---
title: "Тригонометрические формулы: таблица и двойной угол"
description: "Тригонометрические формулы с поиском: основные тождества, сложение, двойной и половинный угол, понижение степени, сумма в произведение. С условиями и примерами."
url: https://neuromisha.ru/spravochnik/trigonometricheskie-formuly/
dateModified: 2026-09-29
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Тригонометрические формулы: все в одной таблице

Опорных формул четыре: sin^2 α + cos^2 α = 1, cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β, sin 2α = 2 sin α cos α и cos 2α = cos^2 α − sin^2 α. Остальные выводятся из них — или берутся из таблицы.

*Поиск по таблице работает на странице (нужен JavaScript).*

Формулы разбиты на группы: тождества, сложение, половинный угол, понижение степени, переход от суммы к произведению и обратно. Двойной угол вынесен в отдельную таблицу ниже. Введите в поиск название — «косинус суммы», «понижение» — или функцию, и останутся только нужные строки. В последнем столбце — когда формула верна и откуда она берётся.

**Обновлено:** 2026-09-29 · Математика

## Основные тригонометрические формулы

| Формула | Запись | Когда верна, откуда берётся |
| --- | --- | --- |
| Основное тождество | $sin^{2} \alpha + cos^{2} \alpha = 1$ | при любом α; по синусу находит косинус с точностью до знака |
| Тангенс | $tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}$ | cos α ≠ 0 |
| Котангенс | $ctg \alpha = \frac{cos \alpha}{sin \alpha}$ | sin α ≠ 0 |
| Тангенс и котангенс | $tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1$ | sin α ≠ 0 и cos α ≠ 0 |
| Тангенс через косинус | $1 + tg^{2} \alpha = \frac{1}{cos^{2} \alpha}$ | основное тождество, делённое на cos^2 α |
| Котангенс через синус | $1 + ctg^{2} \alpha = \frac{1}{sin^{2} \alpha}$ | основное тождество, делённое на sin^2 α |
| Синус суммы | $sin(\alpha + \beta) = sin \alpha cos \beta + cos \alpha sin \beta$ | при любых α и β |
| Синус разности | $sin(\alpha - \beta) = sin \alpha cos \beta - cos \alpha sin \beta$ | при любых α и β |
| Косинус суммы | $cos(\alpha + \beta) = cos \alpha cos \beta - sin \alpha sin \beta$ | знак в середине противоположен знаку в скобке |
| Косинус разности | $cos(\alpha - \beta) = cos \alpha cos \beta + sin \alpha sin \beta$ | из неё выводятся остальные формулы сложения |
| Тангенс суммы | $tg(\alpha + \beta) = \frac{tg \alpha + tg \beta}{1 - tg \alpha tg \beta}$ | tg α tg β ≠ 1; тангенсы α, β и α + β существуют |
| Тангенс разности | $tg(\alpha - \beta) = \frac{tg \alpha - tg \beta}{1 + tg \alpha tg \beta}$ | tg α tg β ≠ −1; тангенсы α, β и α − β существуют |
| Понижение степени: синус | $sin^{2} \alpha = \frac{1 - cos 2\alpha}{2}$ | из cos 2α = 1 − 2sin^2 α |
| Понижение степени: косинус | $cos^{2} \alpha = \frac{1 + cos 2\alpha}{2}$ | из cos 2α = 2cos^2 α − 1 |
| Понижение степени: тангенс | $tg^{2} \alpha = \frac{1 - cos 2\alpha}{1 + cos 2\alpha}$ | cos 2α ≠ −1 |
| Синус половинного угла | $sin \frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - cos \alpha}{2}}$ | знак — как у синуса в четверти угла α/2 |
| Косинус половинного угла | $cos \frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + cos \alpha}{2}}$ | знак — как у косинуса в четверти угла α/2 |
| Тангенс половинного угла | $tg \frac{\alpha}{2} = \frac{sin \alpha}{1 + cos \alpha} = \frac{1 - cos \alpha}{sin \alpha}$ | без знака ±: знак даёт сама дробь; первая запись — при cos α ≠ −1, вторая — при sin α ≠ 0 |
| Сумма синусов | $sin \alpha + sin \beta = 2 sin \frac{\alpha + \beta}{2} cos \frac{\alpha - \beta}{2}$ | сумму превращает в произведение — нужно, чтобы приравнять к нулю |
| Разность синусов | $sin \alpha - sin \beta = 2 sin \frac{\alpha - \beta}{2} cos \frac{\alpha + \beta}{2}$ | полуразность — под синусом |
| Сумма косинусов | $cos \alpha + cos \beta = 2 cos \frac{\alpha + \beta}{2} cos \frac{\alpha - \beta}{2}$ | оба множителя — косинусы |
| Разность косинусов | $cos \alpha - cos \beta = -2 sin \frac{\alpha + \beta}{2} sin \frac{\alpha - \beta}{2}$ | минус перед двойкой легко потерять |
| Произведение синусов | $sin \alpha sin \beta = \frac{1}{2}(cos(\alpha - \beta) - cos(\alpha + \beta))$ | произведение превращает в сумму — удобно для интеграла и оценки |
| Произведение косинусов | $cos \alpha cos \beta = \frac{1}{2}(cos(\alpha - \beta) + cos(\alpha + \beta))$ | складывают формулы косинуса суммы и разности |
| Синус на косинус | $sin \alpha cos \beta = \frac{1}{2}(sin(\alpha + \beta) + sin(\alpha - \beta))$ | складывают формулы синуса суммы и разности |

Формулы приведения вида sin(π − α) = sin α собраны на отдельной странице — формулы приведения, а значения углов 30°, 45°, 60° — в таблице синусов и косинусов.

## Формулы двойного угла

| Формула | Запись | Когда верна, откуда берётся |
| --- | --- | --- |
| Синус двойного угла | $sin 2\alpha = 2 sin \alpha cos \alpha$ | синус суммы при β = α |
| Косинус двойного угла | $cos 2\alpha = cos^{2} \alpha - sin^{2} \alpha$ | косинус суммы при β = α |
| Косинус двойного угла через косинус | $cos 2\alpha = 2cos^{2} \alpha - 1$ | sin^2 α заменён на 1 − cos^2 α |
| Косинус двойного угла через синус | $cos 2\alpha = 1 - 2sin^{2} \alpha$ | cos^2 α заменён на 1 − sin^2 α |
| Тангенс двойного угла | $tg 2\alpha = \frac{2 tg \alpha}{1 - tg^{2} \alpha}$ | tg α ≠ ±1; тангенс α существует |
| Котангенс двойного угла | $ctg 2\alpha = \frac{ctg^{2} \alpha - 1}{2 ctg \alpha}$ | sin 2α ≠ 0 |
| Синус двойного угла через тангенс | $sin 2\alpha = \frac{2 tg \alpha}{1 + tg^{2} \alpha}$ | cos α ≠ 0 |
| Косинус двойного угла через тангенс | $cos 2\alpha = \frac{1 - tg^{2} \alpha}{1 + tg^{2} \alpha}$ | cos α ≠ 0 |
| Квадрат суммы синуса и косинуса | $(sin \alpha + cos \alpha)^{2} = 1 + sin 2\alpha$ | раскрыли скобки и применили основное тождество |
| Синус тройного угла | $sin 3\alpha = 3 sin \alpha - 4 sin^{3} \alpha$ | синус суммы 2α + α |
| Косинус тройного угла | $cos 3\alpha = 4 cos^{3} \alpha - 3 cos \alpha$ | косинус суммы 2α + α |

Три записи cos 2α — одна формула. Выбирают ту, после которой в уравнении останется одна функция: если рядом стоит sin x, берут 1 − 2sin^2 x, если cos x — берут 2cos^2 x − 1.

## Какую формулу двойного угла выбрать?

Формулы двойного угла — частный случай формул сложения: в sin(α + β) и cos(α + β) подставляют β = α. Поэтому их не обязательно учить отдельно, но на экзамене готовая запись экономит минуту.

Главное решение — какая из трёх записей cos 2α нужна. В уравнении cos 2x + sin x = 0 заменяем cos 2x = 1 − 2sin^2 x и получаем квадратное уравнение относительно sin x: −2sin^2 x + sin x + 1 = 0, откуда sin x = 1 или sin x = −1/2. Если бы рядом стоял cos x, взяли бы 2cos^2 x − 1.

Формулы понижения степени — те же равенства, прочитанные справа налево: из cos 2α = 1 − 2sin^2 α сразу получается sin^2 α = (1 − cos 2α)/2. Их применяют, когда квадрат мешает, например в интеграле от sin^2 x.

## Как пользоваться формулами на примере?

Найдём sin 2α, если sin α = 3/5 и α лежит во II четверти. По основному тождеству cos^2 α = 1 − 9/25 = 16/25. Во II четверти косинус отрицателен, значит cos α = −4/5. Тогда sin 2α = 2 · 3/5 · (−4/5) = −24/25 = −0,96.

Косинус 15° — через разность: cos 15° = cos(45° − 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° = √2/2 · √3/2 + √2/2 · 1/2 = (√6 + √2)/4 ≈ 0,9659.

## Где ошибаются чаще всего?

- Считают, что sin 2α = 2 sin α. Проверка на α = 30°: sin 60° ≈ 0,87, а 2 sin 30° = 1.
- Путают знак в косинусе суммы: cos(α + β) = cos α cos β минус sin α sin β.
- Ставят ± в формуле половинного угла и не выбирают знак. Знак определяет четверть угла α/2, а не угла α.
- Делят обе части уравнения на sin x или cos x и теряют корни, где они равны нулю. Надёжнее вынести общий множитель за скобки.

## Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?

Тригонометрические формулы нужны в двух местах экзамена: в вычислениях первой части и в уравнении второй, где формула двойного угла сводит всё к одной функции.

- [Задание 8 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-8/) — Значение выражения: основное тождество, двойной угол, формулы сложения.
- [Задание 14 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-14/) — Тригонометрическое уравнение: формула двойного угла сводит его к квадратному.
- [Задание 16 базовой математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika-baza/zadanie-16/) — Вычисление выражения с тригонометрическими функциями стандартных углов.

**Теория по теме:**

- [Тригонометрические уравнения/неравенства](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/trigonometricheskie-uravneniya-neravenstva/)
- [Синус, косинус, тангенс числового аргумента](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/sinus-kosinus-tangens-chislovogo-argumenta/)
- [Преобразование выражений](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/preobrazovanie-vyrazheniy/)
- [Тригонометрические функции](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/trigonometricheskie-funkcii/)

## Вопросы и ответы

### Какие тригонометрические формулы нужно знать наизусть?

Основное тождество sin^2 α + cos^2 α = 1, определения тангенса и котангенса, формулы сложения и двойного угла. Понижение степени и половинный угол выводятся из косинуса двойного угла за одну строку.

### Чему равен синус двойного угла?

sin 2α = 2 sin α cos α. Например, если sin α = 0,6, а cos α = 0,8, то sin 2α = 2 · 0,6 · 0,8 = 0,96.

### Сколько формул у косинуса двойного угла?

Одна, но в трёх записях: cos^2 α − sin^2 α, 2cos^2 α − 1 и 1 − 2sin^2 α. Вторая и третья получаются из первой заменой по основному тождеству.

### Даются ли тригонометрические формулы на ЕГЭ?

Частично. В справочных материалах профильной демоверсии ЕГЭ 2027 четыре формулы: синус и косинус двойного угла, синус и косинус суммы. В базовой — основное тождество, определения через прямоугольный треугольник и значения для стандартных углов. Остальные формулы нужно помнить или выводить.

## Источники

- [ФИПИ: проект демоверсии, спецификации и кодификатора ЕГЭ 2027 по математике](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/ma_11_2027.zip) — кодификатор, разделы 1.5 «Синус, косинус и тангенс числового аргумента», 1.8 «Преобразование выражений», 2.3 «Тригонометрические уравнения»; справочные материалы демоверсий профильного и базового уровней
- [ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory) — раздел с документами ЕГЭ по всем предметам
- Проверка формул — каждая формула из обеих таблиц сверена программой: левая и правая части вычислены для сотни случайных пар углов и совпали

## Другие справочные таблицы

- [Формулы приведения: полная таблица](https://neuromisha.ru/spravochnik/formuly-privedeniya/)
- [Формулы понижения степени: таблица с выводом](https://neuromisha.ru/spravochnik/formuly-ponizheniya-stepeni/)
- [Таблица синусов и косинусов](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-sinusov-i-kosinusov/)
- [Таблица тангенсов и котангенсов](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-tangensov/)
- [Тригонометрический круг со всеми значениями](https://neuromisha.ru/spravochnik/trigonometricheskiy-krug/)
- [Признаки равенства треугольников: таблица](https://neuromisha.ru/spravochnik/priznaki-ravenstva-treugolnikov/)
- [Все таблицы по математике](https://neuromisha.ru/spravochnik/#matematika)

---

Источник: https://neuromisha.ru/spravochnik/trigonometricheskie-formuly/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.