--- title: "Теорема о трёх перпендикулярах: формулировка, доказательство" description: "Теорема о трёх перпендикулярах и обратная к ней: формулировка, рисунок, доказательство, наклонные и проекции, расстояния и углы." url: https://neuromisha.ru/spravochnik/teorema-o-treh-perpendikulyarah/ dateModified: 2026-09-29 author: "Редакция НейроМиши" --- # Теорема о трёх перпендикулярах: формулировка и применение Теорема о трёх перпендикулярах: если AO — перпендикуляр к плоскости α, AB — наклонная, OB — её проекция, а прямая a лежит в α и проходит через B, то a ⊥ OB ⇔ a ⊥ AB. Слева направо — прямая теорема, справа налево — обратная. *Поиск по таблице работает на странице (нужен JavaScript).* Теорема о трёх перпендикулярах: прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно её проекции, перпендикулярна и самой наклонной. Верна и обратная теорема: если прямая в плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и её проекции. Три перпендикуляра — это перпендикуляр к плоскости AO, проекция OB ⊥ a и наклонная AB ⊥ a. В таблице — теорема, обратная к ней и следствия для расстояний и углов. **Обновлено:** 2026-09-29 · Математика · школьный курс геометрии 10 класса; кодификатор ЕГЭ 2027 по математике ## Теорема о трёх перпендикулярах и следствия *Теорема о трёх перпендикулярах, обратная теорема, свойства наклонных и проекций* | Утверждение | Запись | Что даёт | | --- | --- | --- | | Теорема о трёх перпендикулярах | $a \perp OB ⇒ a \perp AB$ | a лежит в плоскости α и проходит через основание наклонной B | | Обратная теорема | $a \perp AB ⇒ a \perp OB$ | из перпендикулярности наклонной следует перпендикулярность проекции | | Перпендикуляр и наклонная | $AO < AB$ | перпендикуляр короче любой наклонной из той же точки | | Длина наклонной | $AB^{2} = AO^{2} + OB^{2}$ | треугольник AOB прямоугольный с прямым углом O | | Равные наклонные | $AB = AC ⇔ OB = OC$ | наклонные из одной точки равны, когда равны их проекции | | Большая наклонная | $AB > AC ⇔ OB > OC$ | большей наклонной соответствует большая проекция | | Угол наклонной с плоскостью | $sin ∠ABO = \frac{AO}{AB}$ | угол между наклонной и её проекцией | | Расстояние от точки до прямой в плоскости | $\rho(A; a) = \sqrt{AO^{2} + OB^{2}}, OB \perp a$ | перпендикуляр из A на a попадает в ту же точку B, что и из проекции O | | Линейный угол двугранного угла | $tg ∠ABO = \frac{AO}{OB}$ | AB ⊥ a и OB ⊥ a — значит, ∠ABO — угол между плоскостью ABa и плоскостью α | ## Доказательство теоремы о трёх перпендикулярах Пусть AO ⊥ α, AB — наклонная, прямая a лежит в α, проходит через B и a ⊥ OB. Прямая AO перпендикулярна плоскости α, значит, перпендикулярна любой прямой в ней, в том числе a: AO ⊥ a. Итак, прямая a перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости AOB — прямым OB и AO. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости a ⊥ (AOB), а значит, a перпендикулярна любой прямой этой плоскости, в том числе наклонной AB. Обратная теорема доказывается так же: из a ⊥ AB и a ⊥ AO следует a ⊥ (AOB) и a ⊥ OB. ## Как применять теорему: пример Треугольник ABC прямоугольный, угол C = 90°, AC = 6, BC = 8. Отрезок SA перпендикулярен плоскости ABC, SA = 8. Найдём расстояние от точки S до прямой BC. SC — наклонная, AC — её проекция. Так как AC ⊥ BC, по теореме о трёх перпендикулярах SC ⊥ BC. Значит, расстояние от S до прямой BC — это SC = √(SA^2 + AC^2) = √(64 + 36) = 10. ## Где ошибаются чаще всего? - Применяют теорему к прямой, которая не лежит в плоскости проекции. Прямая a обязана лежать в плоскости α. - Путают, какой отрезок перпендикулярен плоскости: теорема начинается с перпендикуляра AO, без него нет и проекции. - В решении задачи 15 пишут «по теореме о трёх перпендикулярах», не назвав наклонную, проекцию и прямую — за такое обоснование балл могут снять. ## Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ? Теорема о трёх перпендикулярах — главный инструмент обоснования в задании 15 ЕГЭ по профильной математике (стереометрия с доказательством): через неё доказывают перпендикулярность, находят расстояния от точки до прямой и строят линейный угол двугранного угла. - [Задание 15 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-15/) — Стереометрия с доказательством: расстояния и углы в пространстве. - [Задание 3 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-3/) — Стереометрия: элементы многогранников, высоты и апофемы пирамид. **Теория по теме:** - [Прямые и плоскости в пространстве](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/pryamye-i-ploskosti-v-prostranstve/) ## Вопросы и ответы ### Как звучит теорема о трёх перпендикулярах? Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и самой наклонной. ### Почему теорема называется «о трёх перпендикулярах»? В ней участвуют три перпендикулярности: перпендикуляр AO к плоскости, проекция OB ⊥ a и наклонная AB ⊥ a. ### Как звучит обратная теорема о трёх перпендикулярах? Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно самой наклонной, перпендикулярна и её проекции. ### В каком классе проходят теорему о трёх перпендикулярах? В 10 классе, в теме о перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве. На ЕГЭ она нужна в задании 15. ## Источники - [ФИПИ: проект демоверсии, спецификации и кодификатора ЕГЭ 2027 по математике](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/ma_11_2027.zip) — кодификатор, раздел «Прямые и плоскости в пространстве»: перпендикуляр и наклонная, теорема о трёх перпендикулярах - [ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory) — раздел с документами ЕГЭ по всем предметам ## Другие справочные таблицы - [Теорема Виета: формулы и примеры](https://neuromisha.ru/spravochnik/teorema-vieta/) - [Теорема синусов: формула, следствия и примеры](https://neuromisha.ru/spravochnik/teorema-sinusov/) - [Векторы: все формулы в одной таблице](https://neuromisha.ru/spravochnik/vektory-formuly/) - [Теорема Пифагора: формула и пифагоровы тройки](https://neuromisha.ru/spravochnik/teorema-pifagora/) - [Теорема косинусов: формула и как найти сторону или угол](https://neuromisha.ru/spravochnik/teorema-kosinusov/) - [Таблица производных: все формулы с примерами](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-proizvodnyh/) - [Все таблицы по математике](https://neuromisha.ru/spravochnik/#matematika) --- Источник: https://neuromisha.ru/spravochnik/teorema-o-treh-perpendikulyarah/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.