---
title: "Механические колебания и волны ЕГЭ: формулы и разбор заданий"
description: "Колебание — это движение, которое повторяется: тело раз за разом проходит через положение равновесия и отклоняется от него в обе стороны. ЕГЭ, задание 4."
url: https://neuromisha.ru/teoriya/fizika/mehanicheskie-kolebaniya-i-volny/
subject: "Физика"
exam: "ЕГЭ 2027"
kim: "Задание 4 КИМ (1 балл) — пополам со «Статикой»; также в 5, 6, 18, 22, 26"
dateModified: 2026-10-18
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Механические колебания и волны

Колебание — это движение, которое повторяется: тело раз за разом проходит через положение равновесия и отклоняется от него в обе стороны. На ЕГЭ тема нужна в задании 4 (1 балл, пополам со статикой: периоды маятников, длина волны, звук), а также в заданиях 5, 6, 18 и 22.

Колебания — движение, которое повторяется: маятник, груз на пружине, воздух в звуковой волне. На ЕГЭ тема держит половину задания 4 — вторую половину занимает статика. Ещё она даёт якоря в заданиях 5, 6 и 18 и выходит в 22 и 26. Главная ловушка — корень: вчетверо большая масса даёт вдвое больший период, а не вчетверо.

**Задание КИМ:** Задание 4 КИМ (1 балл) — пополам со «Статикой»; также в 5, 6, 18, 22, 26  
**Баллы:** Макс. 1 балл  
**Обновлено:** 2026-10-18

## Что такое колебания и какими величинами их описывают?

Колебание — движение, которое повторяется. Груз на пружине уходит вниз, возвращается, проскакивает вверх, снова возвращается — и так по кругу. У всех колебаний есть общее устройство: тело раз за разом проходит через **положение равновесия** (то, где оно осталось бы стоять, если бы его туда аккуратно поставили) и отклоняется от него в обе стороны.

Величин здесь всего четыре, и они связаны намертво.

**Амплитуда** $A$ — максимальное отклонение от положения равновесия. Именно от равновесия, а не от края до края: размах колебаний равен $2A$, и это разные числа.

**Период** $T$ — время одного **полного** колебания, в секундах. Полное — значит туда и обратно, до возвращения в исходное состояние. Дойти до края и остановиться — это половина колебания, а не целое.

**Частота** $\nu$ — сколько колебаний укладывается в секунду, в герцах. **Циклическая частота** $\omega$ — рабочая величина в рад/с, через которую записаны все формулы скорости и ускорения.

$$
T = \dfrac{t}{N}, \qquad \nu = \dfrac{1}{T}, \qquad \omega = 2\pi\nu = \dfrac{2\pi}{T}
$$

Первая формула — это способ достать период из условия, где его прямо не дали: «за $t$ секунд тело совершило $N$ колебаний» значит $T = t/N$. Запоминать $\omega$ отдельно не нужно — её всегда получают из $T$ или $\nu$ по последней формуле.

*Рисунок: Амплитуда отсчитывается от положения равновесия, период — расстояние между двумя соседними максимумами*

## Гармонический закон и что из него сразу следует

**Гармонические колебания** — те, у которых смещение меняется по синусу или косинусу. Какую из двух функций писать, зависит только от того, в какой момент включили секундомер: если отсчёт начали из крайней точки — косинус, если из положения равновесия — синус. Физика одна и та же.

$$
x = A \cos(\omega t + \varphi_0)
$$

Здесь $x$ — смещение от положения равновесия в данный момент, $\varphi_0$ — начальная фаза: она просто показывает, в какой точке колебания тело было в момент $t = 0$, то есть куда попал ноль секундомера. На расчёты задания 4 она обычно не влияет — амплитуду, период и максимальные скорости из закона читаются и без неё. Если в задании дали готовый закон вроде $x = 0{,}05\cos(10t)$, то читать его надо прямо: перед косинусом стоит амплитуда, а множитель при $t$ внутри скобки — это и есть $\omega$.

Из этого закона следуют два факта, которые и спрашивают на экзамене:

$$
v_{max} = A\omega, \qquad a_{max} = A\omega^2
$$

И ещё один, который объясняет, **где** эти максимумы:

$$
a = -\omega^2 x
$$

Ускорение пропорционально смещению и всегда направлено против него — то есть **к положению равновесия**. Отсюда картинка, которую стоит держать в голове целиком. В **положении равновесия** смещение равно нулю: ускорение тоже ноль, зато скорость максимальна — тело проскакивает середину на полном ходу. В **крайних точках** смещение максимально: ускорение максимально, а скорость равна нулю — тело на мгновение замирает перед разворотом.

Скорость и ускорение как будто меняются местами: где одно максимально, другое обращается в ноль. Это готовый ответ примерно на любой вопрос задания 6 про колебания — там как раз спрашивают, что растёт, а что падает при движении от равновесия к краю.

## Чем отличаются формулы периода математического и пружинного маятника?

**Математический маятник** — модель: точечный груз на невесомой нерастяжимой нити. При **малых** отклонениях его период равен

$$
T = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}
$$

Посмотри, чего в этой формуле **нет**: массы и амплитуды. Тяжёлый шарик и лёгкий на нити одной длины качаются в одном темпе. Отклонили сильнее (но всё ещё немного) — период тот же. Период задают только длина нити и то, на какой планете ты находишься.

**Пружинный маятник** — груз массой $m$ на пружине жёсткостью $k$ (в Н/м):

$$
T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}
$$

А здесь нет $g$ и снова нет амплитуды. Важное следствие: груз, висящий на пружине вертикально, колеблется с тем же периодом, что и лежащий на гладком столе. Сила тяжести не меняет темп — она лишь сдвигает положение равновесия вниз, туда, где $kx_0 = mg$. Если отсчитывать смещение от этого нового равновесия, возвращающая сила снова равна $-kx$, а значит, и формула та же. Поэтому в условиях «груз подвешен на пружине» никакой поправки на $g$ искать не нужно.

**Как не перепутать формулы.** Проверка размерности здесь не спасает: и $L/g$, и $m/k$ дают секунды в квадрате — обе формулы «сходятся». Держись смысла: математический маятник — это **нить и Земля** (длина и $g$), пружинный — это **груз и пружина** (масса и жёсткость). Массы в первой формуле нет вообще, $g$ во второй нет вообще.

Циклическую частоту при этом не нужно запоминать отдельной строкой — она получается из периода по формуле $\omega = 2\pi/T$:

$$
\omega = \sqrt{\dfrac{g}{L}} \quad \text{и} \quad \omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}
$$

**И главное про обе формулы сразу.** Они устроены одинаково: период равен $2\pi$ на корень из отношения. Корень — это то, ради чего задание 4 вообще существует. Чтобы период вырос **вдвое**, длину нити или массу груза надо увеличить **вчетверо**. Увеличили массу в 4 раза — период вырос в $\sqrt{4} = 2$ раза, а не в 4. Если спрашивают «во сколько раз», не считай два периода по отдельности — сразу пиши отношение:

$$
\dfrac{T_2}{T_1} = \sqrt{\dfrac{m_2}{m_1}} \qquad \text{или} \qquad \dfrac{T_2}{T_1} = \sqrt{\dfrac{L_2}{L_1}}
$$

*Рисунок: У математического маятника период задают длина нити и g, у пружинного — масса груза и жёсткость пружины*

![Миша измеряет период маятника; рядом показана бегущая волна с амплитудой и длиной волны](https://neuromisha.ru/content/theory/fizika/img/mehanicheskie-kolebaniya-i-volny-1.png)

*Маятник повторяет движение через период, а волна переносит это колебание в пространстве; амплитуда и длина волны отмечены стрелками.*

## Энергия: почему тело вообще возвращается

Пока тело колеблется, энергия непрерывно перетекает из одной формы в другую и обратно. У пружинного маятника это потенциальная энергия деформированной пружины и кинетическая энергия груза. У математического — потенциальная энергия тяжести (груз в крайней точке поднят выше) и та же кинетическая.

Перетекание идёт в такт с тем, что мы уже знаем про скорость. В **крайних точках** скорость равна нулю, значит $E_k = 0$ — вся энергия потенциальная. В **положении равновесия** деформации (или подъёма) нет, зато скорость максимальна — вся энергия кинетическая. Между ними — смесь.

Если трением и сопротивлением воздуха пренебрегаем, полная механическая энергия колебаний **сохраняется**. Для пружинного маятника её можно записать двумя способами, и они дают одно и то же число:

$$
E = \dfrac{k A^2}{2} = \dfrac{m v_{max}^2}{2}
$$

Равенство проверяется в одну строчку: подставь $v_{max} = A\omega = A\sqrt{k/m}$ в правую часть — масса сократится, и останется $kA^2/2$. Обрати внимание на квадрат амплитуды: увеличили размах колебаний вдвое — энергия выросла вчетверо, хотя период не изменился совсем.

Эта связка и кормит вторую часть. В заданиях 22 и 26 колебания почти никогда не спрашивают отдельной формулой: их сцепляют либо с законом сохранения энергии (найти скорость), либо со вторым законом Ньютона (найти силу или ускорение), а период идёт отдельным пунктом в конце.

## Что такое механическая волна?

Если тело, которое колеблется, связано с соседями — с соседними участками воды, воздуха, шнура, — оно раскачивает их, они раскачивают своих соседей, и колебание уходит вдаль. Это **волна**.

Ключевую вещь тут понимают не сразу: **вещество вместе с волной не едет**. Поплавок на пруду не уносит к другому берегу — он качается вверх-вниз на месте, пока волна проходит сквозь него. Передаётся не вода, а колебание и энергия.

Волны бывают двух видов. В **поперечной** частицы среды колеблются поперёк направления бега волны — так выглядит волна на поверхности воды или по натянутому шнуру. В **продольной** частицы колеблются вдоль направления бега, среда попеременно сгущается и разрежается. Звук в воздухе — как раз продольная волна.

**Длина волны** $\lambda$ — расстояние между двумя соседними одинаковыми точками волны: например, между соседними гребнями. Смысл её такой: за одно колебание источника, то есть ровно за период, волна успевает пробежать одну длину волны. Отсюда и формула:

$$
\lambda = v T = \dfrac{v}{\nu}
$$

Три величины, любые две дают третью — это и есть весь расчёт волновой половины задания 4.

**Считалка гребней.** Когда в условии сказано «расстояние между первым и пятым гребнями», рука тянется поделить на 5. Промежутков между пятью гребнями — четыре, а не пять: длин волн укладывается на одну меньше, чем гребней. Нарисуй пять точек на бумаге и посчитай зазоры между ними — это надёжнее, чем вспоминать правило.

**Что меняется при переходе в другую среду.** Частоту задаёт источник: он раскачивает среду в своём темпе, и на границе колебания передаются дальше с тем же темпом. Поэтому при переходе, скажем, из воздуха в воду **частота не меняется**. А вот скорость меняется — она у каждой среды своя. Раз $\lambda = v/\nu$, а $\nu$ та же, то вместе со скоростью меняется и длина волны.

*Рисунок: Длина волны — расстояние между соседними гребнями; за один период волна пробегает ровно λ*

## Звук

Звук — механическая волна, и на экзамене он держится на нескольких фактах. Их немного, но спрашивают именно их.

**Звук в воздухе — продольная волна.** Источник (струна, мембрана динамика, голосовые связки) толкает воздух, тот попеременно сгущается и разрежается вдоль направления бега волны. Никакого «поперёк» здесь нет.

**Звуку обязательно нужна среда.** В вакууме звука не существует: там нечему передавать колебания от частицы к частице. Это едва ли не самое частое утверждение-ловушка в заданиях 5 и 18 — в кино корабли взрываются с грохотом, в реальном космосе это невозможно.

**Скорость звука зависит от среды.** В воздухе она составляет примерно 340 м/с, в воде — около 1500 м/с, то есть в жидкости звук идёт заметно быстрее. Значение 340 м/с почти всегда даётся прямо в условии; выучивать его не обязательно, но узнавать полезно.

**Высота и громкость — разные вещи.** Высота тона определяется **частотой**: чем чаще колебания, тем звук выше. Громкость определяется **амплитудой**: чем сильнее размах колебаний, тем звук громче. Скорость волны не отвечает ни за то, ни за другое — утверждение «громкость зависит от длины волны» ложно.

На задании 4 звук почти всегда сводится к одной формуле: $\lambda = v/\nu$ при $v \approx 340$ м/с. Спрашивают либо длину волны по частоте, либо частоту по длине волны — задача на одно деление.

## Формулы темы в одной таблице

*Колебания, два маятника, энергия и волны*

| Формула | Что обозначают буквы | Единицы и смысл |
| --- | --- | --- |
| $T = \dfrac{t}{N}, \quad \nu = \dfrac{1}{T}, \quad \omega = \dfrac{2\pi}{T}$ | t — время, N — число колебаний за это время | T в секундах, ν в герцах, ω в рад/с |
| $x = A \cos(\omega t + \varphi_0)$ | x — смещение, A — амплитуда, φ₀ — начальная фаза | Гармонический закон; размах колебаний равен 2A |
| $v_{max} = A\omega, \quad a_{max} = A\omega^2, \quad a = -\omega^2 x$ | ω — циклическая частота | В равновесии скорость максимальна, в крайних точках — ускорение |
| $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}$ | L — длина нити, g — ускорение свободного падения | Математический маятник: от массы и амплитуды не зависит |
| $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$ | m — масса груза, k — жёсткость пружины в Н/м | Пружинный маятник: от g не зависит; масса вчетверо — период вдвое |
| $E = \dfrac{k A^2}{2} = \dfrac{m v_{max}^2}{2}$ | Полная механическая энергия пружинного маятника | Амплитуда вдвое больше — энергия вчетверо, период прежний |
| $\lambda = v T = \dfrac{v}{\nu}$ | λ — длина волны, v — скорость волны | Звук в воздухе ≈ 340 м/с, в воде ≈ 1500 м/с; частота при переходе в другую среду не меняется |

## Разбор: груз на пружине

**Условие.** Груз на лёгкой пружине жёсткостью 320 Н/м совершает свободные вертикальные колебания. За 10 с он делает 20 полных колебаний, амплитуда колебаний равна 4 см. Найди период и частоту колебаний, массу груза и максимальную скорость груза. Прими π² = 10; ответ для скорости вырази через π. Сопротивлением воздуха пренебреги.

**Решение.**

- **Период и частота.** Период — время одного полного колебания, поэтому просто делим время на число колебаний: $T = t/N = 10/20 = 0{,}5$ с. Частота обратна периоду: $\nu = 1/T = 2$ Гц.
- **Масса.** Она сидит внутри формулы пружинного маятника — надо её оттуда достать. Сначала в буквах: возводим формулу в квадрат и выражаем $m$.
- $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}} \;\Rightarrow\; T^2 = \dfrac{4\pi^2 m}{k} \;\Rightarrow\; m = \dfrac{k T^2}{4\pi^2}$
- Теперь числа. Здесь и пригождается подарок из условия $\pi^2 = 10$: в знаменателе стоит именно $\pi^2$, и всё сокращается нацело.
- $m = \dfrac{320 \cdot 0{,}5^2}{4 \cdot 10} = \dfrac{320 \cdot 0{,}25}{40} = \dfrac{80}{40} = 2\ \text{кг}$
- То, что груз висит вертикально, на период не повлияло: сила тяжести лишь сдвинула положение равновесия вниз, а темп колебаний задают только масса и жёсткость.
- **Максимальная скорость.** Она достигается в положении равновесия и равна $v_{max} = A\omega$. Сначала $\omega$, потом подстановка. И не забудь перевести амплитуду: 4 см = 0,04 м.
- $\omega = 2\pi\nu = 2\pi \cdot 2 = 4\pi\ \text{рад/с}$
- $v_{max} = A\omega = 0{,}04 \cdot 4\pi = 0{,}16\pi\ \text{м/с} \approx 0{,}5\ \text{м/с}$
- **Проверка.** Циклическую частоту можно получить вторым путём — прямо из массы и жёсткости: $\omega = \sqrt{k/m} = \sqrt{320/2} = \sqrt{160}$ ≈ 12,6 рад/с. А наши $4\pi$ при $\pi^2 = 10$ дают $\sqrt{16\pi^2} = \sqrt{160}$. Сошлось — значит, масса найдена верно.
- **Про формат ответа.** Если в бланк просят «числовой множитель перед π», туда идёт **0,16**, а не 0,5. Если просят число — тогда 0,5. Одна и та же скорость, два разных бланка: читай, в каком виде ждут ответ.

**Ответ:** T = 0,5 с; ν = 2 Гц; m = 2 кг; v_max = 0,16π м/с ≈ 0,5 м/с.

## Как решать задачи на колебания и волны?

1. **Опознай, что перед тобой.** Нить, пружина, груз — это маятник, работаем с периодом. Гребни, звук, «распространяется со скоростью» — это волна, работаем с $\lambda = v/\nu$. Третьего в этой теме нет.
2. **Достань период, если его не дали прямо.** «$N$ колебаний за $t$ секунд» — это $T = t/N$. Дан закон $x = A\cos(\omega t)$ — $\omega$ читается прямо из скобки, а $T = 2\pi/\omega$.
3. **Выбери формулу маятника по тому, что дано.** Есть длина нити — математический, $T = 2\pi\sqrt{L/g}$. Есть масса и жёсткость — пружинный, $T = 2\pi\sqrt{m/k}$. Дали массу вместе с длиной нити — массу дали лишней, она в формулу не входит.
4. **Спросили «во сколько раз» — пиши отношение.** Не считай два периода по отдельности: $T_2/T_1 = \sqrt{m_2/m_1}$. Корень — единственное место, где здесь теряют балл.
5. **Нужны скорость или ускорение — сначала найди ω.** Дальше механически: $v_{max} = A\omega$ (в положении равновесия), $a_{max} = A\omega^2$ (в крайних точках).
6. **Проверь единицы и формат ответа.** Сантиметры и миллиметры — в метры. Если в условии дали $\pi^2 = 10$, это подсказка: корень сократится нацело, а числа получатся круглыми. Если просят ответ «через π» — не превращай π в 3,14.

## Проверь себя

Пять вопросов ровно по тем местам, где на задании 4 теряют балл. Отвечай, не подглядывая наверх.

1. Груз на пружине совершает свободные колебания. Груз заменили на другой, масса которого в 4 раза больше; пружина та же. Как изменился период колебаний?
   - Увеличился в 4 раза
   - Увеличился в 2 раза — **верный ответ**
   - Не изменился
   - Уменьшился в 2 раза

   *Пояснение:* Период пружинного маятника T = 2π√(m/k), и масса стоит под корнем. Отношение периодов: T₂/T₁ = √(m₂/m₁) = √4 = 2. Ответ «в 4 раза» — это и есть главная ловушка задания 4: масштабировать период линейно нельзя, зависимость корневая.

2. Шарик математического маятника заменили на другой, вдвое более тяжёлый. Нить осталась той же длины, отклоняют маятник на прежний малый угол. Как изменится период колебаний?
   - Увеличится в 2 раза
   - Увеличится в √2 раз
   - Не изменится — **верный ответ**
   - Уменьшится в 2 раза

   *Пояснение:* В формуле T = 2π√(L/g) массы нет вообще — период задают только длина нити и g. Это ключевое отличие от пружинного маятника, где масса как раз есть. Проверь себя вопросом «что стоит в формуле?», а не интуицией «тяжелее — значит медленнее».

3. Источник издаёт звук частотой 850 Гц. Скорость звука в воздухе 340 м/с. Какова длина звуковой волны?
   - 0,4 м — **верный ответ**
   - 2,5 м
   - 4 м
   - 0,04 м

   *Пояснение:* λ = v/ν = 340/850 = 0,4 м. Вариант 2,5 м получается, если по ошибке поделить наоборот (850/340) — следи, что на что делишь: длина волны измеряется в метрах, значит в числителе должна стоять скорость.

4. Груз на пружине совершает гармонические колебания. В каком положении модуль его ускорения максимален?
   - В положении равновесия
   - В крайних точках — **верный ответ**
   - Ускорение одинаково во всех точках
   - Ровно посередине между равновесием и крайней точкой

   *Пояснение:* Ускорение пропорционально смещению: a = −ω²x. В крайних точках смещение максимально (x = ±A), поэтому и ускорение максимально: a_max = Aω². В положении равновесия смещение равно нулю — ускорение тоже ноль, зато скорость там максимальна. Скорость и ускорение всегда «меняются местами».

5. Какое утверждение о звуковой волне в воздухе верно?
   - Звук — поперечная волна
   - Звук распространяется и в вакууме
   - Высота звука определяется частотой колебаний — **верный ответ**
   - Громкость звука определяется скоростью волны

   *Пояснение:* Звук в воздухе продольный: частицы колеблются вдоль направления бега волны, среда сгущается и разрежается. В вакууме звука нет — колебания нечему передавать. Высоту тона задаёт частота, а громкость — амплитуда, но никак не скорость волны. Все три ложных варианта — реальные дистракторы задания 18, где утверждения о звуке проверяют напрямую.

## Какие ошибки делают в задачах на колебания и волны?

- **Ошибка 1.** **Масштабируют период линейно.** Увеличили массу вчетверо — пишут «период вырос вчетверо». Нет: масса и длина стоят **под корнем**, поэтому период вырастет вдвое. Это самая предметная ловушка задания 4. Лечится одним движением: увидел «во сколько раз» — пиши $T_2/T_1 = \sqrt{m_2/m_1}$, а не считай в уме.
- **Ошибка 2.** **Меняют формулы маятников местами.** $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ — математический, $T = 2\pi\sqrt{m/k}$ — пружинный. Проверка размерности не поможет: оба отношения дают секунды в квадрате. Помогает смысл: нить и Земля против груза и пружины.
- **Ошибка 3.** **Считают, что период зависит от амплитуды.** Ни в одной из двух формул амплитуды нет. Отклонили маятник сильнее (в пределах малых углов) — он проходит больший путь, но и движется быстрее, и период остаётся прежним. При этом энергия от амплитуды зависит, причём квадратично: $E = kA^2/2$. Не путай эти два вывода.
- **Ошибка 4.** **Путают, где максимум скорости, а где максимум ускорения.** В положении равновесия: скорость максимальна, ускорение равно нулю. В крайних точках: ускорение максимально, скорость равна нулю. Задание 6 построено ровно на этом — и там достаточно одной перепутанной позиции, чтобы из 2 баллов стал 1.
- **Ошибка 5.** **Портят ответ форматом.** Задание может просить ответ «через π» и числовой множитель перед ним — тогда для скорости $0{,}16\pi$ м/с в бланк идёт **0,16**, а не 0,5. Бывает и наоборот: просят число, а ученик оставляет π. Верная физика и неверный формат дают ноль баллов одинаково — перечитай последнюю строку условия перед тем, как писать.
- **Ошибка 6.** **Считают гребни вместо промежутков.** «Расстояние между первым и пятым гребнями 12 м» — это **четыре** длины волны, значит λ = 3 м, а не 2,4 м. Промежутков всегда на один меньше, чем гребней. Нарисуй точки и посчитай зазоры.
- **Ошибка 7.** **Думают, что при переходе в другую среду меняется частота.** Наоборот: частоту задаёт источник, и она остаётся прежней. Меняется скорость — а вместе с ней, по $\lambda = v/\nu$, и длина волны. Звук перешёл из воздуха в воду: тон тот же, длина волны другая.

## Запомни для ЕГЭ

- $T = \dfrac{t}{N}, \quad \nu = \dfrac{1}{T}, \quad \omega = 2\pi\nu = \dfrac{2\pi}{T}$
- $x = A\cos(\omega t + \varphi_0)$
- $v_{max} = A\omega, \quad a_{max} = A\omega^2, \quad a = -\omega^2 x$
- $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}} \;-\; \text{математический}$
- $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}} \;-\; \text{пружинный}$
- $E = \dfrac{kA^2}{2} = \dfrac{m v_{max}^2}{2}$
- $\lambda = v T = \dfrac{v}{\nu}$
- Период — по корню: масса или длина вчетверо больше → период вдвое
- Равновесие: скорость max, ускорение 0. Край: ускорение max, скорость 0
- Звук в воздухе ≈ 340 м/с, продольный, в вакууме не идёт

## На экзамене

- Задание 4 — это «или/или»: либо статика, либо колебания и волны. Заранее не известно, что попадётся, поэтому одной темой тут не обойтись — вторую половину держит «Статика», и готовить надо обе. Зато сама по себе каждая половина небольшая: у колебаний весь расчётный аппарат — это четыре формулы.
- Задание 4 стоит 1 балл. Больше 3–4 минут на него не трать: впереди задания по 2, 3 и 4 балла, они дороже.
- Увидел в условии $\pi^2 = 10$ — это не придирка составителя, а подсказка. Она появляется там, где в формуле есть $\pi^2$ (то есть после возведения периода в квадрат), и означает, что числа сократятся нацело. Если после подстановки получается некруглая каша — скорее всего, ошибка в выражении величины.
- Проверь формат ответа отдельной секундой. «Ответ выразите через π» и «дайте числовой множитель» — это про одно и то же: в бланк идёт множитель, а не итоговое число. Формула сработала, а бланк заполнен не так — балла нет.
- Твои якоря для задания 18, где проверяют понятия сразу из всех разделов: звук — продольная волна и в вакууме не распространяется; период маятника не зависит от амплитуды; высота тона — это частота, громкость — амплитуда. Одного-двух таких утверждений в наборе достаточно, чтобы отсечь неверные варианты.
- В заданиях 22 и 26 колебания приходят не одни. Типичная связка: скорость ищут через закон сохранения энергии, силу или ускорение — через второй закон Ньютона, а период идёт отдельным последним пунктом. Не жди, что там спросят «найдите период» и всё.
- Важная тонкость для второй части: формула $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ работает только для **малых** колебаний. Поэтому в задаче, где маятник отклонили на 60°, скорость в нижней точке считают через закон сохранения энергии, а период **малых** колебаний того же маятника спрашивают отдельным пунктом. Это не противоречие в условии — это два разных вопроса.
- Задание 26 даёт 4 балла, и один из них (критерий К1) — только за обоснование модели, до всякого решения. Это самый дешёвый балл во второй части, и именно про него чаще всего забывают. Хитрость в том, что обоснование не надо выводить — это набор стандартных фраз, которые проверяющий ждёт увидеть, и их достаточно просто не забыть выписать. Для маятника они такие: инерциальную систему отсчёта связываем с Землёй; груз считаем материальной точкой (его размеры малы по сравнению с длиной нити); нить невесома и нерастяжима; сопротивлением воздуха пренебрегаем. Дальше — ссылка на закон сохранения механической энергии, и вот её стоит понимать, а не просто списывать: сила натяжения нити всё время направлена вдоль нити, то есть поперёк скорости груза, а сила, перпендикулярная скорости, работы не совершает — значит, механическую энергию у системы отнять некому и она сохраняется. Выпиши эти строки прежде, чем начнёшь считать: балл за них ставят отдельно от самого решения.

## Словарь темы

- **Положение равновесия** — Положение, в котором тело осталось бы в покое, если его туда поместить без скорости. При колебаниях тело проходит его на максимальной скорости, а ускорение в нём равно нулю.
- **Амплитуда** — Максимальное отклонение от положения равновесия. Размах колебаний (от края до края) вдвое больше амплитуды — это разные величины.
- **Период** — Время одного полного колебания, в секундах. Полное — значит с возвратом в исходное состояние, туда и обратно. Если за время t произошло N колебаний, то T = t/N.
- **Частота** — Число колебаний за секунду, в герцах. Обратна периоду: ν = 1/T.
- **Циклическая частота** — Величина ω = 2πν = 2π/T в рад/с. Отдельно не измеряется и не заучивается — её получают из периода, и через неё записаны формулы v_max = Aω и a_max = Aω².
- **Гармонические колебания** — Колебания, при которых смещение меняется по синусу или косинусу: x = A·cos(ωt + φ₀). Выбор синуса или косинуса определяется только моментом начала отсчёта времени.
- **Математический маятник** — Модель: точечный груз на невесомой нерастяжимой нити. Период малых колебаний T = 2π√(L/g) — от массы груза и от амплитуды не зависит.
- **Пружинный маятник** — Груз на пружине. Период T = 2π√(m/k) — не зависит ни от g, ни от амплитуды. Вертикальный груз колеблется так же, как горизонтальный: сила тяжести лишь смещает положение равновесия.
- **Волна** — Колебание, распространяющееся в среде. Переносит колебание и энергию, но не вещество: частицы среды колеблются около своих положений и вместе с волной не перемещаются.
- **Длина волны** — Расстояние между двумя соседними одинаковыми точками волны, например между соседними гребнями. За один период волна проходит ровно одну длину волны: λ = vT = v/ν.
- **Продольная волна** — Волна, в которой частицы среды колеблются вдоль направления её распространения; среда попеременно сгущается и разрежается. Звук в воздухе — продольная волна.
- **Поперечная волна** — Волна, в которой частицы среды колеблются поперёк направления её распространения. Так выглядит волна на поверхности воды или по натянутому шнуру.

## Частые вопросы

### Что такое колебание?

Колебание — движение, которое повторяется: тело раз за разом проходит через положение равновесия и отклоняется от него в обе стороны. Если смещение меняется по синусу или косинусу, колебания называют гармоническими.

### Как решать задачи на колебания и волны?

Шаги такие:

1. опознай, что перед тобой
2. достань период, если его не дали прямо
3. выбери формулу маятника по тому, что дано
4. спросили «во сколько раз» — пиши отношение
5. нужны скорость или ускорение — сначала найди ω.

Остальные шаги — в разделе темы выше.

### Какие ошибки чаще всего допускают в теме «Механические колебания и волны»?

Масштабируют период линейно. Увеличили массу вчетверо — пишут «период вырос вчетверо». Нет: масса и длина стоят под корнем, поэтому период вырастет вдвое. Это самая предметная ловушка задания 4. Лечится одним движением: увидел «во сколько раз» — пиши T₂/T₁ = √(m₂/m₁), а не считай в уме.

### Что нужно запомнить по теме «Механические колебания и волны»?

Главное:

1. T = t/N, ν = 1/T, ω = 2πν = 2π/T
2. x = A cos (ω t + φ₀)
3. vₘₐₓ = Aω, aₘₐₓ = Aω², a = -ω² x
4. T = 2π√(L/g) - математический
5. T = 2π√(m/k) - пружинный
6. E = kA²/2 = (m vₘₐₓ²)/2.

Остальное — в разделе темы выше.

## Источники

- [Демоверсия, спецификация и кодификатор ЕГЭ 2027 по физике (архив ФИПИ)](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/fi_11_2027.zip). ФИПИ, проект 2027 года.
- [ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory). ФИПИ, проект 2027 года.
- Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413, в редакции приказа Минпросвещения России от 12.08.2022 № 732)
- Федеральная образовательная программа среднего общего образования (приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371)
- [The International System of Units (SI), 9th edition (Международная система единиц (СИ), 9-е издание)](https://www.bipm.org/en/publications/si-brochure). Международное бюро мер и весов (BIPM), 2019, действующая редакция.
- [Постановление Правительства Российской Федерации от 31.10.2009 № 879 «Об утверждении Положения о единицах величин, допускаемых к применению в Российской Федерации» (в ред. от 09.03.2022 № 323)](http://pravo.gov.ru/proxy/ips/?docbody=&nd=102133559). Официальный интернет-портал правовой информации.

**Соответствие кодификатору ЕГЭ 2027** (проект ФИПИ): 1.5 «Механические колебания и волны».

**Что сверено по документам:**

- Тема соответствует коду 1.5 кодификатора ФИПИ по физике с охватом «гармонические колебания, математический и пружинный маятники, звук».
- Задание 4 КИМ стоит 1 балл и делится между статикой и механическими колебаниями и волнами — заранее не известно, какая из двух тем попадётся.
- Период математического маятника T = 2π√(L/g); период пружинного маятника T = 2π√(m/k).
- Период обоих маятников пропорционален корню: увеличение массы или длины в 4 раза увеличивает период в 2 раза, а не в 4. Это главная предметная ловушка задания 4.
- Период математического маятника не зависит от массы груза; период пружинного не зависит от g. Ни один из них не зависит от амплитуды (при малых колебаниях).
- Проверка размерности не различает формулы двух маятников: и L/g, и m/k имеют размерность с².
- Вертикально подвешенный груз на пружине колеблется с тем же периодом T = 2π√(m/k), что и горизонтальный: сила тяжести лишь смещает положение равновесия.
- Гармонические колебания описываются законом вида x = A·cos(ωt + φ₀) (равнозначно — через синус, выбор определяется началом отсчёта времени).
- v_max = Aω достигается в положении равновесия, a_max = Aω² — в крайних точках; a = −ω²x.
- Связь ω = √(g/L) для математического маятника и ω = √(k/m) для пружинного.
- Полная механическая энергия колебаний сохраняется (без трения); для пружинного маятника E = kA²/2 = m·v_max²/2. Энергия зависит от квадрата амплитуды, период — не зависит.
- Задание 6 по этой теме проверяет связку «процесс → величина растёт / падает / не меняется», а не расчёт. Оно стоит 2 балла, и ошибка ровно в одной позиции снижает результат до 1 балла.
- Длина волны связана со скоростью и частотой: λ = vT = v/ν.
- Между n гребнями укладывается (n − 1) длин волн.
- Волна переносит колебание и энергию, но не вещество: частицы среды колеблются около своих положений.
- Частота волны задаётся источником и не меняется при переходе в другую среду; меняются скорость и, как следствие, длина волны.
- Звук в воздухе — продольная волна; в вакууме звук не распространяется; скорость звука в воздухе ≈ 340 м/с, в воде ≈ 1500 м/с; высота тона определяется частотой, громкость — амплитудой.
- Тема даёт якоря для задания 18, где понятийный аппарат проверяется сразу по всем разделам.
- В задании 22 колебания идут в связке с законом сохранения энергии и вторым законом Ньютона, а период спрашивают отдельным пунктом.
- Формула T = 2π√(L/g) применима только к малым колебаниям, поэтому в задаче с отклонением на 60° скорость считают через ЗСЭ, а период малых колебаний спрашивают отдельно.
- Задание 26 оценивается по двум критериям: К1 (1 балл) — обоснование модели, К2 (3 балла) — решение; забытое обоснование К1 — известная массовая потеря баллов.
- На экзамене выдают справочные значения g = 10 м/с² и π = 3,14; в условии часто дают π² = 10, а ответ могут просить «через π» с числовым множителем в бланк.

## Связанные материалы

- [Разбор задания на ЕГЭ](https://neuromisha.ru/ege/fizika/zadanie-4/)
- [Закон Гука](https://neuromisha.ru/spravochnik/zakon-guka/)
- [Формула частоты в физике](https://neuromisha.ru/spravochnik/formula-chastoty/)
- [Формула периода колебаний: как найти период](https://neuromisha.ru/spravochnik/formula-perioda-kolebaniy/)
- [Формулы механики: таблица по разделам](https://neuromisha.ru/spravochnik/formuly-mehaniki/)
- [Формула длины волны](https://neuromisha.ru/spravochnik/formula-dliny-volny/)

---

Источник: https://neuromisha.ru/teoriya/fizika/mehanicheskie-kolebaniya-i-volny/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.