--- title: "Вписанный угол: теорема, свойства и таблица формул" description: "Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается. Свойства вписанных углов и вписанного четырёхугольника, углы между хордами, касательной и секущими." url: https://neuromisha.ru/spravochnik/vpisannyy-ugol/ dateModified: 2026-09-29 author: "Редакция НейроМиши" --- # Вписанный угол: теорема и свойства Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, и половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Вписанные углы на одну дугу равны, угол, опирающийся на диаметр, прямой, а противоположные углы вписанного четырёхугольника в сумме дают 180°. *Поиск по таблице работает на странице (нужен JavaScript).* Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают её. Он равен половине дуги, на которую опирается, и вдвое меньше центрального угла на той же дуге. В первой таблице — теорема и все следствия с поиском, во второй — углы между хордами, касательными и секущими, в третьей — готовые пары «дуга — угол». **Обновлено:** 2026-09-29 · Математика · учебник геометрии 7–9 классов; кодификатор ЕГЭ 2027 по математике ## Вписанный угол: теорема и свойства | Свойство | Формула | Что значит | | --- | --- | --- | | Теорема о вписанном угле | $∠ABC = \frac{1}{2}∪AC$ | вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается | | Вписанный и центральный угол | $∠ABC = \frac{1}{2}∠AOC$ | если оба опираются на одну дугу AC; O — центр окружности | | Вписанные углы на одну дугу | $∠ABC = ∠ADC$ | B и D лежат по одну сторону от хорды AC | | Угол, опирающийся на диаметр | $∠ACB = 90^\circ$ | AB — диаметр: угол опирается на полуокружность | | Углы по разные стороны от хорды | $∠ABC + ∠ADC = 180^\circ$ | B и D лежат по разные стороны от хорды AC | | Вписанный четырёхугольник | $∠A + ∠C = ∠B + ∠D = 180^\circ$ | и обратно: если сумма противоположных углов 180°, около четырёхугольника можно описать окружность | | Хорда и вписанный угол | $AC = 2R sin ∠ABC$ | следствие теоремы синусов, R — радиус окружности | Дугу обозначают знаком ∪ и измеряют в градусах: вся окружность — 360°, дуга равна центральному углу, который на неё опирается. ## Углы, связанные с окружностью: хорды, касательные, секущие | Угол | Формула | Где вершина | | --- | --- | --- | | Центральный угол | $∠AOB = ∪AB$ | в центре окружности | | Между касательной и хордой | $∠ = \frac{1}{2}∪$ | в точке касания; берут дугу, лежащую внутри угла | | Между пересекающимися хордами | $∠AEB = \frac{∪AB + ∪CD}{2}$ | внутри окружности, в точке пересечения хорд AC и BD | | Между двумя секущими | $∠ = \frac{∪\text{большая} - ∪\text{меньшая}}{2}$ | вне окружности; дуги между сторонами угла | | Между касательной и секущей | $∠ = \frac{∪\text{большая} - ∪\text{меньшая}}{2}$ | вне окружности | | Между двумя касательными | $∠ = 180^\circ - ∪\text{меньшая}$ | вне окружности; ∪меньшая — дуга между точками касания | ## Дуга, центральный и вписанный угол: таблица значений *Градусная мера дуги, центрального угла и вписанного угла, опирающихся на неё* | Дуга, ° | Центральный угол, ° | Вписанный угол, ° | | --- | --- | --- | | 30 | 30 | 15 | | 40 | 40 | 20 | | 60 | 60 | 30 | | 72 | 72 | 36 | | 90 | 90 | 45 | | 100 | 100 | 50 | | 120 | 120 | 60 | | 140 | 140 | 70 | | 150 | 150 | 75 | | 180 | 180 | 90 | | 200 | — | 100 | | 240 | — | 120 | | 270 | — | 135 | | 300 | — | 150 | Центральный угол меньше 180°, поэтому для дуг больше полуокружности его не пишут; вписанный угол, опирающийся на такую дугу, тупой. ## Что такое вписанный угол? Угол называется вписанным, если его вершина лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. Вписанный угол ABC опирается на дугу AC — ту, что лежит внутри угла, не содержащую точку B. Центральный угол AOC с вершиной в центре окружности опирается на ту же дугу и равен ей по градусной мере. ## Как найти вписанный угол? - Найдите дугу, на которую опирается угол: она лежит внутри угла, между точками пересечения сторон с окружностью. - Разделите дугу пополам — это и есть вписанный угол. Если известен центральный угол на ту же дугу, делите пополам его. - Не видно дуги — поищите другой вписанный угол на ту же дугу: они равны. - Сторона угла проходит через концы диаметра — угол прямой, и треугольник можно решать по теореме Пифагора. ## Почему вписанный угол равен половине дуги? Рассмотрим случай, когда сторона BC вписанного угла ABC проходит через центр O. Треугольник AOB равнобедренный (OA = OB = R), его углы при основании равны: ∠OAB = ∠OBA. Центральный угол AOC — внешний угол этого треугольника, поэтому он равен сумме двух его равных углов, то есть 2∠ABC. Значит, ∠ABC = ½∠AOC = ½∪AC. Остальные случаи сводятся к этому проведением диаметра через вершину B. ## Как это спрашивают на ЕГЭ и ОГЭ? Вписанные и центральные углы — одна из частых тем задания 1 ЕГЭ профильного уровня: найти угол вписанного четырёхугольника, угол по дуге или хорде. В задании 18 они нужны для доказательства, что точки лежат на одной окружности. - [Задание 1 ЕГЭ профиля: планиметрия](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-1/) — Угол вписанного четырёхугольника, вписанный угол по центральному. - [Задание 18 ЕГЭ профиля: планиметрия с доказательством](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-18/) — Вписанные углы и вписанный четырёхугольник в доказательстве. - [Задание 12 ЕГЭ базы: теоремы о треугольнике](https://neuromisha.ru/ege/matematika-baza/zadanie-12/) — Хорда по диаметру: угол, опирающийся на диаметр, прямой. **Теория по теме:** - [Фигуры на плоскости](https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/figury-na-ploskosti/) ## Вопросы и ответы ### Чем вписанный угол отличается от центрального? Вершина центрального угла — в центре окружности, вершина вписанного — на самой окружности. Если они опираются на одну дугу, вписанный вдвое меньше центрального. ### Чему равен вписанный угол, опирающийся на диаметр? 90°. Диаметр делит окружность на две полуокружности по 180°, а вписанный угол равен половине дуги. Поэтому треугольник, одна сторона которого — диаметр описанной окружности, прямоугольный. ### Может ли вписанный угол быть тупым? Да, если он опирается на дугу больше 180°. Например, угол, опирающийся на дугу 260°, равен 130°. Во вписанном четырёхугольнике тупой угол всегда стоит напротив острого. ### Какое свойство у углов вписанного четырёхугольника? Сумма противоположных углов равна 180°: ∠A + ∠C = ∠B + ∠D = 180°. Поэтому около прямоугольника и равнобедренной трапеции окружность описать можно, а около ромба с острым углом — нельзя. ## Источники - Геометрия. 7–9 классы: учебник Л. С. Атанасяна и др. (М.: Просвещение) — центральные и вписанные углы, теорема о вписанном угле, вписанный четырёхугольник - [ФИПИ: кодификатор и спецификация ЕГЭ по математике](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory) — окружность, центральный и вписанный угол; задания 1 и 18 профильного уровня ## Другие справочные таблицы - [Теорема косинусов: формула и как найти сторону или угол](https://neuromisha.ru/spravochnik/teorema-kosinusov/) - [Теорема синусов: формула, следствия и примеры](https://neuromisha.ru/spravochnik/teorema-sinusov/) - [Площадь треугольника: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/ploshchad-treugolnika/) - [Площадь трапеции: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/ploshchad-trapecii/) - [Площадь параллелограмма: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/ploshchad-parallelogramma/) - [Площадь круга: формулы и калькулятор](https://neuromisha.ru/spravochnik/ploshchad-kruga/) - [Все таблицы по математике](https://neuromisha.ru/spravochnik/#matematika) --- Источник: https://neuromisha.ru/spravochnik/vpisannyy-ugol/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.