---
title: "Тригонометрические уравнения: формулы решений и таблица"
description: "Тригонометрические уравнения: формулы корней sin x = a, cos x = a, tg x = a, частные случаи, готовые ответы и отбор корней."
url: https://neuromisha.ru/spravochnik/trigonometricheskie-uravneniya/
dateModified: 2026-09-29
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Тригонометрические уравнения: формулы корней и готовые ответы

Формулы корней простейших тригонометрических уравнений: sin x = a ⇒ x = (−1)^n arcsin a + πn; cos x = a ⇒ x = ±arccos a + 2πn; tg x = a ⇒ x = arctg a + πn, n ∈ ℤ. При |a| > 1 уравнения sin x = a и cos x = a корней не имеют.

*Поиск по таблице работает на странице (нужен JavaScript).*

Любое тригонометрическое уравнение сводится к простейшим: sin x = a, cos x = a, tg x = a. Их корни: x = (−1)ⁿ arcsin a + πn, x = ±arccos a + 2πn, x = arctg a + πn, где n — целое; для синуса и косинуса нужно |a| ≤ 1. Ниже — частные случаи, готовые ответы и приёмы.

**Обновлено:** 2026-09-29 · Математика · школьный курс алгебры и начал анализа 10 класса; кодификатор ЕГЭ 2027 по математике

## Формулы корней тригонометрических уравнений

| Уравнение | Корни | Условие |
| --- | --- | --- |
| sin x = a | $x = (-1)^{n} arcsin a + \pi n$ | \|a\| ≤ 1; то же: x = arcsin a + 2πn и x = π − arcsin a + 2πn |
| sin x = 0 | $x = \pi n$ | частный случай |
| sin x = 1 | $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ | частный случай |
| sin x = −1 | $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$ | частный случай |
| cos x = a | $x = \pm arccos a + 2\pi n$ | \|a\| ≤ 1 |
| cos x = 0 | $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ | частный случай |
| cos x = 1 | $x = 2\pi n$ | частный случай |
| cos x = −1 | $x = \pi + 2\pi n$ | частный случай |
| tg x = a | $x = arctg a + \pi n$ | любое a |
| tg x = 0 | $x = \pi n$ | частный случай |
| ctg x = a | $x = arcctg a + \pi n$ | любое a |
| ctg x = 0 | $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ | частный случай |
| sin x = a или cos x = a, \|a\| > 1 | $\text{корней нет}$ | синус и косинус лежат от −1 до 1 |

Везде n — любое целое число, n ∈ ℤ. Значения arcsin, arccos и arctg — на странице обратные тригонометрические функции.

## Готовые ответы для табличных значений

*Корни уравнений sin x = a, cos x = a и tg x = a для табличных значений a*

| Уравнение | Корни одной формулой | Две серии |
| --- | --- | --- |
| $sin x = \frac{1}{2}$ | $x = (-1)^{n} \frac{\pi}{6} + \pi n$ | $\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$ |
| $sin x = -\frac{1}{2}$ | $x = (-1)^{n + 1} \frac{\pi}{6} + \pi n$ | $-\frac{\pi}{6} + 2\pi n; -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$ |
| $sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ | $x = (-1)^{n} \frac{\pi}{4} + \pi n$ | $\frac{\pi}{4} + 2\pi n; \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$ |
| $sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ | $x = (-1)^{n} \frac{\pi}{3} + \pi n$ | $\frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$ |
| $cos x = \frac{1}{2}$ | $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ | $\frac{\pi}{3} + 2\pi n; -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$ |
| $cos x = -\frac{1}{2}$ | $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$ | $\frac{2\pi}{3} + 2\pi n; -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$ |
| $cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ | $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$ | $\frac{\pi}{4} + 2\pi n; -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$ |
| $cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$ | $\frac{3\pi}{4} + 2\pi n; -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n$ |
| $cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ | $x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ | $\frac{\pi}{6} + 2\pi n; -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ |
| tg x = 1 | $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$ | — |
| tg x = −1 | $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$ | — |
| $tg x = \sqrt{3}$ | $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$ | — |
| $tg x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ | $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$ | — |

Запись двумя сериями удобнее для отбора корней на отрезке: каждую серию перебирают по n отдельно.

## Типы тригонометрических уравнений и как их решать

*Как свести тригонометрическое уравнение к простейшему: типы и приёмы*

| Тип | Пример | Что делать |
| --- | --- | --- |
| квадратное относительно функции | $2sin^{2} x - sin x - 1 = 0$ | $\text{замена} t = sin x, \|t\| \leq 1: t = 1 \text{или} t = -\frac{1}{2}$ |
| сводится к одной функции | $2cos^{2} x + sin x - 1 = 0$ | $cos^{2} x = 1 - sin^{2} x, \text{дальше как квадратное}$ |
| однородное первой степени | $sin x - \sqrt{3} cos x = 0$ | $\text{разделить на} cos x \neq 0: tg x = \sqrt{3}$ |
| однородное второй степени | $sin^{2} x - 3 sin x cos x + 2cos^{2} x = 0$ | $\text{разделить на} cos^{2} x: tg^{2} x - 3 tg x + 2 = 0$ |
| разложение на множители | sin 2x = cos x | 2 sin x cos x − cos x = 0, cos x(2 sin x − 1) = 0 |
| с двойным углом | cos 2x + sin x = 0 | $cos 2x = 1 - 2sin^{2} x — \text{квадратное относительно} sin x$ |
| с вспомогательным углом | sin x + cos x = 1 | $\sqrt{2} sin(x + \frac{\pi}{4}) = 1$ |

Делить обе части на функцию можно, только если она не равна нулю при корнях уравнения. В однородном уравнении cos x = 0 не даёт корней — проверьте подстановкой. Формулы двойного угла и понижения степени — в тригонометрических формулах.

## Как отобрать корни на отрезке?

Решим 2sin^2 x − sin x − 1 = 0 и найдём корни на отрезке [π; 5π/2]. Замена t = sin x даёт 2t^2 − t − 1 = 0, t = 1 или t = −1/2. Серии: x = π/2 + 2πn, x = −π/6 + 2πn, x = −5π/6 + 2πn.

Перебираем n в каждой серии. Из первой на отрезок попадает π/2 + 2π = 5π/2 (правый конец). Из второй — −π/6 + 2π = 11π/6. Из третьей — −5π/6 + 2π = 7π/6. Ответ: 7π/6, 11π/6, 5π/2. Отбор удобно проверять по тригонометрическому кругу.

## Где ошибаются чаще всего?

- Пишут у тангенса период 2πn. Тангенс и котангенс повторяются через π.
- Теряют вторую серию у синуса: sin x = 1/2 — это не только π/6, но и 5π/6.
- Делят на sin x или cos x и теряют корни, где они равны нулю.
- Оставляют после замены t = sin x корень t = 2 — такое уравнение корней не имеет.

## Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?

Тригонометрические уравнения на ЕГЭ 2027 по профильной математике — в задании 7 (простейшее уравнение) и в задании 14 (уравнение с развёрнутым решением и отбором корней на отрезке). На базе — простейшее уравнение в задании 17.

- [Задание 14 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-14/) — Уравнение: решить и отобрать корни на отрезке, с обоснованием.
- [Задание 7 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-7/) — Простейшее уравнение, в том числе тригонометрическое.
- [Задание 17 базовой математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika-baza/zadanie-17/) — Решение уравнений: sin(πx/6) = 1/2 и подобные.

**Теория по теме:**

- [Тригонометрические уравнения/неравенства](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/trigonometricheskie-uravneniya-neravenstva/)

## Вопросы и ответы

### Как решать тригонометрические уравнения?

Свести к простейшему sin x = a, cos x = a или tg x = a — заменой, формулами двойного угла, разложением на множители — и записать корни по формулам из первой таблицы.

### Что значит n ∈ ℤ в ответе?

n — любое целое число: …, −2, −1, 0, 1, 2, … Каждое значение n даёт свой корень, поэтому корней бесконечно много.

### Почему у косинуса ±, а у синуса (−1)^{n}?

Косинус чётный: cos(−x) = cos x, поэтому корни симметричны относительно нуля. Синус равен одному и тому же значению в точках x и π − x, и множитель (−1)^n чередует эти две серии в одной формуле.

### Можно ли записывать ответ двумя сериями?

Да, это равносильная запись: sin x = 1/2 ⇔ x = π/6 + 2πn или x = 5π/6 + 2πn. Для отбора корней на отрезке она даже удобнее.

## Источники

- [ФИПИ: проект демоверсии, спецификации и кодификатора ЕГЭ 2027 по математике](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/ma_11_2027.zip) — кодификатор, разделы «Простейшие тригонометрические уравнения» и «Тригонометрические уравнения»
- [ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory) — раздел с документами ЕГЭ по всем предметам
- Проверка ответов — каждая серия корней из таблиц подставлена программой в своё уравнение при n от −3 до 3

## Другие справочные таблицы

- [Тригонометрические формулы: все в одной таблице](https://neuromisha.ru/spravochnik/trigonometricheskie-formuly/)
- [Таблица квадратов от 1 до 100](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-kvadratov/)
- [Формула дискриминанта и корней квадратного уравнения](https://neuromisha.ru/spravochnik/formula-diskriminanta/)
- [Формулы приведения: полная таблица](https://neuromisha.ru/spravochnik/formuly-privedeniya/)
- [Тригонометрический круг со всеми значениями](https://neuromisha.ru/spravochnik/trigonometricheskiy-krug/)
- [Обратные тригонометрические функции: arcsin, arccos, arctg, arcctg](https://neuromisha.ru/spravochnik/obratnye-trigonometricheskie-funkcii/)
- [Все таблицы по математике](https://neuromisha.ru/spravochnik/#matematika)

---

Источник: https://neuromisha.ru/spravochnik/trigonometricheskie-uravneniya/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.