---
title: "Теорема Виета: формулы, обратная теорема и примеры"
description: "Теорема Виета для квадратного уравнения: x₁ + x₂ = −p, x₁·x₂ = q. Обратная теорема, общий вид с коэффициентом a, знаки корней и 16 уравнений с корнями."
url: https://neuromisha.ru/spravochnik/teorema-vieta/
dateModified: 2026-09-29
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Теорема Виета: формулы и примеры

Теорема Виета: если x₁ и x₂ — корни уравнения x² + px + q = 0, то x₁ + x₂ = −p, x₁ · x₂ = q. Для ax² + bx + c = 0: x₁ + x₂ = −b/a, x₁ · x₂ = c/a. Например, у x² − 5x + 6 = 0 корни 2 и 3.

*Калькулятор дискриминанта и корней работает на странице (нужен JavaScript).*

Теорема Виета связывает корни квадратного уравнения с его коэффициентами: сумма корней приведённого уравнения равна второму коэффициенту с обратным знаком, произведение — свободному члену. В первой таблице — формулы для приведённого и общего вида и полезные следствия, во второй — уравнения с корнями для проверки, в третьей — знаки корней.

**Обновлено:** 2026-09-29 · Математика · учебник алгебры 8 класса; кодификатор ЕГЭ 2027 по математике

## Формулы теоремы Виета

| Что | Формула | Пояснение |
| --- | --- | --- |
| Сумма корней приведённого уравнения | $x_{1} + x_{2} = -p$ | для x^2 + px + q = 0: второй коэффициент с обратным знаком |
| Произведение корней приведённого уравнения | $x_{1} \cdot x_{2} = q$ | свободный член |
| Сумма корней, общий вид | $x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a}$ | для ax^2 + bx + c = 0, a ≠ 0 |
| Произведение корней, общий вид | $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$ | для ax^2 + bx + c = 0, a ≠ 0 |
| Обратная теорема | $m + n = -p, mn = q ⇒ x^{2} + px + q = (x - m)(x - n)$ | если числа m и n дают такую сумму и произведение, они — корни уравнения |
| Сумма квадратов корней | $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2x_{1}x_{2}$ | без нахождения самих корней |
| Сумма обратных величин | $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1}x_{2}}$ | при q ≠ 0 |
| Квадрат разности корней | $(x_{1} - x_{2})^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 4x_{1}x_{2}$ | для приведённого уравнения равен дискриминанту p^2 − 4q |

Формулы верны, когда корни существуют: дискриминант не отрицателен. У уравнения x^2 + 2x + 5 = 0 «сумма −2 и произведение 5» есть, а действительных корней нет, потому что D = 4 − 20 < 0.

## Примеры: корни квадратных уравнений по теореме Виета

*Приведённые квадратные уравнения, сумма и произведение их корней и сами корни*

| Уравнение | Сумма x_1 + x_2 | Произведение x_1 x_2 | Корни |
| --- | --- | --- | --- |
| $x^{2} - 5x + 6 = 0$ | 5 | 6 | 2 и 3 |
| $x^{2} - 5x + 4 = 0$ | 5 | 4 | 1 и 4 |
| $x^{2} - 7x + 10 = 0$ | 7 | 10 | 2 и 5 |
| $x^{2} - 7x + 12 = 0$ | 7 | 12 | 3 и 4 |
| $x^{2} - 8x + 15 = 0$ | 8 | 15 | 3 и 5 |
| $x^{2} - 10x + 21 = 0$ | 10 | 21 | 3 и 7 |
| $x^{2} + 5x + 6 = 0$ | −5 | 6 | −3 и −2 |
| $x^{2} + 6x + 8 = 0$ | −6 | 8 | −4 и −2 |
| $x^{2} + 9x + 20 = 0$ | −9 | 20 | −5 и −4 |
| $x^{2} + x - 12 = 0$ | −1 | −12 | −4 и 3 |
| $x^{2} - 2x - 15 = 0$ | 2 | −15 | −3 и 5 |
| $x^{2} + 2x - 15 = 0$ | −2 | −15 | −5 и 3 |
| $x^{2} - x - 20 = 0$ | 1 | −20 | −4 и 5 |
| $x^{2} + 2x - 24 = 0$ | −2 | −24 | −6 и 4 |
| $x^{2} + 5x - 14 = 0$ | −5 | −14 | −7 и 2 |
| $x^{2} - 9 = 0$ | 0 | −9 | −3 и 3 |

Подбор начинают с произведения: перебирают пары делителей свободного члена и смотрят, какая даёт нужную сумму. Если свободный член отрицателен, корни разных знаков.

## Знаки корней по коэффициентам p и q

*Знаки корней приведённого квадратного уравнения x² + px + q = 0 при D ≥ 0*

| Коэффициенты | Знаки корней | Пример |
| --- | --- | --- |
| q > 0, p < 0 | оба положительные | $x^{2} - 5x + 6 = 0: \text{корни} 2 \text{и} 3$ |
| q > 0, p > 0 | оба отрицательные | $x^{2} + 5x + 6 = 0: \text{корни} -3 \text{и} -2$ |
| q < 0, p < 0 | разных знаков, положительный больше по модулю | $x^{2} - 2x - 15 = 0: \text{корни} -3 \text{и} 5$ |
| q < 0, p > 0 | разных знаков, отрицательный больше по модулю | $x^{2} + 2x - 15 = 0: \text{корни} -5 \text{и} 3$ |
| q < 0, p = 0 | противоположные числа | $x^{2} - 9 = 0: \text{корни} -3 \text{и} 3$ |
| q = 0 | один корень 0, второй −p | $x^{2} - 4x = 0: \text{корни} 0 \text{и} 4$ |

## Как звучит теорема Виета?

Сумма корней приведённого квадратного уравнения x^2 + px + q = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Приведённое — значит, коэффициент при x^2 равен 1. Если он не равен 1, уравнение делят на a, и получаются формулы x_1 + x_2 = −b/a и x_1 x_2 = c/a.

## Что говорит обратная теорема Виета?

Если числа m и n таковы, что m + n = −p и mn = q, то m и n — корни уравнения x^2 + px + q = 0. На ней держатся и подбор корней, и составление уравнения по корням: для корней 4 и −1 сумма 3, произведение −4, уравнение x^2 − 3x − 4 = 0.

## Как решать квадратное уравнение по теореме Виета?

- Приведите уравнение, если a ≠ 1: 3x^2 − 15x + 18 = 0 делим на 3, получаем x^2 − 5x + 6 = 0.
- Разложите свободный член на пары множителей: 6 = 1 · 6 = 2 · 3, для отрицательного — с разными знаками.
- Выберите пару с суммой −p: 2 + 3 = 5 — корни 2 и 3.
- Не подбирается за полминуты — считайте через дискриминант: корни могут быть дробными или иррациональными.

## Почему теорема Виета верна?

По формуле корней x_1,2 = (−p ± √D)/2, где D = p^2 − 4q. Сложим корни: слагаемые с √D сократятся, останется −2p/2 = −p. Перемножим: по формуле разности квадратов получится (p^2 − D)/4 = (p^2 − p^2 + 4q)/4 = q.

## Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?

Теорема Виета экономит время в задании 17 базового уровня и в задании 7 профильного: большинство квадратных уравнений там решаются подбором. В задачах с параметром (задание 19) по ней оценивают знаки корней, не находя их.

- [Задание 17 ЕГЭ базы: решение уравнений](https://neuromisha.ru/ege/matematika-baza/zadanie-17/) — Квадратное уравнение: в ответ — больший или меньший корень.
- [Задание 7 ЕГЭ профиля: простейшее уравнение](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-7/) — Уравнения, которые сводятся к квадратному.
- [Задание 19 ЕГЭ профиля: задача с параметром](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-19/) — Знаки и расположение корней квадратного трёхчлена.

**Теория по теме:**

- [Целые и дробно-рациональные уравнения/неравенства](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/celye-i-drobno-racionalnye-uravneniya-neravenstv/)
- [Целые и дробно-рациональные уравнения на базовом ЕГЭ](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika-baza/celye-i-drobno-racionalnye-uravneniya/)

## Вопросы и ответы

### Когда можно пользоваться теоремой Виета?

Когда у квадратного уравнения есть действительные корни, то есть D ≥ 0. Для подбора корней удобнее всего приведённое уравнение с целыми коэффициентами; для неприведённого берите формулы с −b/a и c/a.

### Как найти второй корень, если известен первый?

Через сумму или произведение: у x^2 − 11x + 28 = 0 при x_1 = 4 второй корень равен 11 − 4 = 7 или 28 : 4 = 7.

### Работает ли теорема Виета при D = 0?

Да, корень считают дважды: у x^2 − 6x + 9 = 0 корень 3 и 3, сумма 6, произведение 9 — как и требует теорема.

### Кто такой Виет?

Франсуа Виет — французский математик XVI века, один из создателей буквенной алгебры. Связь корней с коэффициентами он описал для уравнений любой степени, в школе её изучают для квадратных.

## Источники

- Алгебра. 8 класс: учебник Ю. Н. Макарычева и др. (М.: Просвещение) — теорема Виета и обратная ей теорема
- [ФИПИ: кодификатор и спецификация ЕГЭ по математике](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory) — квадратные уравнения; задание 17 базового и задание 7 профильного уровня

## Другие справочные таблицы

- [Формула дискриминанта и корней квадратного уравнения](https://neuromisha.ru/spravochnik/formula-diskriminanta/)
- [Теорема синусов: формула, следствия и примеры](https://neuromisha.ru/spravochnik/teorema-sinusov/)
- [Теорема о трёх перпендикулярах: формулировка и применение](https://neuromisha.ru/spravochnik/teorema-o-treh-perpendikulyarah/)
- [Теорема Пифагора: формула и пифагоровы тройки](https://neuromisha.ru/spravochnik/teorema-pifagora/)
- [Теорема косинусов: формула и как найти сторону или угол](https://neuromisha.ru/spravochnik/teorema-kosinusov/)
- [Таблица производных: все формулы с примерами](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-proizvodnyh/)
- [Все таблицы по математике](https://neuromisha.ru/spravochnik/#matematika)

---

Источник: https://neuromisha.ru/spravochnik/teorema-vieta/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.