--- title: "Теорема синусов: формула, радиус описанной окружности, примеры" description: "Теорема синусов: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. Сторона, угол и радиус описанной окружности, случай двух решений, доказательство." url: https://neuromisha.ru/spravochnik/teorema-sinusov/ dateModified: 2026-09-29 author: "Редакция НейроМиши" --- # Теорема синусов: формула, следствия и примеры Теорема синусов: a/(sin α) = b/(sin β) = c/(sin γ) = 2R, где R — радиус описанной окружности. Сторона 5 против угла 30° даёт R = 5. *Поиск по таблице работает на странице (нужен JavaScript).* Теорема синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, a/sin α = b/sin β = c/sin γ, и каждое отношение равно диаметру описанной окружности 2R. По ней находят сторону по стороне и двум углам, угол — по двум сторонам и углу против одной из них, а ещё радиус описанной окружности. В таблице — все формулы, во второй — сколько решений у треугольника в спорном случае. **Обновлено:** 2026-09-29 · Математика · школьный курс геометрии 9 класса; кодификатор ЕГЭ 2027 по математике ## Теорема синусов: формулы и следствия *Теорема синусов, её расширенная форма с радиусом описанной окружности и формулы, которые из неё следуют* | Что найти | Формула | Когда применять | | --- | --- | --- | | Теорема синусов | $\frac{a}{sin \alpha} = \frac{b}{sin \beta} = \frac{c}{sin \gamma}$ | α, β, γ — углы против сторон a, b, c | | Расширенная теорема синусов | $\frac{a}{sin \alpha} = 2R$ | каждое отношение равно диаметру описанной окружности | | Сторона по стороне и двум углам | $b = \frac{a sin \beta}{sin \alpha}$ | третий угол находят из суммы углов 180° | | Синус угла по двум сторонам | $sin \beta = \frac{b sin \alpha}{a}$ | известны a, b и угол α против a; угол β может иметь два значения | | Радиус описанной окружности | $R = \frac{a}{2 sin \alpha}$ | нужны одна сторона и противолежащий угол | | Сторона через радиус | $a = 2R sin \alpha$ | то же для хорды: хорда, видная из точки окружности под углом α | | Площадь через радиус | $S = \frac{abc}{4R}$ | подставили sin γ = c/(2R) в S = 1/2ab sin γ | | Площадь через синус | $S = \frac{1}{2}ab sin \gamma$ | две стороны и угол между ними | | Отношение сторон | $a : b : c = sin \alpha : sin \beta : sin \gamma$ | против большей стороны лежит больший угол | Синусы углов 30°, 45°, 60° и других — в таблице синусов и косинусов; теорема для квадратов сторон — теорема косинусов. ## Сколько решений у треугольника по двум сторонам и углу *Известны стороны a и b и угол α против стороны a: сколько существует треугольников* | Условие | Сколько треугольников | Почему | | --- | --- | --- | | a ≥ b | один | против большей стороны — больший угол, поэтому β < α и β острый | | b sin α < a < b | два | sin β < 1 даёт острый угол β и тупой 180° − β, оба подходят | | a = b sin α | один, прямоугольный | sin β = 1, угол β = 90° | | a < b sin α | ни одного | получается sin β > 1 — так не бывает | Таблица — для острого угла α. Если α тупой или прямой, треугольник существует только при a > b, и он единственный. ## Как звучит теорема синусов? Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов: a/(sin α) = b/(sin β) = c/(sin γ). Расширенная формулировка добавляет, чему равно это общее отношение, — диаметру описанной окружности: a/(sin α) = 2R. Удобно помнить пары «сторона — угол напротив». Теорема синусов всегда работает с такими парами: если известна одна полная пара и ещё одна сторона или угол, найдётся всё остальное. ## Доказательство теоремы синусов Опишем около треугольника ABC окружность с центром O и проведём диаметр BD = 2R. Вписанные углы BAC и BDC опираются на одну дугу BC, поэтому при остром угле A они равны: ∠BDC = α. Треугольник BCD прямоугольный: угол BCD опирается на диаметр. Значит, BC = BD sin ∠BDC, то есть a = 2R sin α и a/(sin α) = 2R. Если угол A тупой, ∠BDC = 180° − α, а синус у смежных углов одинаковый — равенство то же. Для двух других сторон рассуждение повторяется. ## Примеры решения задач по теореме синусов Сторона по двум углам. α = 30°, β = 45°, a = 6. Тогда b = (6 sin 45°)/(sin 30°) = (6 · √2/2)/(1/2) = 6√2, угол γ = 180° − 30° − 45° = 105°. Радиус описанной окружности. В треугольнике сторона 10 лежит против угла 150°. R = 10/(2 sin 150°) = 10/(2 · 0,5) = 10. Два решения. a = 3, b = 3√2, α = 30°. sin β = (3√2 · 0,5)/3 = √2/2, поэтому β = 45° или β = 135°. Оба подходят: 30° + 135° < 180°. Это случай b sin α < a < b из второй таблицы. ## Где ошибаются чаще всего? - Берут угол, прилежащий к стороне, а нужен противолежащий. - Путают R и 2R: a/(sin α) даёт диаметр, радиус — вдвое меньше. - Находят угол по синусу и забывают второй вариант 180° − β. Проверьте по второй таблице, возможны ли два треугольника. - Считают, что при sin β = 0,5 угол обязательно 30°. Это может быть и 150°, если сумма углов позволяет. ## Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ? Теорема синусов на ЕГЭ — в планиметрии: найти радиус описанной окружности или сторону по углам в задании 1 профиля и 12 базы, а в задании 18 профиля — как шаг решения. - [Задание 1 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-1/) — Планиметрия: радиус описанной окружности, стороны и углы треугольника. - [Задание 12 базовой математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika-baza/zadanie-12/) — Теоремы о треугольнике: по стороне и углу найти радиус или хорду. - [Задание 18 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-18/) — Планиметрия с доказательством: теорема синусов связывает углы, стороны и окружность. **Теория по теме:** - [Фигуры на плоскости](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/figury-na-ploskosti/) ## Вопросы и ответы ### Как звучит теорема синусов? Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов: a/(sin α) = b/(sin β) = c/(sin γ). Каждое из этих отношений равно диаметру описанной окружности 2R. ### Как найти радиус описанной окружности по теореме синусов? Разделите любую сторону на удвоенный синус противолежащего угла: R = a/(2 sin α). Для стороны 8 против угла 30° получается R = 8/(2 · 0,5) = 8. ### Почему по теореме синусов бывает два треугольника? По синусу угол определяется неоднозначно: sin β = sin(180° − β). Если известны две стороны и угол не между ними, подходят и острый, и тупой угол β — когда сумма углов остаётся меньше 180°. ### Когда нужна теорема синусов, а когда теорема косинусов? Синусов — если в данных есть пара «сторона и противолежащий угол» или нужен радиус описанной окружности. Косинусов — если известны две стороны и угол между ними или все три стороны. ## Источники - [ФИПИ: проект демоверсии, спецификации и кодификатора ЕГЭ 2027 по математике](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/ma_11_2027.zip) — кодификатор, раздел «Геометрия»: треугольник, окружность, описанная около треугольника - [ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory) — раздел с документами ЕГЭ по всем предметам - Проверка примеров — стороны, углы и радиусы из примеров и тренажёра пересчитаны программой по формулам этой страницы ## Другие справочные таблицы - [Теорема косинусов: формула и как найти сторону или угол](https://neuromisha.ru/spravochnik/teorema-kosinusov/) - [Площадь треугольника: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/ploshchad-treugolnika/) - [Площадь трапеции: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/ploshchad-trapecii/) - [Вписанный угол: теорема и свойства](https://neuromisha.ru/spravochnik/vpisannyy-ugol/) - [Площадь параллелограмма: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/ploshchad-parallelogramma/) - [Площадь круга: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/ploshchad-kruga/) - [Все таблицы по математике](https://neuromisha.ru/spravochnik/#matematika) --- Источник: https://neuromisha.ru/spravochnik/teorema-sinusov/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.