---
title: "Уравнение окружности: формула, центр и радиус, примеры"
description: "Уравнение окружности (x − a)² + (y − b)² = R²: центр и радиус, общий вид и выделение полного квадрата, касательная, примеры."
url: https://neuromisha.ru/spravochnik/uravnenie-okruzhnosti/
dateModified: 2026-09-29
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Уравнение окружности: формула и как найти центр и радиус

Уравнение окружности: (x − a)^2 + (y − b)^2 = R^2, где (a; b) — центр, R — радиус. Например, (x − 2)^2 + (y + 3)^2 = 16 — окружность с центром (2; −3) и радиусом 4; x^2 + y^2 = 25 — с центром в начале координат и радиусом 5.

*Поиск по таблице работает на странице (нужен JavaScript).*

Уравнение окружности с центром в точке (a; b) и радиусом R: (x − a)² + (y − b)² = R². Если центр в начале координат, оно короче: x² + y² = R². В первой таблице — все формы уравнения и как по ним найти центр и радиус, во второй — готовые примеры, в том числе уравнения, где сначала нужно выделить полный квадрат.

**Обновлено:** 2026-09-29 · Математика · школьный курс геометрии 9 класса (метод координат); кодификатор ЕГЭ 2027 по математике

## Уравнение окружности: все формы

*Уравнение окружности в разных формах: с центром в произвольной точке и в начале координат, общий вид, по центру и точке, касательная*

| Что дано | Уравнение | Центр и радиус |
| --- | --- | --- |
| Центр (a; b), радиус R | $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$ | каноническое уравнение: центр (a; b), радиус R |
| Центр в начале координат | $x^{2} + y^{2} = R^{2}$ | центр (0; 0); единичная окружность: x^2 + y^2 = 1 |
| Общий вид | $x^{2} + y^{2} + Dx + Ey + F = 0$ | центр (−D/2; −E/2), R^2 = (D^2 + E^2)/4 − F; окружность, если R^2 > 0 |
| Центр и точка на окружности | $R^{2} = (x_{0} - a)^{2} + (y_{0} - b)^{2}$ | радиус — расстояние от центра до точки (x_0; y_0) |
| Концы диаметра | $a = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}, b = \frac{y_{1} + y_{2}}{2}$ | центр — середина диаметра, R — половина его длины |
| Касательная в точке (x_0; y_0) | $(x_{0} - a)(x - a) + (y_{0} - b)(y - b) = R^{2}$ | точка (x_0; y_0) лежит на окружности |
| Параметрическое уравнение | $x = a + R cos t, y = b + R sin t$ | t — угол поворота от горизонтали |
| Точка внутри или снаружи | $(x_{0} - a)^{2} + (y_{0} - b)^{2} < R^{2}$ | < — точка внутри, = — на окружности, > — снаружи |

Уравнение с y, выраженным через x, — y = b ± √(R^2 − (x − a)^2) — задаёт только верхнюю или нижнюю полуокружность: сама окружность не график функции.

## Примеры: уравнение окружности, центр и радиус

*Готовые примеры уравнений окружности с найденными центром и радиусом*

| Уравнение | После выделения квадратов | Центр | Радиус |
| --- | --- | --- | --- |
| $x^{2} + y^{2} = 25$ | — | (0; 0) | 5 |
| $(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 16$ | — | (2; −3) | 4 |
| $(x + 1)^{2} + y^{2} = 7$ | — | (−1; 0) | $\sqrt{7}$ |
| $x^{2} + y^{2} - 6y = 0$ | $x^{2} + (y - 3)^{2} = 9$ | (0; 3) | 3 |
| $x^{2} + y^{2} - 4x + 6y - 12 = 0$ | $(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 25$ | (2; −3) | 5 |
| $x^{2} + y^{2} + 2x - 8y + 8 = 0$ | $(x + 1)^{2} + (y - 4)^{2} = 9$ | (−1; 4) | 3 |
| $x^{2} + y^{2} + 4x + 5 = 0$ | $(x + 2)^{2} + y^{2} = -1$ | — | не окружность |

## Откуда берётся уравнение окружности?

Окружность — все точки плоскости на расстоянии R от центра. Расстояние от точки (x; y) до центра (a; b) по формуле расстояния равно √((x − a)^2 + (y − b)^2). Приравниваем его к R и возводим в квадрат — получаем уравнение (x − a)^2 + (y − b)^2 = R^2.

Поэтому знаки в скобках противоположны координатам центра: у окружности с центром (−3; 5) в уравнении стоят (x + 3) и (y − 5).

## Как найти центр и радиус по уравнению общего вида?

Сгруппируйте слагаемые с x и с y и дополните каждую группу до полного квадрата. Пример: x^2 + y^2 − 4x + 6y − 12 = 0. x^2 − 4x = (x − 2)^2 − 4, y^2 + 6y = (y + 3)^2 − 9. Получаем (x − 2)^2 + (y + 3)^2 − 4 − 9 − 12 = 0, то есть (x − 2)^2 + (y + 3)^2 = 25: центр (2; −3), радиус 5.

Если справа получился ноль, уравнение задаёт одну точку — центр; если отрицательное число — ни одной точки.

## Как составить уравнение окружности?

- По центру и радиусу — подставить в (x − a)^2 + (y − b)^2 = R^2. Центр (1; −2), R = 3: (x − 1)^2 + (y + 2)^2 = 9.
- По центру и точке — радиус найти как расстояние: центр (1; 2), точка (4; 6), R^2 = 9 + 16 = 25.
- По концам диаметра (−1; 1) и (5; 9) — центр в середине (2; 5), R^2 = (5 − 2)^2 + (9 − 5)^2 = 25: (x − 2)^2 + (y − 5)^2 = 25.

## Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ?

Отдельного задания на уравнение окружности в ЕГЭ 2027 нет, но оно постоянно нужно в задаче с параметром: уравнение вида (x − a)^2 + (y − b)^2 = R^2 сразу рисуют окружностью и решают графически.

- [Задание 19 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-19/) — Задача с параметром: окружности и прямые в графическом методе.
- [Задание 2 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-2/) — Векторы и координаты: расстояние между точками — основа уравнения окружности.

**Теория по теме:**

- [Координаты и векторы](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/koordinaty-i-vektory/)

## Вопросы и ответы

### Как записать уравнение окружности с центром в начале координат?

x^2 + y^2 = R^2. Окружность радиуса 3 с центром в точке (0; 0): x^2 + y^2 = 9.

### Как найти радиус окружности по уравнению?

Приведите уравнение к виду (x − a)^2 + (y − b)^2 = R^2 и извлеките корень из правой части. В x^2 + y^2 = 20 радиус равен √20 = 2√5.

### Почему в уравнении окружности минус, если центр положительный?

Потому что в скобках стоит разность координат точки и центра: x − a. Для центра (3; 4) это (x − 3) и (y − 4).

### Является ли окружность графиком функции?

Нет: вертикальная прямая пересекает окружность в двух точках, а у функции каждому x соответствует одно y. Графиками функций будут верхняя и нижняя полуокружности.

## Источники

- [ФИПИ: проект демоверсии, спецификации и кодификатора ЕГЭ 2027 по математике](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/ma_11_2027.zip) — кодификатор, раздел «Геометрия»: координаты на плоскости, окружность
- [ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory) — раздел с документами ЕГЭ по всем предметам
- Проверка примеров — центры и радиусы всех уравнений пересчитаны программой обратной подстановкой

## Другие справочные таблицы

- [Признаки делимости: таблица с примерами](https://neuromisha.ru/spravochnik/priznaki-delimosti/)
- [Векторы: все формулы в одной таблице](https://neuromisha.ru/spravochnik/vektory-formuly/)
- [Таблица простых чисел до 1000](https://neuromisha.ru/spravochnik/prostye-chisla/)
- [Формула дискриминанта и корней квадратного уравнения](https://neuromisha.ru/spravochnik/formula-diskriminanta/)
- [Теорема косинусов: формула и как найти сторону или угол](https://neuromisha.ru/spravochnik/teorema-kosinusov/)
- [Тригонометрические уравнения: формулы корней и готовые ответы](https://neuromisha.ru/spravochnik/trigonometricheskie-uravneniya/)
- [Все таблицы по математике](https://neuromisha.ru/spravochnik/#matematika)

---

Источник: https://neuromisha.ru/spravochnik/uravnenie-okruzhnosti/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.