---
title: "Теорема Пифагора: формула, пифагоровы тройки, примеры"
description: "Теорема Пифагора: c² = a² + b², как найти гипотенузу и катет, обратная теорема и таблица пифагоровых троек до 100 с поиском. Примеры и задания ЕГЭ."
url: https://neuromisha.ru/spravochnik/teorema-pifagora/
dateModified: 2026-09-29
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Теорема Пифагора: формула и пифагоровы тройки

Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, c² = a² + b². Отсюда гипотенуза c = √(a² + b²), катет a = √(c² − b²). Например, при катетах 3 и 4 гипотенуза равна 5.

*Поиск по таблице работает на странице (нужен JavaScript).*

Теорема Пифагора связывает стороны прямоугольного треугольника: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В первой таблице — формула и все её следствия: гипотенуза, катет, диагонали, высота, расстояние между точками. Во второй — пифагоровы тройки до 100: по ним сторону часто видно сразу, без извлечения корня.

**Обновлено:** 2026-09-29 · Математика · школьный курс геометрии 8 класса; кодификатор ЕГЭ 2027 по математике

## Формула теоремы Пифагора и её следствия

| Что найти | Формула | Пояснение |
| --- | --- | --- |
| Теорема Пифагора | $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ | a, b — катеты, c — гипотенуза, лежит против прямого угла |
| Гипотенуза | $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ | гипотенуза длиннее каждого катета |
| Катет | $a = \sqrt{c^{2} - b^{2}}$ | из квадрата гипотенузы вычитают квадрат известного катета |
| Обратная теорема | $c^{2} = a^{2} + b^{2} ⇒ ∠C = 90^\circ$ | если квадрат большей стороны равен сумме квадратов двух других, треугольник прямоугольный |
| Равнобедренный прямоугольный треугольник | $c = a\sqrt{2}$ | катеты равны, углы 45° |
| Диагональ квадрата | $d = a\sqrt{2}$ | a — сторона квадрата |
| Диагональ прямоугольника | $d = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ | a и b — стороны прямоугольника |
| Высота равностороннего треугольника | $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ | высота делит сторону пополам: h^2 = a^2 − (a/2)^2 |
| Расстояние между точками | $d = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}$ | разности координат — катеты |
| Диагональ прямоугольного параллелепипеда | $d^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ | теорема Пифагора, применённая дважды |

Теорема верна только для прямоугольного треугольника. Для произвольного треугольника её обобщает теорема косинусов: c^2 = a^2 + b^2 − 2ab cos C, при C = 90° она превращается в теорему Пифагора.

## Пифагоровы тройки: таблица до 100

*Пифагоровы тройки натуральных чисел с гипотенузой до 100: катеты a, b и гипотенуза c*

| Катет a | Катет b | Гипотенуза c | Вид |
| --- | --- | --- | --- |
| 3 | 4 | 5 | основная |
| 6 | 8 | 10 | кратная |
| 5 | 12 | 13 | основная |
| 9 | 12 | 15 | кратная |
| 8 | 15 | 17 | основная |
| 12 | 16 | 20 | кратная |
| 7 | 24 | 25 | основная |
| 15 | 20 | 25 | кратная |
| 10 | 24 | 26 | кратная |
| 20 | 21 | 29 | основная |
| 18 | 24 | 30 | кратная |
| 16 | 30 | 34 | кратная |
| 21 | 28 | 35 | кратная |
| 12 | 35 | 37 | основная |
| 15 | 36 | 39 | кратная |
| 24 | 32 | 40 | кратная |
| 9 | 40 | 41 | основная |
| 27 | 36 | 45 | кратная |
| 14 | 48 | 50 | кратная |
| 30 | 40 | 50 | кратная |
| 24 | 45 | 51 | кратная |
| 20 | 48 | 52 | кратная |
| 28 | 45 | 53 | основная |
| 33 | 44 | 55 | кратная |
| 40 | 42 | 58 | кратная |
| 36 | 48 | 60 | кратная |
| 11 | 60 | 61 | основная |
| 16 | 63 | 65 | основная |
| 25 | 60 | 65 | кратная |
| 33 | 56 | 65 | основная |
| 39 | 52 | 65 | кратная |
| 32 | 60 | 68 | кратная |
| 42 | 56 | 70 | кратная |
| 48 | 55 | 73 | основная |
| 24 | 70 | 74 | кратная |
| 21 | 72 | 75 | кратная |
| 45 | 60 | 75 | кратная |
| 30 | 72 | 78 | кратная |
| 48 | 64 | 80 | кратная |
| 18 | 80 | 82 | кратная |
| 13 | 84 | 85 | основная |
| 36 | 77 | 85 | основная |
| 40 | 75 | 85 | кратная |
| 51 | 68 | 85 | кратная |
| 60 | 63 | 87 | кратная |
| 39 | 80 | 89 | основная |
| 54 | 72 | 90 | кратная |
| 35 | 84 | 91 | кратная |
| 57 | 76 | 95 | кратная |
| 65 | 72 | 97 | основная |
| 28 | 96 | 100 | кратная |
| 60 | 80 | 100 | кратная |

Основная тройка — без общего делителя. Кратные получаются умножением: из 3–4–5 выходят 6–8–10, 9–12–15, 30–40–50. В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются 3–4–5, 5–12–13, 8–15–17 и 7–24–25.

## Как звучит теорема Пифагора?

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Гипотенуза — сторона против прямого угла, самая длинная; катеты — две стороны, образующие прямой угол. Геометрическая формулировка: площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

## Как найти гипотенузу и катет по теореме Пифагора?

Гипотенуза: возведите катеты в квадрат, сложите и извлеките корень. Катеты 9 и 12: 81 + 144 = 225, c = 15. Катет: из квадрата гипотенузы вычтите квадрат известного катета. Гипотенуза 26, катет 10: 676 − 100 = 576, катет равен 24. Квадраты удобно брать из таблицы квадратов.

Прежде чем считать, проверьте, не пифагорова ли это тройка: 26 и 10 — это 13 и 5, умноженные на 2, значит, третья сторона — 12 · 2 = 24.

## Что такое обратная теорема Пифагора?

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других, то треугольник прямоугольный, а прямой угол лежит против большей стороны. Так проверяют, прямоугольный ли треугольник: стороны 7, 24 и 25 дают 49 + 576 = 625 — да. Если квадрат большей стороны больше суммы квадратов двух других, угол против неё тупой, если меньше — треугольник остроугольный.

## Как доказать теорему Пифагора?

Самое наглядное доказательство — через площади. Возьмём квадрат со стороной a + b и расположим внутри четыре равных прямоугольных треугольника с катетами a и b так, чтобы их гипотенузы образовали квадрат со стороной c. Площадь большого квадрата равна (a + b)^2 и одновременно c^2 + 4 · ab/2. Приравняем: a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab, откуда c^2 = a^2 + b^2.

## Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?

Теорема Пифагора нужна почти в каждой задаче по планиметрии: в задании 12 базового уровня — найти сторону, площадь или хорду, в задании 1 профильного — сторону ромба или высоту трапеции. В стереометрии ею ищут диагонали и высоты.

- [Задание 12 ЕГЭ базы: теоремы о треугольнике](https://neuromisha.ru/ege/matematika-baza/zadanie-12/) — Катет по гипотенузе и площадь прямоугольного треугольника, хорда по диаметру.
- [Задание 1 ЕГЭ профиля: планиметрия](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-1/) — Гипотенуза по катетам, сторона ромба по диагоналям, высота равнобедренного треугольника.
- [Задание 3 ЕГЭ профиля: стереометрия](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-3/) — Диагональ прямоугольного параллелепипеда, высота и образующая конуса.

**Теория по теме:**

- [Фигуры на плоскости](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/figury-na-ploskosti/)

## Вопросы и ответы

### Для каких треугольников работает теорема Пифагора?

Только для прямоугольных. Если угол не прямой, пользуйтесь теоремой косинусов: c^2 = a^2 + b^2 − 2ab cos C.

### Что такое пифагоровы тройки?

Три натуральных числа a, b, c, для которых a^2 + b^2 = c^2: 3–4–5, 5–12–13, 8–15–17, 7–24–25, 20–21–29 и другие. Они дают прямоугольные треугольники с целыми сторонами, и задачи ЕГЭ часто на них построены.

### В каком классе проходят теорему Пифагора?

В 8 классе, в курсе геометрии, вместе с понятиями синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника.

### Как найти диагональ квадрата по теореме Пифагора?

Диагональ делит квадрат на два прямоугольных треугольника с катетами a: d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2, значит, d = a√2. У квадрата со стороной 5 диагональ 5√2 ≈ 7,07.

## Источники

- Геометрия. 7–9 классы: учебник Л. С. Атанасяна и др. (М.: Просвещение) — теорема Пифагора, теорема, обратная теореме Пифагора
- [ФИПИ: кодификатор и спецификация ЕГЭ по математике](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory) — планиметрия: треугольник, теорема Пифагора; задание 12 базового и задание 1 профильного уровня

## Другие справочные таблицы

- [Теорема косинусов: формула и как найти сторону или угол](https://neuromisha.ru/spravochnik/teorema-kosinusov/)
- [Теорема синусов: формула, следствия и примеры](https://neuromisha.ru/spravochnik/teorema-sinusov/)
- [Площадь треугольника: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/ploshchad-treugolnika/)
- [Графики функций: виды, рисунки и свойства](https://neuromisha.ru/spravochnik/grafiki-funkciy/)
- [Площадь прямоугольника: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/ploshchad-pryamougolnika/)
- [Площадь квадрата: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/ploshchad-kvadrata/)
- [Все таблицы по математике](https://neuromisha.ru/spravochnik/#matematika)

---

Источник: https://neuromisha.ru/spravochnik/teorema-pifagora/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.