---
title: "Теорема косинусов: формула, следствия и примеры решения"
description: "Теорема косинусов: c² = a² + b² − 2ab·cos γ. Как найти сторону и угол, формулы для углов 60°, 90°, 120°, доказательство и примеры."
url: https://neuromisha.ru/spravochnik/teorema-kosinusov/
dateModified: 2026-09-29
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Теорема косинусов: формула и как найти сторону или угол

Теорема косинусов: c^2 = a^2 + b^2 − 2ab cos γ, где γ — угол между сторонами a и b. При a = 5, b = 8 и γ = 60° третья сторона c = 7.

*Поиск по таблице работает на странице (нужен JavaScript).*

Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними, c² = a² + b² − 2ab·cos γ. По ней находят третью сторону по двум сторонам и углу, а по трём сторонам — любой угол.

**Обновлено:** 2026-09-29 · Математика · школьный курс геометрии 9 класса; кодификатор ЕГЭ 2027 по математике

## Теорема косинусов: все формулы

*Теорема косинусов для каждой стороны, формула угла по трём сторонам и готовые записи для частых углов*

| Что найти | Формула | Когда применять |
| --- | --- | --- |
| Сторона c | $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab cos \gamma$ | γ — угол между сторонами a и b, он лежит против стороны c |
| Сторона a | $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc cos \alpha$ | α — угол между b и c, против стороны a |
| Сторона b | $b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2ac cos \beta$ | β — угол между a и c, против стороны b |
| Третья сторона | $c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2ab cos \gamma}$ | известны две стороны и угол между ними |
| Косинус угла по трём сторонам | $cos \gamma = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2ab}$ | известны три стороны; cos γ < 0 — угол тупой |
| Угол 90° | $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ | cos 90° = 0 — это теорема Пифагора |
| Угол 60° | $c^{2} = a^{2} + b^{2} - ab$ | cos 60° = 1/2 |
| Угол 120° | $c^{2} = a^{2} + b^{2} + ab$ | cos 120° = −1/2: у тупого угла минус меняется на плюс |
| Угол 45° | $c^{2} = a^{2} + b^{2} - \sqrt{2}ab$ | cos 45° = √2/2 |
| Угол 135° | $c^{2} = a^{2} + b^{2} + \sqrt{2}ab$ | cos 135° = −√2/2 |
| Угол 30° | $c^{2} = a^{2} + b^{2} - \sqrt{3}ab$ | cos 30° = √3/2 |
| Угол 150° | $c^{2} = a^{2} + b^{2} + \sqrt{3}ab$ | cos 150° = −√3/2 |
| Медиана к стороне c | $m_{c} = \frac{1}{2}\sqrt{2a^{2} + 2b^{2} - c^{2}}$ | следствие теоремы косинусов для двух половин стороны c |
| Диагонали параллелограмма | $d_{1}^{2} + d_{2}^{2} = 2(a^{2} + b^{2})$ | теорема косинусов для двух треугольников: косинусы соседних углов противоположны |

Значения косинусов других углов — в таблице синусов и косинусов.

## Вид треугольника по сторонам

*Острый, прямой или тупой угол против большей стороны: следствие теоремы косинусов*

| Сравнение сторон | Знак cos γ | Угол γ против стороны c |
| --- | --- | --- |
| $c^{2} < a^{2} + b^{2}$ | cos γ > 0 | острый |
| $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ | cos γ = 0 | прямой |
| $c^{2} > a^{2} + b^{2}$ | cos γ < 0 | тупой |

Проверять достаточно наибольшую сторону: если угол против неё острый, остальные углы тоже острые. Пример: 4, 5, 7 — 49 > 16 + 25, треугольник тупоугольный.

## Теорема синусов и косинусов: какую выбрать

*Решение треугольника: что известно, что найти и какой теоремой пользоваться*

| Что известно | Что найти | Чем пользоваться |
| --- | --- | --- |
| две стороны и угол между ними | третью сторону | теорема косинусов |
| три стороны | любой угол | теорема косинусов, формула для cos |
| сторона и два угла | две другие стороны | сумма углов 180°, затем теорема синусов |
| две стороны и угол против одной из них | третью сторону | теорема косинусов как квадратное уравнение или теорема синусов; решений может быть два |
| сторона и противолежащий угол | радиус описанной окружности | $\text{теорема синусов}: \frac{a}{sin \alpha} = 2R$ |

Теорема синусов со всеми следствиями — на странице теорема синусов.

## Как звучит теорема косинусов?

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Для стороны c и угла γ между сторонами a и b: c^2 = a^2 + b^2 − 2ab cos γ.

Теорема косинусов обобщает теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике cos 90° = 0 и последнее слагаемое исчезает. Для острого угла вычитается положительное число, и сторона против него короче, чем была бы при прямом угле; для тупого — косинус отрицателен, и сторона длиннее.

## Доказательство теоремы косинусов

Поместим вершину C в начало координат, а сторону CA — на ось Ox. Тогда A(b; 0), а точка B, удалённая от C на a под углом γ к оси, имеет координаты (a cos γ; a sin γ).

По формуле расстояния c^2 = AB^2 = (a cos γ − b)^2 + (a sin γ)^2 = a^2 cos^2 γ − 2ab cos γ + b^2 + a^2 sin^2 γ. Так как sin^2 γ + cos^2 γ = 1, получаем c^2 = a^2 + b^2 − 2ab cos γ. Доказательство годится для любого угла γ — острого, прямого и тупого.

## Примеры решения задач по теореме косинусов

Найти сторону. a = 5, b = 8, γ = 60°. c^2 = 25 + 64 − 2 · 5 · 8 · 1/2 = 89 − 40 = 49, c = 7.

Найти угол. Стороны 3, 5 и 7. Наибольший угол — против стороны 7: cos γ = (9 + 25 − 49)/(2 · 3 · 5) = (−15)/30 = −1/2, значит γ = 120°.

Найти медиану. В треугольнике со сторонами a = 6, b = 8, c = 10 медиана к стороне c: m_c = 1/2√(72 + 128 − 100) = 1/2 · 10 = 5 — ровно половина гипотенузы, как и должно быть в прямоугольном треугольнике.

## Где ошибаются чаще всего?

- Берут не тот угол. В формуле для c стоит угол между a и b — он лежит против стороны c.
- Теряют знак у тупого угла: cos 120° = −1/2, и «минус на минус» даёт плюс: c^2 = a^2 + b^2 + ab.
- Забывают извлечь корень: формула даёт c^2, а не c.
- Считают по косинусу угол, не проверив калькулятор: на ЕГЭ его нет, поэтому задачи подобраны под углы 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150° с табличными косинусами.

## Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?

Теорема косинусов нужна в планиметрии обеих частей ЕГЭ: в задании 1 профиля и 12 базы — чтобы найти сторону или угол, в задании 18 профиля — как шаг доказательства и вычисления.

- [Задание 1 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-1/) — Планиметрия: стороны и углы треугольника, параллелограмма, трапеции.
- [Задание 12 базовой математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika-baza/zadanie-12/) — Теоремы о треугольнике: Пифагор, синусы, косинусы, средняя линия.
- [Задание 18 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-18/) — Планиметрия с доказательством: теорема косинусов — частый шаг вычисления.

**Теория по теме:**

- [Фигуры на плоскости](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/figury-na-ploskosti/)

## Вопросы и ответы

### Как найти третью сторону треугольника по двум сторонам и углу?

Если угол лежит между известными сторонами — по теореме косинусов: c = √(a^2 + b^2 − 2ab cos γ). При a = 3, b = 8 и γ = 60° получается √49 = 7.

### Как найти угол треугольника по трём сторонам?

Выразите косинус: cos γ = (a^2 + b^2 − c^2)/(2ab), где c — сторона против искомого угла. Затем угол находят по таблице косинусов: 1/2 — 60°, 0 — 90°, −1/2 — 120°.

### В каком классе проходят теорему косинусов?

В 9 классе геометрии, в теме о соотношениях между сторонами и углами треугольника, вместе с теоремой синусов. На ЕГЭ она нужна уже как готовый инструмент.

### Когда применять теорему косинусов, а когда теорему синусов?

Теорема косинусов связывает три стороны и один угол: её берут, когда известны две стороны и угол между ними или все три стороны. Теорема синусов связывает пары «сторона — противолежащий угол»: её берут, когда известны сторона и два угла или нужен радиус описанной окружности.

## Источники

- [ФИПИ: проект демоверсии, спецификации и кодификатора ЕГЭ 2027 по математике](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/ma_11_2027.zip) — кодификатор, раздел «Геометрия»: треугольник, решение треугольников; справочные материалы демоверсии
- [ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory) — раздел с документами ЕГЭ по всем предметам
- Проверка примеров — все числа в примерах и тренажёре пересчитаны программой: стороны и углы треугольников совпадают с формулами

## Другие справочные таблицы

- [Вписанный угол: теорема и свойства](https://neuromisha.ru/spravochnik/vpisannyy-ugol/)
- [Теорема синусов: формула, следствия и примеры](https://neuromisha.ru/spravochnik/teorema-sinusov/)
- [Площадь треугольника: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/ploshchad-treugolnika/)
- [Площадь трапеции: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/ploshchad-trapecii/)
- [Площадь параллелограмма: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/ploshchad-parallelogramma/)
- [Площадь круга: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/ploshchad-kruga/)
- [Все таблицы по математике](https://neuromisha.ru/spravochnik/#matematika)

---

Источник: https://neuromisha.ru/spravochnik/teorema-kosinusov/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.