---
title: "Уравнение касательной к графику функции: формула и примеры"
description: "Уравнение касательной y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀): алгоритм, угловой коэффициент, параллельная и горизонтальная касательная, примеры."
url: https://neuromisha.ru/spravochnik/uravnenie-kasatelnoy/
dateModified: 2026-09-29
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Уравнение касательной к графику функции: формула и алгоритм

Уравнение касательной: y = f(x_0) + f′(x_0)(x − x_0). Нужно найти значение функции f(x_0) и производной f′(x_0) в точке касания и подставить. Для y = x^2 в точке x_0 = 3: f(3) = 9, f′(3) = 6, касательная y = 9 + 6(x − 3) = 6x − 9.

*Поиск по таблице работает на странице (нужен JavaScript).*

Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке x₀: y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀). Угловой коэффициент касательной равен производной в точке касания: k = f′(x₀) = tg α. В первой таблице — формула и все её следствия (параллельная, горизонтальная, перпендикулярная касательная), во второй — готовые касательные к графикам основных функций.

**Обновлено:** 2026-09-29 · Математика · школьный курс алгебры и начал анализа 10–11 классов; кодификатор ЕГЭ 2027 по математике

## Уравнение касательной: формулы

*Уравнение касательной к графику функции, геометрический смысл производной и частные случаи*

| Что нужно | Формула | Пояснение |
| --- | --- | --- |
| Уравнение касательной | $y = f(x_{0}) + f′(x_{0})(x - x_{0})$ | x_0 — абсцисса точки касания |
| Угловой коэффициент | $k = f′(x_{0}) = tg \alpha$ | α — угол касательной с положительным направлением оси Ox |
| Касательная параллельна прямой y = kx + b | $f′(x_{0}) = k$ | у параллельных прямых одинаковые угловые коэффициенты |
| Горизонтальная касательная | $f′(x_{0}) = 0$ | касательная параллельна оси Ox — в вершинах и точках экстремума |
| Касательная перпендикулярна прямой y = kx + b | $f′(x_{0}) = -\frac{1}{k}$ | k ≠ 0: произведение угловых коэффициентов равно −1 |
| Угол наклона 45° или 135° | $f′(x_{0}) = 1 \text{или} f′(x_{0}) = -1$ | tg 45° = 1, tg 135° = −1 |
| Касание прямой y = kx + b и графика | $f(x_{0}) = kx_{0} + b, f′(x_{0}) = k$ | общая точка и одинаковый наклон — два уравнения на x_0 и неизвестный коэффициент |
| Производная по касательной на рисунке | $f′(x_{0}) = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ | две точки касательной с целыми координатами; убывающая прямая — производная отрицательна |

## Готовые касательные к графикам основных функций

*Уравнения касательных к графикам основных функций в удобных точках*

| Функция и точка | f(x₀) и f′(x₀) | Касательная |
| --- | --- | --- |
| $y = x^{2}, x_{0} = 3$ | 9 и 6 | y = 6x − 9 |
| $y = x^{3} - 2x, x_{0} = 1$ | −1 и 1 | y = x − 2 |
| $y = \frac{1}{x}, x_{0} = 1$ | 1 и −1 | y = −x + 2 |
| $y = \sqrt{x}, x_{0} = 4$ | $2 \text{и} \frac{1}{4}$ | $y = \frac{x}{4} + 1$ |
| $y = e^{x}, x_{0} = 0$ | 1 и 1 | y = x + 1 |
| $y = ln x, x_{0} = 1$ | 0 и 1 | y = x − 1 |
| $y = sin x, x_{0} = 0$ | 0 и 1 | y = x |
| $y = cos x, x_{0} = \frac{\pi}{2}$ | 0 и −1 | $y = -x + \frac{\pi}{2}$ |

Касательные y = x + 1 к e^x и y = x − 1 к ln x лежат под и над графиками: отсюда полезные оценки e^x ≥ x + 1 и ln x ≤ x − 1.

## Как составить уравнение касательной: алгоритм

- Найдите значение функции в точке касания f(x_0).
- Найдите производную f′(x) и её значение f′(x_0) — это угловой коэффициент.
- Подставьте оба числа в y = f(x_0) + f′(x_0)(x − x_0) и раскройте скобки.
- Проверьте: при x = x_0 касательная даёт y = f(x_0) — она проходит через точку касания.

## Пример: касательная к кубической функции

f(x) = x^3 − 3x^2 + 2, x_0 = 1. Значение f(1) = 1 − 3 + 2 = 0. Производная f′(x) = 3x^2 − 6x, f′(1) = 3 − 6 = −3. Уравнение: y = 0 − 3(x − 1) = −3x + 3.

Касательная к этой же функции, параллельная оси Ox: f′(x_0) = 3x_0^2 − 6x_0 = 0, x_0 = 0 или x_0 = 2. Получаем две горизонтальные касательные: y = f(0) = 2 и y = f(2) = −2.

## Где ошибаются чаще всего?

- Подставляют x_0 в производную до того, как её нашли: сначала f′(x), потом f′(x_0).
- Путают f(x_0) и f′(x_0) в формуле: значение функции стоит отдельно, производная — множителем при (x − x_0).
- Забывают минус у убывающей касательной, когда считают её наклон по клеткам.
- Ищут касательную «в точке y = 5»: x_0 — это всегда абсцисса.

## Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?

Касательная на ЕГЭ 2027 по профильной математике — задание 9: найти производную по касательной на рисунке, найти абсциссу точки касания или коэффициент прямой, касающейся графика.

- [Задание 9 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-9/) — Производная по графику: касательная, её угловой коэффициент и точка касания.
- [Задание 17 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-17/) — Модель реальной ситуации: производная как скорость изменения.

**Теория по теме:**

- [Производная](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/proizvodnaya/)
- [Применение производной к исследованию функций](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/primenenie-proizvodnoy-k-issledovaniyu-funkciy/)

## Вопросы и ответы

### Какой геометрический смысл производной?

Производная в точке x_0 равна угловому коэффициенту касательной к графику в этой точке: f′(x_0) = k = tg α, где α — угол наклона касательной к оси Ox.

### Как найти точку касания, если известен угловой коэффициент?

Решите уравнение f′(x_0) = k. Для y = x^2 и касательной, параллельной y = 4x − 7, получаем 2x_0 = 4, x_0 = 2.

### Когда касательная горизонтальна?

Когда производная в точке касания равна нулю. Так бывает в точках максимума и минимума, а ещё в точках перегиба вроде x = 0 у y = x^3.

### Может ли касательная пересекать график?

Да. Касательная — не «прямая с одной общей точкой»: у y = x^3 касательная в точке x_0 = 1, прямая y = 3x − 2, пересекает график ещё и в точке x = −2.

## Источники

- [ФИПИ: проект демоверсии, спецификации и кодификатора ЕГЭ 2027 по математике](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/ma_11_2027.zip) — кодификатор, раздел «Производная»: геометрический смысл производной, уравнение касательной к графику функции
- [ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory) — раздел с документами ЕГЭ по всем предметам
- Проверка примеров — каждая касательная из таблиц пересчитана программой: совпадают значение и наклон в точке касания

## Другие справочные таблицы

- [Таблица производных: все формулы с примерами](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-proizvodnyh/)
- [Правила дифференцирования: таблица и производная сложной функции](https://neuromisha.ru/spravochnik/pravila-differencirovaniya/)
- [Таблица интегралов и первообразных](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-integralov/)
- [Графики функций: виды, рисунки и свойства](https://neuromisha.ru/spravochnik/grafiki-funkciy/)
- [Формула дискриминанта и корней квадратного уравнения](https://neuromisha.ru/spravochnik/formula-diskriminanta/)
- [Таблица тангенсов и котангенсов](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-tangensov/)
- [Все таблицы по математике](https://neuromisha.ru/spravochnik/#matematika)

---

Источник: https://neuromisha.ru/spravochnik/uravnenie-kasatelnoy/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.