный множитель | $(Cu)′ = Cu′$ | (4 sin x)′ = 4 cos x |
| Произведение | $(uv)′ = u′v + uv′$ | (xe^x)′ = e^x + xe^x = (x + 1)e^x |
| Частное | $(\frac{u}{v})′ = \frac{u′v - uv′}{v^{2}}$ | v ≠ 0; (x/(x + 1))′ = 1/((x + 1)^2) |
| Сложная функция | $(f(g(x)))′ = f′(g(x)) \cdot g′(x)$ | (sin 3x)′ = 3 cos 3x; (e^(2x))′ = 2e^(2x) |
| Линейный аргумент | $(f(kx + b))′ = k \cdot f′(kx + b)$ | (cos(5x − 2))′ = −5 sin(5x − 2) |

Подробно с разбором сложной функции — на странице правила дифференцирования.

## Что показывает производная

*Геометрический и физический смысл производной, возрастание, убывание и экстремумы*

| Факт | Формула или условие | Пример |
| --- | --- | --- |
| Угловой коэффициент касательной | $k = f′(x_{0}) = tg \alpha$ | $\text{у} y = x^{2} \text{в точке} x_{0} = 3 \text{касательная имеет} k = 6$ |
| Уравнение касательной | $y = f(x_{0}) + f′(x_{0})(x - x_{0})$ | $\text{для} y = x^{2} \text{при} x_{0} = 3: y = 6x - 9$ |
| Скорость и ускорение | v(t) = x′(t), a(t) = v′(t) | $x(t) = t^{3} - 3t^{2} + 5t, v(2) = 5$ |
| Возрастание | f′(x) > 0 на промежутке | $y = x^{3} + x: y′ = 3x^{2} + 1 > 0$ |
| Убывание | f′(x) < 0 на промежутке | y = −2x + 7: y′ = −2 |
| Точка максимума | f′ меняет знак с «+» на «−» | $y = -x^{2} + 6x: \text{максимум в} x = 3$ |
| Точка минимума | f′ меняет знак с «−» на «+» | $y = x^{2} - 4x: \text{минимум в} x = 2$ |
| Нуль производной без смены знака | не экстремум | $y = x^{3}: y′(0) = 0, \text{но функция возрастает}$ |

Уравнение касательной с разбором — на странице уравнение касательной.

## Как найти производную по таблице?

Сначала упростите выражение: раскройте скобки, корень и дробь запишите степенью. Потом определите последнее действие — сумма, произведение, частное или функция от функции — и возьмите нужное правило из второй таблицы. Производные «кирпичиков» берутся из первой.

Пример: f(x) = x^3 − 2√x + 4/x. По строкам «Куб», «Квадратный корень» и «Обратная величина»: f′(x) = 3x^2 − 1/(√x) − 4/(x^2). В точке x = 1 значение f′(1) = 3 − 1 − 4 = −2.

Пример со сложной функцией: f(x) = (3x − 1)^4. Внешняя функция — четвёртая степень, внутренняя — 3x − 1: f′(x) = 4(3x − 1)^3 · 3 = 12(3x − 1)^3.

## Таблица производных для ЕГЭ: какие задания

По проекту спецификации ЕГЭ 2027 производная нужна в двух заданиях профильной математики. Задание 9 — по графику: знак производной, точки экстремума, касательная. Задание 17 — новое, с развёрнутым решением: описать ситуацию функцией и исследовать её производной.

В справочных материалах экзамена таблицы производных нет, поэтому строки «Степень», «Экспонента», «Натуральный логарифм», «Синус», «Косинус» и правила произведения, частного и сложной функции нужно знать наизусть.

## Где ошибаются чаще всего?

- Считают производную произведения как произведение производных: (xe^x)′ не равно e^x, правильно (x + 1)e^x.
- Забывают множитель внутренней функции: (sin 3x)′ = 3 cos 3x, а не cos 3x.
- Путают знак: (cos x)′ = −sin x, а (sin x)′ = cos x без минуса.
- Путают (e^x)′ = e^x с (x^e)′ = ex^(e − 1) — у степени переменная в основании, у показательной — в показателе.

## Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?

Производная в ЕГЭ 2027 по профильной математике — задание 9 (производная и функция по графику) и задание 17 (модель реальной ситуации, исследование функции с обоснованием).

- [Задание 9 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-9/) — Производная по графику: знак, касательная, точки экстремума.
- [Задание 17 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-17/) — Модель реальной ситуации: функция, производная, наибольшее или наименьшее значение.

**Теория по теме:**

- [Производная](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/proizvodnaya/)
- [Применение производной к исследованию функций](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/primenenie-proizvodnoy-k-issledovaniyu-funkciy/)
- [Монотонность, экстремумы](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/monotonnost-ekstremumy/)
- [Первообразная, интеграл](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/pervoobraznaya-integral/)

## Вопросы и ответы

### Какие производные нужно знать наизусть для ЕГЭ?

Степенную функцию, e^x, ln x, sin x и cos x и четыре правила: сумма, произведение, частное, сложная функция. Производные tg x, a^x и log_a x встречаются реже, но выводятся из этого набора.

### Чему равна производная корня из x?

(√x)′ = 1/(2√x) при x > 0. Это строка «Степень» для n = 1/2: 1/2x^(−1/2). В точке x = 9 производная равна 1/6.

### Чему равна производная e в степени x?

(e^x)′ = e^x. Для сложного показателя добавляется множитель: (e^(2x))′ = 2e^(2x), (e^(x^2))′ = 2xe^(x^2).

### Производная числа равна нулю всегда?

Да, производная любой постоянной равна нулю: (5)′ = 0, (ln 3)′ = 0, (π)′ = 0. Постоянный множитель при этом выносится: (5x)′ = 5.

## Источники

- [ФИПИ: проект демоверсии, спецификации и кодификатора ЕГЭ 2027 по математике](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/ma_11_2027.zip) — кодификатор, раздел «Начала математического анализа»: производная, её геометрический и физический смысл, производные элементарных функций, применение к исследованию функций
- [ФИПИ: планируемые изменения в КИМ ЕГЭ 2027 года](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/Plan_izmeneniya_KIM_EGE_2027.pdf) — новая нумерация заданий и задание на моделирование с началами анализа
- Проверка формул — каждая строка первых двух таблиц сверена программой: производная из таблицы совпала с численной производной в десяти точках области определения

## Другие справочные таблицы

- [Правила дифференцирования: таблица и производная сложной функции](https://neuromisha.ru/spravochnik/pravila-differencirovaniya/)
- [Таблица интегралов и первообразных](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-integralov/)
- [Уравнение касательной к графику функции: формула и алгоритм](https://neuromisha.ru/spravochnik/uravnenie-kasatelnoy/)
- [Таблица тангенсов и котангенсов](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-tangensov/)
- [Формулы комбинаторики: таблица с примерами](https://neuromisha.ru/spravochnik/formuly-kombinatoriki/)
- [Свойства степеней: таблица формул](https://neuromisha.ru/spravochnik/svoystva-stepeney/)
- [Все таблицы по математике](https://neuromisha.ru/spravochnik/#matematika)

---

Источник: https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-proizvodnyh/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.