--- title: "Формулы векторов: координаты, длина, скалярное произведение" description: "Формулы векторов на плоскости и в пространстве: координаты по точкам, длина, сумма, скалярное произведение, угол между векторами, условия перпендикулярности." url: https://neuromisha.ru/spravochnik/vektory-formuly/ dateModified: 2026-09-22 author: "Редакция НейроМиши" --- # Векторы: все формулы в одной таблице Вектор задают координатами — разностью координат конца и начала: для точек A(x_1; y_1) и B(x_2; y_2) вектор AB = (x_2 − x_1; y_2 − y_1). Его длина — корень из суммы квадратов координат. Скалярное произведение считают двумя способами: через координаты и через длины и угол. Все формулы собраны в таблице с поиском. **Обновлено:** 2026-09-22 · Математика ## Формулы векторов на плоскости | Что находим | Формула | Пояснение | | --- | --- | --- | | Координаты вектора по точкам | $\vec{AB} = (x_{2} - x_{1}; y_{2} - y_{1})$ | из координат конца вычитают координаты начала | | Длина (модуль) вектора | $\|\vec{a}\| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ | для вектора a(x; y) | | Расстояние между точками | $AB = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}$ | длина вектора AB | | Сумма векторов | $\vec{a} + \vec{b} = (x_{1} + x_{2}; y_{1} + y_{2})$ | координаты складываются | | Разность векторов | $\vec{a} - \vec{b} = (x_{1} - x_{2}; y_{1} - y_{2})$ | координаты вычитаются | | Умножение на число | $k\cdot \vec{a} = (kx; ky)$ | при k < 0 направление меняется на противоположное | | Скалярное произведение через координаты | $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}$ | результат — число, а не вектор | | Скалярное произведение через угол | $\vec{a} \cdot \vec{b} = \|\vec{a}\| \cdot \|\vec{b}\| \cdot cos \varphi$ | φ — угол между векторами | | Угол между векторами | $cos \varphi = \frac{x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}}{\|\vec{a}\| \cdot \|\vec{b}\|}$ | из двух формул скалярного произведения | | Перпендикулярность | $\vec{a} \perp \vec{b} ⇔ x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2} = 0$ | скалярное произведение равно нулю | | Коллинеарность | $\frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{y_{1}}{y_{2}}$ | координаты пропорциональны; если x_2 или y_2 равен 0, проверяют x_1 y_2 − x_2 y_1 = 0 | | Середина отрезка | $M(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}; \frac{y_{1} + y_{2}}{2})$ | полусумма координат концов | | Скалярный квадрат | $\vec{a} \cdot \vec{a} = \|\vec{a}\|^{2}$ | квадрат длины вектора | ## Векторы в пространстве | Что находим | Формула | Пояснение | | --- | --- | --- | | Координаты вектора | $\vec{AB} = (x_{2} - x_{1}; y_{2} - y_{1}; z_{2} - z_{1})$ | добавляется координата z | | Длина вектора | $\|\vec{a}\| = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$ | для a(x; y; z) | | Скалярное произведение | $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2} + z_{1}z_{2}$ | перпендикулярны, если сумма равна нулю | | Угол между векторами | $cos \varphi = \frac{x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2} + z_{1}z_{2}}{\|\vec{a}\| \cdot \|\vec{b}\|}$ | так же находят угол между прямыми — по направляющим векторам, беря модуль числителя | ## Пример: угол между векторами Даны векторы a(3; 4) и b(4; −3). Скалярное произведение 3 · 4 + 4 · (−3) = 0 — значит, векторы перпендикулярны, угол между ними 90°. Длины одинаковые: √(9 + 16) = 5. Для a(1; 1) и b(1; 0): произведение 1 · 1 + 1 · 0 = 1, длины √2 и 1, cos φ = 1/(√2) = √2/2, значит φ = 45°. Значения косинусов стандартных углов — в таблице синусов и косинусов. ## Где ошибаются - Вычитают координаты в обратном порядке: вектор AB — это «конец минус начало», B − A. - Путают две формулы скалярного произведения и подставляют длины туда, где нужны координаты. - Считают скалярное произведение вектором. Это число: оно может быть и отрицательным, если угол тупой. - Снимая координаты с клетчатой сетки, забывают про направление: вектор влево и вниз имеет отрицательные координаты. ## Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ Векторам на ЕГЭ по профильной математике отведено отдельное задание в первой части, а координатный метод помогает и в стереометрии. - [Задание 2 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-2/) — Координаты, сумма и разность, длина, скалярное произведение и угол между векторами. - [Задание 15 профильной математики](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-15/) — Стереометрия: координатный метод — углы и расстояния через векторы. **Теория по теме:** - [Координаты и векторы](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/koordinaty-i-vektory/) - [Прямые и плоскости в пространстве](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/pryamye-i-ploskosti-v-prostranstve/) ## Вопросы и ответы ### Как найти длину вектора по координатам? Извлеките корень из суммы квадратов координат: для a(6; 8) длина √(36 + 64) = √100 = 10. В пространстве под корень добавляется квадрат третьей координаты. ### Как найти скалярное произведение векторов? Через координаты — сумма произведений соответствующих координат: x_1 x_2 + y_1 y_2. Через длины и угол — |a| · |b| · cos φ. Выбирают ту формулу, для которой в условии есть данные. ### Когда векторы перпендикулярны? Когда их скалярное произведение равно нулю. Например, a(2; 3) и b(3; −2): 2 · 3 + 3 · (−2) = 0, значит, векторы перпендикулярны. ### Как понять, что векторы коллинеарны? Их координаты пропорциональны: a(2; 4) и b(3; 6) коллинеарны, потому что 2/3 = 4/6. Если какая-то координата равна нулю, надёжнее проверить равенство x_1 y_2 − x_2 y_1 = 0. ## Источники - [ФИПИ: демоверсии, спецификации, кодификаторы](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory) — кодификатор и спецификация ЕГЭ по математике: векторы, координаты, скалярное произведение ## Другие справочные таблицы - [Таблица квадратов натуральных чисел от 0 до 99](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-kvadratov/) - [Таблица степеней чисел от 1 до 10](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-stepeney/) - [Свойства корней: формулы и таблица](https://neuromisha.ru/spravochnik/svoystva-korney/) - [Таблица синусов, косинусов и тангенсов](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-sinusov-i-kosinusov/) - [Простые числа до 1000: таблица и проверка](https://neuromisha.ru/spravochnik/prostye-chisla/) - [Таблица Менделеева с атомными массами](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-mendeleeva/) - [Молярная масса вещества: калькулятор и таблица](https://neuromisha.ru/spravochnik/molyarnaya-massa/) - [Количество вещества: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/kolichestvo-veshchestva/) - [Закон Ома: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/zakon-oma/) - [Электроотрицательность элементов: таблица и ряд](https://neuromisha.ru/spravochnik/elektrootricatelnost/) - [Таблица производных и правила дифференцирования](https://neuromisha.ru/materialy/tablica-proizvodnyh/) - [Свойства логарифмов: формулы и примеры для ЕГЭ](https://neuromisha.ru/materialy/svoystva-logarifmov/) - [Формулы сокращённого умножения: все семь с примерами](https://neuromisha.ru/materialy/formuly-sokrashchennogo-umnozheniya/) --- Источник: https://neuromisha.ru/spravochnik/vektory-formuly/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.