---
title: "Полное ускорение, реактивное движение, космические скорости — ЕГЭ"
description: "Полное ускорение — это векторная сумма тангенциальной и центростремительной составляющих ускорения. Конспект, примеры и мини-тест для ЕГЭ, задание 1."
url: https://neuromisha.ru/teoriya/fizika/polnoe-uskorenie-reaktivnoe-dvizhenie-1-ya/
subject: "Физика"
exam: "ЕГЭ 2027"
kim: "Задания 1 и 2 КИМ (по 1 баллу); также в 5, 6, 18, 22, 26"
dateModified: 2026-10-03
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Полное ускорение, реактивное движение, 1-я и 2-я космические скорости

Полное ускорение — это векторная сумма тангенциальной и центростремительной составляющих ускорения; они перпендикулярны, поэтому модуль полного ускорения равен корню из суммы их квадратов. На ЕГЭ тема нужна в задании 2 (1 балл: ракета на старте и скорость спутника через законы Ньютона и тяготения), а также в заданиях 5, 6, 18, 22 и 26.

Кодификатор ЕГЭ дополнили в 2026 году — так появился код 1.6: полное ускорение, реактивное движение, первая и вторая космические скорости. Три сюжета, которые раньше жили на полях учебника, теперь спрашивают наравне с остальной механикой: в заданиях 1 и 2, а следы темы есть в 5, 6, 18, 22 и 26.

**Задание КИМ:** Задания 1 и 2 КИМ (по 1 баллу); также в 5, 6, 18, 22, 26  
**Баллы:** Макс. 1 балл  
**Обновлено:** 2026-10-03

## Что такое полное ускорение и из чего оно состоит?

Этот код в кодификаторе новый: его дописали к 2026 году. Внутри три сюжета, и общего у них меньше, чем кажется по названию. Полное ускорение — про кинематику. Реактивное движение — про импульс. Космические скорости — про тяготение. Разбираем по очереди, и начинаем с ускорения.

Вектор скорости можно изменить ровно двумя способами: изменить его длину или повернуть его. Ускорение — это и есть скорость изменения вектора скорости, поэтому у него две работы. Удобно разделить их между двумя составляющими и дальше считать каждую отдельно.

**Тангенциальная составляющая** $a_\text{т}$ направлена вдоль касательной к траектории — то есть вдоль скорости или строго против неё. Она меняет только **модуль** скорости: разгоняет или тормозит. **Центростремительная составляющая** $a_\text{цс}$ направлена к центру окружности, перпендикулярно скорости. Она меняет только **направление** скорости, а модуль не трогает вообще.

Считаются они по-разному. Центростремительную ты уже знаешь из кинематики — она собирается из скорости и радиуса:

$$
a_\text{цс} = \dfrac{v^2}{R} = \omega^2 R
$$

Тангенциальная — это то, насколько быстро меняется модуль скорости:

$$
a_\text{т} = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}
$$

Обрати внимание на важную тонкость: здесь $\Delta v$ — изменение именно **модуля** скорости, а не вектора. Вектор скорости меняется и при повороте, но за поворот отвечает не эта составляющая.

Составляющие взаимно перпендикулярны — одна вдоль касательной, другая по радиусу. Значит, модуль их векторной суммы находится по теореме Пифагора, и это и есть **полное ускорение**:

$$
a = \sqrt{a_\text{т}^2 + a_\text{цс}^2}
$$

Куда смотрит вектор полного ускорения, показывает угол $\beta$ между ним и направлением на центр окружности:

$$
\tan\beta = \dfrac{a_\text{т}}{a_\text{цс}}
$$

Чем сильнее тело разгоняется вдоль траектории, тем больше вектор полного ускорения отклоняется от радиуса вперёд по ходу движения. Перестало разгоняться — вектор лёг точно на радиус.

*Рисунок: Тангенциальная и центростремительная составляющие перпендикулярны — полное ускорение собирается из них по теореме Пифагора*

## Частные случаи: когда одна составляющая исчезает

Две составляющие — это общий случай. В большинстве школьных задач одна из них обращается в ноль, и формула сворачивается во что-то знакомое.

**Модуль скорости постоянен** — равномерное движение по окружности. Разгона вдоль траектории нет, значит $a_\text{т} = 0$, и полное ускорение просто равно центростремительному и смотрит точно к центру. Это ровно тот случай, который разбирают в кинематике.

**Траектория прямая** — поворачивать скорость не нужно, $a_\text{цс} = 0$. Остаётся одна тангенциальная, и полное ускорение направлено вдоль скорости или против неё. Это всё привычное прямолинейное движение.

**Обе не равны нулю** — тело едет по кривой и одновременно меняет скорость. Вот здесь и нужна формула этой темы.

И сразу ловушка, на которой легко потерять балл. При разгоне по окружности **центростремительное ускорение не постоянно**. Скорость растёт, а $a_\text{цс} = v^2/R$ зависит от неё — значит, растёт и оно, причём быстрее скорости. Если разгон равномерный, постоянной остаётся только тангенциальная составляющая.

Отсюда правило: **полное ускорение имеет смысл только для конкретного момента** — того, для которого в условии дана скорость. Вопрос «чему равно полное ускорение на этом участке» без указания момента ответа не имеет.

Полезный взгляд на то же самое даёт тело, брошенное под углом к горизонту. Пока оно летит, на него действует только тяжесть, поэтому его полное ускорение всё время одно и то же — $g$, вниз. Меняется не ускорение, а то, как оно делится на две работы. Сразу после броска под углом скорость направлена круто вверх, и у $g$ есть заметная составляющая против скорости — она тормозит тело.

В верхней точке скорость горизонтальна, $g$ ей перпендикулярно: тангенциальной составляющей нет совсем, и всё ускорение работает на поворот. Одно и то же $g$, а роли разные.

## Что такое реактивное движение?

**Реактивное движение** — это движение тела, которое возникает, когда от него отделяется часть его собственной массы с некоторой скоростью. Ракета выбрасывает газ и разгоняется. Ничего другого ей для этого не требуется.

Слово «не требуется» здесь ключевое. Есть распространённое возражение: в пустоте газу не от чего оттолкнуться, значит ракета лететь не может. Возражение неверное, и оно не случайно попадает в списки утверждений задания 18. Отталкиваться от воздуха или от опоры ракете не нужно — ракета и газ отталкиваются **друг от друга**.

Строгое основание — **закон сохранения импульса**. Пока аппарат летит в пустоте, внешние силы на него не действуют: система «аппарат плюс топливо» замкнута, и её суммарный импульс не меняется. Если аппарат покоился, суммарный импульс был нулевым — нулевым он и останется после выброса:

$$
m u_x + M V_x = 0
$$

Здесь $m$ — масса выброшенного газа, $u_x$ — проекция его скорости, $M$ — масса оставшегося аппарата, $V_x$ — проекция его скорости. Проекции берутся со знаками: газ и аппарат летят в разные стороны, поэтому у одного из них проекция отрицательна. И главное условие корректности: **все скорости в этом уравнении измерены относительно одного и того же тела отсчёта**. Если в условии скорость газа дана относительно ракеты, а ракета уже движется, её сначала переводят в ту систему, в которой пишется закон.

Иногда ту же мысль формулируют через третий закон Ньютона: ракета толкает газ назад, газ с такой же по модулю силой толкает ракету вперёд. Это не другое объяснение, а то же самое, увиденное со стороны сил: закон сохранения импульса для замкнутой системы как раз и выводится из второго и третьего законов Ньютона.

А вот пока ракета стоит на стартовом столе, система уже **не замкнута** — на неё действует тяжесть, и сохранением импульса пользоваться нельзя. Зато в таких задачах обычно дают готовую **силу тяги**, и тогда работает второй закон Ньютона. Для вертикального старта, с осью вверх:

$$
ma = F_\text{тяги} - mg
$$

Так тема выходит на задание 2: формально оно про законы Ньютона, но приходит именно через ракету. Есть тонкость: топливо выгорает, масса ракеты убывает, а с ней меняется и ускорение. Поэтому в школьных задачах спрашивают ускорение **в начальный момент** — когда масса ещё та, что дана в условии.

В задачниках попадается формула Циолковского, связывающая набранную скорость с массой выгоревшего топлива через логарифм. В кодификаторе ЕГЭ её нет — это материал за рамками требований. На экзамене задачи на реактивное движение решаются законом сохранения импульса, и если тебе кажется, что без логарифма не обойтись, скорее всего, условие прочитано сложнее, чем оно есть.

*Рисунок: Аппарат покоился, значит суммарный импульс был нулевым — нулевым он и остаётся, поэтому импульсы газа и аппарата равны по модулю и противоположны по направлению*

## Как найти первую космическую скорость?

Спутник на круговой орбите — это тело, на которое действует одна-единственная сила: притяжение планеты. Опоры нет, двигатель выключен, воздуха на такой высоте нет. И эта единственная сила не разгоняет и не тормозит спутник: она перпендикулярна скорости и целиком уходит на её поворот. То есть играет роль центростремительной.

Отсюда всё и выводится — обычным вторым законом Ньютона для движения по окружности. Слева сила тяготения, справа масса на центростремительное ускорение:

$$
\dfrac{GMm}{r^2} = \dfrac{mv^2}{r}
$$

Здесь $M$ — масса планеты, $m$ — масса спутника, $r$ — радиус орбиты, отсчитанный **от центра планеты**, а не от её поверхности. Сам закон всемирного тяготения — тема динамики, код 1.2; здесь он нужен просто как инструмент.

Теперь смотри, что происходит: масса спутника $m$ стоит в обеих частях и сокращается.

$$
v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}
$$

Это ключевой факт темы. **Скорость на орбите не зависит от того, что именно ты туда запустил** — гайку или орбитальную станцию. В формуле остались только масса планеты и радиус орбиты.

**Первая космическая скорость** — наименьшая скорость, которую нужно сообщить телу у самой поверхности планеты, чтобы оно стало её спутником: пошло по круговой орбите и перестало падать вниз. Значит, в формулу подставляем $r = R$ — радиус самой планеты.

Но у поверхности мы обычно не знаем ни $G$, ни массы планеты — зато знаем $g$. Приравняем силу тяжести к силе тяготения у поверхности:

$$
mg = \dfrac{GMm}{R^2} \;\Rightarrow\; GM = gR^2
$$

Подставляем это в формулу скорости при $r = R$ — и получаем рабочую формулу, в которой нет ни $G$, ни массы планеты:

$$
v_1 = \sqrt{\dfrac{gR^2}{R}} = \sqrt{gR}
$$

Числа для Земли: радиус около 6400 км, то есть $6{,}4 \cdot 10^6$ м, справочное $g = 10$ м/с². Тогда $v_1 = \sqrt{10 \cdot 6{,}4 \cdot 10^6} = 8 \cdot 10^3$ м/с, то есть 8 км/с. В таблицах обычно стоит 7,9 км/с: там считали с более точным $g \approx 9{,}8$ м/с². Расхождение около процента — это округление $g$, а не ошибка. Считай с тем значением, которое дали в условии, и не подгоняй результат под запомненное число.

Из формулы $v = \sqrt{GM/r}$ следуют четыре вывода, которые прямо спрашивают в задании 5:

**Чем выше орбита, тем медленнее спутник.** Радиус стоит в знаменателе под корнем. Значит, первая космическая — это скорость на самой низкой возможной орбите, и она же самая большая из всех круговых. Утверждение «с увеличением радиуса орбиты скорость растёт» — готовый неверный вариант.

**Период обращения тоже не зависит от массы спутника.** Он равен $T = 2\pi r / v$, а массы спутника в $v$ нет.

**Работа силы тяготения за оборот равна нулю.** На круговой орбите сила всё время перпендикулярна скорости, а перпендикулярная сила работы не совершает. Поэтому модуль скорости постоянен, и кинетическая энергия спутника не меняется.

**Ускорение спутника не равно нулю.** Оно центростремительное и направлено к центру планеты. Скорость постоянна по модулю — но не по направлению, и это разные вещи.

*Рисунок: На круговой орбите единственная сила — тяготение, и она целиком уходит на поворот скорости*

![Миша запускает демонстрационную ракету; рядом показаны круговая орбита спутника, касательная скорость и направленное к Земле ускорение](https://neuromisha.ru/content/theory/fizika/img/polnoe-uskorenie-reaktivnoe-dvizhenie-1-ya-1.png)

*Ракета получает тягу, выбрасывая газы назад; на круговой орбите скорость направлена по касательной, а ускорение — к центру Земли.*

## Вторая космическая: скорость, чтобы улететь совсем

Первая космическая привязывает тело к планете. **Вторая космическая** — наоборот, отвязывает: это наименьшая скорость у поверхности, при которой тело преодолевает притяжение планеты и не возвращается.

Считается она не через силы, а через энергию — потому что вопрос «улетит ли навсегда» про силы в одной точке ответа не имеет. Понадобится потенциальная энергия тела в поле тяготения планеты:

$$
E_\text{п} = -\dfrac{GMm}{r}
$$

Минус здесь не опечатка: за нуль принята энергия бесконечно далеко от планеты, а всюду ближе энергия меньше нуля. И обрати внимание, что это **не** $mgh$: формула $mgh$ годится только у самой поверхности, где поле можно считать однородным, а нам нужно улететь далеко, где тяготение заметно слабее.

Переведём «улетит и не вернётся» на язык энергии. Пока тело летит и на него действует только тяготение, а сопротивление воздуха мы не учитываем, его **полная механическая энергия сохраняется**: работа тяготения зависит только от начальной и конечной точки пути, а не от его формы, — поэтому энергию можно сравнивать в любых двух точках. Значит, её можно записать в одной удобной точке и приравнять к значению в другой — ровно так же, как в реактивном движении мы приравнивали импульс до и после.

Минимальный случай ухода: тела хватило ровно на то, чтобы уйти сколь угодно далеко — туда, где потенциальная энергия обратилась в ноль, — и скорость там тоже стала нулевой. Значит, вся полная энергия равна нулю. Приравняем к ней полную энергию у поверхности, где скорость равна искомой:

$$
\dfrac{mv_2^2}{2} - \dfrac{GMm}{R} = 0
$$

Масса тела снова сокращается — как и в первой космической. Остаётся:

$$
v_2 = \sqrt{\dfrac{2GM}{R}} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{\dfrac{GM}{R}} = \sqrt{2}\, v_1
$$

Вот главный рабочий вывод темы: **вторая космическая ровно в $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ раза больше первой**. Это отношение одинаково для любой планеты — важно лишь, чтобы обе скорости брались в одной точке, у поверхности. Никаких данных о планете для перехода от одной к другой не нужно.

Для Земли: $v_2 = \sqrt{2} \cdot 7{,}9 \approx 11{,}2$ км/с. Запоминать формулу стоит именно в виде $v_2 = \sqrt{2}\, v_1$: она превращает задачу про вторую космическую в задачу про первую, а первую ты уже умеешь считать через $\sqrt{gR}$.

## Формулы темы в одной таблице

*Полное ускорение, реактивное движение и космические скорости*

| Формула | Что обозначают буквы | Единицы и смысл |
| --- | --- | --- |
| $a = \sqrt{a_\text{т}^2 + a_\text{цс}^2}$ | a_т — тангенциальная, a_цс — центростремительная составляющая | Модуль полного ускорения для конкретного момента |
| $a_\text{цс} = \dfrac{v^2}{R} = \omega^2 R$ | v — скорость, R — радиус окружности | Меняет только направление скорости |
| $a_\text{т} = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}$ | Δv — изменение модуля скорости | Меняет только модуль скорости; при равномерном движении по окружности равна нулю |
| $\tan\beta = \dfrac{a_\text{т}}{a_\text{цс}}$ | β — угол между полным ускорением и направлением на центр | Чем сильнее разгон, тем дальше вектор отходит от радиуса вперёд |
| $m u_x + M V_x = 0$ | m и uₓ — масса и скорость выброшенного газа, M и Vₓ — оставшегося аппарата | Сохранение импульса для покоившейся системы; все скорости в одной системе отсчёта |
| $ma = F_\text{тяги} - mg$ | F_тяги — сила тяги | Ракета на старте: система не замкнута, ускорение — в начальный момент |
| $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ | M — масса планеты, r — радиус орбиты от центра планеты | От массы спутника не зависит; чем выше орбита, тем меньше скорость |
| $v_1 = \sqrt{gR}$ | R — радиус планеты | Для Земли около 7,9 км/с; с g = 10 м/с² расчёт даёт 8 км/с |
| $E_\text{п} = -\dfrac{GMm}{r}$ | Ноль энергии — бесконечно далеко от планеты | mgh годится только у поверхности |
| $v_2 = \sqrt{2}\, v_1$ | v₂ — вторая космическая скорость | Для Земли около 11,2 км/с; отношение √2 одинаково для любой планеты |

## Разбор: разгон по круговому треку

**Условие.** Мотоциклист едет по круговому треку радиусом 50 м и разгоняется. В тот момент, когда его скорость равна 20 м/с, тангенциальное ускорение равно 6 м/с². Найди модуль полного ускорения мотоцикла в этот момент и угол между полным ускорением и направлением на центр трека.

**Решение.**

- Центростремительная составляющая собирается из скорости и радиуса — оба даны:
- $a_\text{цс} = \dfrac{v^2}{R} = \dfrac{20^2}{50} = 8\ \text{м/с}^2$
- Тангенциальная дана прямо в условии: $a_\text{т} = 6$ м/с². Складывать их как числа нельзя — они перпендикулярны, поэтому работает Пифагор:
- $a = \sqrt{a_\text{т}^2 + a_\text{цс}^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10\ \text{м/с}^2$
- Угол $\beta$ между полным ускорением и направлением на центр находится через тангенс:
- $\tan\beta = \dfrac{a_\text{т}}{a_\text{цс}} = \dfrac{6}{8} = 0{,}75 \;\Rightarrow\; \beta \approx 37^\circ$
- Ответ 10 м/с², а не 14 м/с²: арифметическая сумма 6 + 8 дала бы неверный результат — именно на ней и построен самый частый неправильный вариант.
- И посмотри, что будет дальше по ходу разгона. Тангенциальная составляющая остаётся 6 м/с², а центростремительная растёт вместе со скоростью. Значит, полное ускорение тоже растёт, а угол $\beta$ уменьшается — вектор постепенно разворачивается ближе к направлению на центр.

**Ответ:** a = 10 м/с²; угол с направлением на центр β ≈ 37°.

## Разбор: две задачи про ракету, два разных закона

**Условие.** (а) Космический аппарат общей массой 410 кг покоится в открытом космосе. Двигатель выбрасывает 10 кг газа со скоростью 800 м/с относительно неподвижного наблюдателя. Какую скорость приобретёт аппарат? (б) Другая ракета массой 800 кг стартует с Земли вертикально вверх, сила тяги её двигателя 12 000 Н. Каково ускорение ракеты в начальный момент? Прими g = 10 м/с².

**Решение.**

- **Часть (а).** Внешних сил нет — система «аппарат плюс газ» замкнута, значит работает закон сохранения импульса. Направим ось x в ту сторону, куда полетит аппарат; тогда газ уходит против оси.
- До выброса всё покоилось, суммарный импульс был равен нулю — таким же он останется и после. Масса аппарата после выброса: 410 − 10 = 400 кг.
- $0 = m u_x + (M_0 - m) V_x$
- Проекция скорости газа отрицательна, потому что он летит против оси: $u_x = -800$ м/с. Подставляем:
- $0 = 10 \cdot (-800) + 400 \cdot V_x \;\Rightarrow\; V_x = \dfrac{8000}{400} = 20\ \text{м/с}$
- **Часть (б).** Здесь импульс не сохраняется: ракета в поле тяжести, система не замкнута. Зато дана готовая сила тяги — значит, второй закон Ньютона. На ракету действуют тяга вверх и сила тяжести вниз, ось направим вверх:
- $ma = F_\text{тяги} - mg$
- $a = \dfrac{F_\text{тяги} - mg}{m} = \dfrac{12000 - 800 \cdot 10}{800} = \dfrac{4000}{800} = 5\ \text{м/с}^2$
- Почему в условии оговорено «в начальный момент»: топливо выгорает, масса ракеты убывает, и при неизменной тяге ускорение со временем растёт. Момент старта фиксируют, чтобы масса была той, что дана.
- Сравни два инструмента. В пустоте внешних сил нет — берём импульс. На старте есть тяжесть и известна тяга — берём законы Ньютона. Одна и та же физика реактивного движения, разные вопросы, разные законы. Определить, какой случай перед тобой, важнее, чем помнить обе формулы.

**Ответ:** (а) 20 м/с; (б) 5 м/с².

## Разбор: космические скорости чужой планеты

**Условие.** На некоторой планете ускорение свободного падения у поверхности равно 5 м/с², а радиус планеты — 5000 км. Найди для неё первую и вторую космические скорости. Затем ответь: как изменилась бы первая космическая, если бы масса планеты выросла в 4 раза, а радиус остался прежним?

**Решение.**

- Сначала переводим радиус в СИ: $R = 5000\ \text{км} = 5 \cdot 10^6\ \text{м}$. Ни гравитационная постоянная, ни масса планеты не даны — и не нужны: у поверхности они обе спрятаны в $g$.
- $v_1 = \sqrt{gR} = \sqrt{5 \cdot 5 \cdot 10^6} = \sqrt{2{,}5 \cdot 10^7} = 5 \cdot 10^3\ \text{м/с} = 5\ \text{км/с}$
- Вторая космическая — это первая, умноженная на корень из двух. Никаких дополнительных данных не нужно:
- $v_2 = \sqrt{2}\, v_1 \approx 1{,}41 \cdot 5 \approx 7{,}1\ \text{км/с}$
- Теперь про массу. Связь $g$ с массой планеты даёт равенство силы тяжести и силы тяготения у поверхности: $g = GM/R^2$. Радиус не меняется, значит $g$ прямо пропорционально массе: масса выросла вчетверо — вчетверо выросло и $g$, до 20 м/с².
- Осталось подставить новое $g$ в ту же формулу:
- $v_1' = \sqrt{4gR} = 2\sqrt{gR} = 2 v_1 = 10\ \text{км/с}$
- Вчетверо большая масса дала вдвое большую скорость: корень «уполовинивает» отношение. Приём работает и в другую сторону — если бы при той же массе вырос радиус, первая космическая упала бы: в $v_1 = \sqrt{GM/R}$ радиус стоит в знаменателе.

**Ответ:** v₁ = 5 км/с; v₂ ≈ 7,1 км/с; при вчетверо большей массе первая космическая выросла бы вдвое — до 10 км/с.

## Как решать задачи на полное ускорение, ракеты и космические скорости?

1. **Сначала определи, какой из трёх сюжетов перед тобой.** Кривая траектория и просят ускорение — это полное ускорение. Что-то от чего-то отделяется — реактивное движение. Орбита, спутник, «улететь с планеты» — космические скорости. Инструменты у них совершенно разные, и выбор инструмента здесь сложнее самих вычислений.
2. **Полное ускорение: считай составляющие порознь.** Сначала $a_\text{цс} = v^2/R$ по скорости и радиусу в нужный момент, отдельно $a_\text{т}$ по изменению модуля скорости. Потом Пифагор, и только после этого угол через тангенс.
3. **Реактивное движение в пустоте: закон сохранения импульса.** Выбери ось, приведи все скорости к одной системе отсчёта, распиши суммарный импульс до и после. Тело покоилось — импульс был нулевым и остаётся нулевым.
4. **Ракета с известной тягой в поле тяжести: второй закон Ньютона.** Система не замкнута, импульс не сохраняется, сохранением пользоваться нельзя. Для вертикального старта $ma = F_\text{тяги} - mg$.
5. **Космические скорости: сведи всё к первой.** Даны $g$ и радиус планеты — бери $v_1 = \sqrt{gR}$. Даны масса планеты и радиус орбиты — бери $v = \sqrt{GM/r}$. Спросили вторую — умножь первую на $\sqrt{2}$.
6. **Проверь порядок величины.** Космические скорости — это километры в секунду, то есть тысячи метров в секунду. Вышло 80 м/с или 8 миллионов — потеряна степень десятки при переводе километров в метры.

## Проверь себя

Шесть вопросов по всем трём сюжетам темы — ровно по тем местам, где здесь теряют балл. Отвечай, не подглядывая в текст выше.

1. Точка движется по окружности радиусом 5 м. В некоторый момент её скорость равна 10 м/с, а тангенциальное ускорение — 15 м/с². Чему равен модуль полного ускорения точки в этот момент?
   - 25 м/с² — **верный ответ**
   - 35 м/с²
   - 20 м/с²
   - 15 м/с²

   *Пояснение:* Сначала центростремительная составляющая: a_цс = v²/R = 100/5 = 20 м/с². Составляющие перпендикулярны, поэтому складываются по теореме Пифагора: a = √(15² + 20²) = √625 = 25 м/с². Вариант 35 м/с² — это арифметическая сумма 15 + 20, самая частая ошибка темы. Вариант 20 м/с² был бы верен, если бы модуль скорости не менялся: тогда тангенциальной составляющей не было бы вовсе.

2. Ракета летит в открытом космосе: ни воздуха, ни какой-либо опоры рядом нет. Может ли она разогнаться, включив двигатель?
   - Нет: выброшенному газу не от чего оттолкнуться
   - Да: ракета и выброшенный газ отталкиваются друг от друга, суммарный импульс системы сохраняется — **верный ответ**
   - Да, но только если поблизости есть другое небесное тело
   - Нет: в вакууме закон сохранения импульса не выполняется

   *Пояснение:* Отсутствие опоры реактивному движению не мешает — это и есть его главное свойство. Ракета и газ образуют замкнутую систему, её суммарный импульс сохраняется: газ уходит в одну сторону, ракета в другую. Утверждение «для реактивного движения необходима опора или окружающая среда» — готовый неверный вариант в списках задания 18.

3. Покоившийся в открытом космосе аппарат выбрасывает 4 кг газа со скоростью 300 м/с относительно неподвижного наблюдателя. После выброса масса аппарата равна 600 кг. Какую скорость он приобретёт?
   - 2 м/с — **верный ответ**
   - 300 м/с
   - 1200 м/с
   - 0,5 м/с

   *Пояснение:* Суммарный импульс был нулевым и остаётся нулевым, поэтому импульсы газа и аппарата равны по модулю: m·u = M·V. Отсюда V = m·u/M = 4·300/600 = 2 м/с. Вариант 1200 м/с — это импульс газа, если забыть поделить его на массу аппарата; 0,5 м/с — если поделить наоборот, 600 на 1200; 300 м/с — если решить, что аппарат полетит со скоростью газа.

4. Два спутника — массой 200 кг и 2000 кг — выводят на круговые орбиты одинакового радиуса вокруг Земли. Как соотносятся их скорости на орбите?
   - У тяжёлого скорость в 10 раз больше
   - У лёгкого скорость в 10 раз больше
   - Скорости одинаковы — **верный ответ**
   - У тяжёлого больше примерно в 3,2 раза

   *Пояснение:* В условии круговой орбиты GMm/r² = mv²/r масса спутника стоит в обеих частях и сокращается: v = √(GM/r). Остались только масса планеты и радиус орбиты — что именно летит по орбите, роли не играет. Утверждение «первая космическая скорость не зависит от массы спутника» — верный вариант в задании 18. Период обращения по той же причине от массы спутника не зависит: T = 2πr/v.

5. Спутник переводят с низкой круговой орбиты на более высокую круговую орбиту вокруг той же планеты. Что произойдёт с его скоростью на орбите?
   - Увеличится
   - Уменьшится — **верный ответ**
   - Не изменится
   - Зависит от массы спутника

   *Пояснение:* Скорость на круговой орбите v = √(GM/r): радиус стоит в знаменателе под корнем, поэтому чем выше орбита, тем медленнее движется спутник. Отсюда важный вывод: первая космическая — это скорость на самой низкой возможной орбите, у поверхности, и она же самая большая из всех круговых. Утверждение «с увеличением радиуса орбиты скорость растёт» — готовый неверный вариант в задании 5.

6. Первая космическая скорость для некоторой планеты равна 3 км/с. Чему равна вторая космическая скорость для той же планеты?
   - ≈ 4,2 км/с — **верный ответ**
   - 6 км/с
   - ≈ 2,1 км/с
   - 9 км/с

   *Пояснение:* Вторая космическая всегда в √2 раза больше первой, если обе берутся у поверхности одной и той же планеты: v₂ = √2·v₁ ≈ 1,41·3 ≈ 4,2 км/с. Больше о планете знать ничего не нужно — отношение универсально. Вариант 6 км/с получается, если по привычке удвоить, а 2,1 км/с — если поделить на √2 вместо умножения.

## Какие ошибки делают в задачах на ускорение, ракеты и спутники?

- **Ошибка 1.** **Складывают составляющие ускорения как обычные числа.** $a_\text{т}$ и $a_\text{цс}$ перпендикулярны, поэтому полное ускорение равно $\sqrt{a_\text{т}^2 + a_\text{цс}^2}$, а не их сумме. При $a_\text{т} = 6$ м/с² и $a_\text{цс} = 8$ м/с² верный ответ 10 м/с², а не 14.
- **Ошибка 2.** **Считают центростремительное ускорение постоянным при разгоне по окружности.** Пока скорость растёт, растёт и $a_\text{цс} = v^2/R$ — причём быстрее скорости. Постоянной при равномерном разгоне остаётся только тангенциальная составляющая. Поэтому полное ускорение всегда считают для конкретного момента: того, для которого дана скорость.
- **Ошибка 3.** **Считают, что реактивному движению нужна опора или воздух.** Не нужны: ракета и выброшенный газ отталкиваются друг от друга, а не от среды. В списках задания 18 утверждение «для реактивного движения необходима опора или окружающая среда» — неверное, и его ставят туда не случайно.
- **Ошибка 4.** **Пишут закон сохранения импульса, смешивая системы отсчёта.** Если скорость газа дана относительно ракеты, а ракета уже движется, эту скорость сначала переводят в ту систему, в которой пишется закон. Все скорости в одном уравнении должны быть измерены относительно одного и того же тела отсчёта.
- **Ошибка 5.** **Применяют закон сохранения импульса к ракете на старте.** На стартовом столе система не замкнута — есть сила тяжести, импульс не сохраняется. Там работает второй закон Ньютона с силой тяги: $ma = F_\text{тяги} - mg$. Сохранение импульса в чистом виде — это про полёт в пустоте.
- **Ошибка 6.** **Думают, что скорость на орбите зависит от массы спутника или что высокая орбита быстрее.** Масса спутника сокращается в первой же строчке вывода, а радиус стоит под корнем в знаменателе: $v = \sqrt{GM/r}$ — чем выше орбита, тем медленнее спутник. И ещё: $r$ здесь отсчитывается от **центра** планеты, поэтому высоту орбиты нужно складывать с радиусом планеты, а не подставлять саму по себе.
- **Ошибка 7.** **Берут вторую космическую вдвое больше первой.** Не вдвое, а в $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ раза: 7,9 км/с превращаются в 11,2 км/с, а не в 15,8. Двойка в выводе появляется под корнем — в формуле $v_2 = \sqrt{2GM/R}$, — и корень её «уполовинивает».

## Запомни для ЕГЭ

- $a = \sqrt{a_\text{т}^2 + a_\text{цс}^2}$
- $a_\text{цс} = \dfrac{v^2}{R}, \quad a_\text{т} = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}$
- $m u_x + M V_x = 0$
- $ma = F_\text{тяги} - mg$
- $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}, \quad v_1 = \sqrt{gR} \approx 7{,}9\ \text{км/с}$
- $v_2 = \sqrt{2}\, v_1 \approx 11{,}2\ \text{км/с}$
- Космические скорости не зависят от массы спутника: она сокращается. Чем выше круговая орбита, тем меньше скорость

## На экзамене

- Тема закреплена за заданиями 1 и 2 — это по 1 баллу каждое. Больше 3–4 минут им отдавать незачем: если формула не всплыла за минуту, отметь задание и иди дальше, впереди задания по 2, 3 и 4 балла.
- Задание 18 берёт из этой темы готовые утверждения-якоря — держи их наготове. Реактивное движение основано на законе сохранения импульса и опоры не требует. Первая космическая скорость не зависит от массы спутника. Вторая космическая больше первой в $\sqrt{2}$ раза. Ускорение спутника на круговой орбите не равно нулю.
- Формулы Циолковского в кодификаторе нет — она за рамками требований. Задачу про ракету на экзамене решают законом сохранения импульса. Если кажется, что без логарифма никак, скорее всего, ты усложняешь условие.
- Расхождение 7,9 и 8 км/с пугать не должно: со справочным $g = 10$ м/с² и радиусом Земли 6400 км получается ровно 8 км/с, а табличные 7,9 посчитаны с более точным $g$. Считай с тем значением, которое дали в условии, и не подгоняй ответ под запомненное число.
- Реактивное движение может прийти в задания 22 и 26 — механику в части 2 проверяют именно там. В задании 26 не забудь про критерий К1: он даёт отдельный балл только за обоснование модели. На письме это одна-две строки в начале решения — например: «Рассматриваем систему в ИСО (инерциальной системе отсчёта), связанной с Землёй; тела считаем материальными точками; внешними силами пренебрегаем — система замкнута». Каждый оборот тебе уже встречался в этой теме: замкнутость системы — там, где мы разбирали ракету и закон сохранения импульса. Про такое обоснование чаще всего просто забывают, и балл теряется на ровном месте.
- Проверяй порядок величины прежде, чем нести ответ в бланк. Космические скорости — тысячи метров в секунду. Получилось 80 м/с или 8 миллионов — ищи потерянную степень десятки в переводе километров в метры.

## Словарь темы

- **Тангенциальное ускорение** — Составляющая ускорения, направленная вдоль касательной к траектории — то есть вдоль скорости или против неё. Меняет модуль скорости и не меняет её направление. При движении с постоянной по модулю скоростью равна нулю.
- **Центростремительное ускорение** — Составляющая ускорения, направленная к центру окружности, перпендикулярно скорости. Меняет направление скорости и не меняет её модуль. Равна v²/R.
- **Полное ускорение** — Векторная сумма тангенциальной и центростремительной составляющих. Поскольку они перпендикулярны, модуль полного ускорения равен корню из суммы их квадратов. Имеет смысл только для конкретного момента движения.
- **Реактивное движение** — Движение тела, возникающее при отделении от него части его собственной массы с некоторой скоростью. Внешняя опора или среда для него не нужны: тело и отделившаяся часть отталкиваются друг от друга.
- **Замкнутая система** — Система тел, на которую не действуют внешние силы либо их сумма равна нулю. Суммарный импульс замкнутой системы не меняется — на этом и держится расчёт реактивного движения. Ракета на старте замкнутой системой не является: на неё действует тяжесть.
- **Сила тяги** — Сила, с которой выброшенный газ действует на ракету, разгоняя её. В школьных задачах её обычно задают готовым числом, а ускорение ракеты находят по второму закону Ньютона.
- **Первая космическая скорость** — Наименьшая скорость, которую нужно сообщить телу у поверхности планеты, чтобы оно стало её спутником: пошло по круговой орбите и перестало падать. Считается как корень из произведения g на радиус планеты; для Земли около 7,9 км/с. От массы самого спутника не зависит.
- **Вторая космическая скорость** — Наименьшая скорость у поверхности планеты, при которой тело преодолевает её притяжение и не возвращается. Больше первой в корень из двух раз; для Земли около 11,2 км/с.

## Частые вопросы

### Что такое полное ускорение?

Полное ускорение — векторная сумма тангенциальной и центростремительной составляющих ускорения. Поскольку они перпендикулярны, модуль полного ускорения равен корню из суммы их квадратов.

### Как решать задачи на полное ускорение, ракеты и космические скорости?

Шаги такие:

1. сначала определи, какой из трёх сюжетов перед тобой
2. полное ускорение: считай составляющие порознь
3. реактивное движение в пустоте: закон сохранения импульса
4. ракета с известной тягой в поле тяжести: второй закон Ньютона.

Остальные шаги — в разделе темы выше.

### Какие ошибки чаще всего допускают в теме «Полное ускорение, реактивное движение, 1-я и 2-я»?

Складывают составляющие ускорения как обычные числа. aт и aцс перпендикулярны, поэтому полное ускорение равно √(aт² + aцс²), а не их сумме. При aт = 6 м/с² и aцс = 8 м/с² верный ответ 10 м/с², а не 14.

### Что нужно запомнить по теме «Полное ускорение, реактивное движение, 1-я и 2-я»?

Главное:

1. a = √(aт² + aцс²)
2. aцс = v²/R, aт = Δv/(Δt)
3. m uₓ + M Vₓ = 0
4. ma = Fтяги - mg
5. v = √(GM/r), v₁ = √(gR) ≈ 7,9 км/с
6. v₂ = √2 v₁ ≈ 11,2 км/с.

Остальное — в разделе темы выше.

## Источники

- [Демоверсия, спецификация и кодификатор ЕГЭ 2027 по физике (архив ФИПИ)](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/fi_11_2027.zip). ФИПИ, проект 2027 года.
- [ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory). ФИПИ, проект 2027 года.
- Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413, в редакции приказа Минпросвещения России от 12.08.2022 № 732)
- Федеральная образовательная программа среднего общего образования (приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371)
- [The International System of Units (SI), 9th edition (Международная система единиц (СИ), 9-е издание)](https://www.bipm.org/en/publications/si-brochure). Международное бюро мер и весов (BIPM), 2019, действующая редакция.
- [Постановление Правительства Российской Федерации от 31.10.2009 № 879 «Об утверждении Положения о единицах величин, допускаемых к применению в Российской Федерации» (в ред. от 09.03.2022 № 323)](http://pravo.gov.ru/proxy/ips/?docbody=&nd=102133559). Официальный интернет-портал правовой информации.

**Соответствие кодификатору ЕГЭ 2027** (проект ФИПИ): 1.1.8 «Криволинейное движение. Движение материальной точки по окружности. Полное ускорение»; 1.2.6 «Закон всемирного тяготения. Сила тяжести»; 1.4.3 «Закон изменения и сохранения импульса. Реактивное движение».

**Что сверено по документам:**

- Формула полного ускорения a = √(a_т² + a_цс²).
- Тангенциальная составляющая меняет только модуль скорости, центростремительная — только направление; при равномерном движении по окружности a_т = 0, при прямолинейном a_цс = 0.
- При разгоне по окружности a_цс не постоянно (растёт вместе со скоростью), поэтому полное ускорение определено только для конкретного момента.
- У тела, брошенного под углом, полное ускорение всё время равно g; в верхней точке тангенциальная составляющая равна нулю.
- Реактивное движение основано на законе сохранения импульса; внешняя опора или среда для него не нужны. Утверждение «для реактивного движения необходима опора или окружающая среда» — неверное и встречается в задании 18.
- Формулировки «реактивное движение основано на ЗСИ» и «основано на третьем законе Ньютона» описывают одно и то же.
- Для покоившегося тела m·u_x + M·V_x = 0; все скорости должны быть в одной системе отсчёта.
- Ракета на старте: система не замкнута, ускорение находится по второму закону Ньютона как a = (F_тяги − mg)/m; спрашивают ускорение в начальный момент, потому что масса убывает.
- Формула Циолковского за рамками требований ЕГЭ.
- Условие круговой орбиты GMm/r² = mv²/r; сила тяготения играет роль центростремительной.
- Скорость на круговой орбите v = √(GM/r) не зависит от массы спутника; период обращения тоже.
- Чем выше круговая орбита, тем меньше скорость спутника; утверждение «с увеличением радиуса орбиты скорость растёт» — неверное и встречается в задании 5.
- На круговой орбите работа силы тяготения за оборот равна нулю, кинетическая энергия постоянна, а ускорение спутника не равно нулю.
- Первая космическая у поверхности: v₁ = √(gR), потому что mg = GMm/R² даёт GM = gR².
- Для Земли v₁ ≈ 7,9 км/с; со справочным g = 10 м/с² и R = 6400 км расчёт даёт 8 км/с, и это расхождение — следствие округления g.
- Вторая космическая: v₂ = √(2GM/R) = √2·v₁ ≈ 11,2 км/с для Земли; отношение √2 универсально для любой планеты, если обе скорости берутся у поверхности.
- Потенциальная энергия в поле тяготения E_п = −GMm/r, а не mgh; mgh применимо только у поверхности, где поле однородно.
- Задание 22 — только механика, задание 26 — механика с обоснованием, и критерий К1 задания 26 даёт отдельный балл только за обоснование модели.

## Связанные материалы

- [Разбор задания на ЕГЭ](https://neuromisha.ru/ege/fizika/zadanie-1/)
- [Формула импульса в физике](https://neuromisha.ru/spravochnik/formula-impulsa/)
- [Закон сохранения импульса](https://neuromisha.ru/spravochnik/zakon-sohraneniya-impulsa/)
- [Закон всемирного тяготения](https://neuromisha.ru/spravochnik/zakon-vsemirnogo-tyagoteniya/)
- [Законы Ньютона кратко: три закона и формулы в таблице](https://neuromisha.ru/spravochnik/zakony-nyutona/)
- [Формулы для ЕГЭ по физике: 107 формул по 11 разделам](https://neuromisha.ru/materialy/formuly-fiziki-ege/)

---

Источник: https://neuromisha.ru/teoriya/fizika/polnoe-uskorenie-reaktivnoe-dvizhenie-1-ya/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.