---
title: "Рациональные уравнения на базовом ЕГЭ: задание 17 и примеры"
description: "Линейные, квадратные и дробно-рациональные уравнения в задании 17 базового ЕГЭ: дискриминант, теорема Виета, ОДЗ и выбор наименьшего корня. Разборы и тест."
url: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika-baza/celye-i-drobno-racionalnye-uravneniya/
subject: "Математика база"
exam: "ЕГЭ 2027"
kim: "Задание 17 КИМ (1 балл)"
dateModified: 2026-10-18
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Целые и дробно-рациональные уравнения на базовом ЕГЭ

Целые и дробно-рациональные уравнения — это рациональные уравнения без переменной в знаменателе (линейные, квадратные, степени выше второй) и с переменной в знаменателе хотя бы одной дроби, где число, обнуляющее знаменатель, корнем не считается. На базовом ЕГЭ по математике тема нужна в задании 17 (1 балл): уравнение решают без калькулятора и записывают в бланк одно число, часто наименьший или наибольший корень.

Задание 17 — тот номер базовой математики, где нужно именно решить уравнение. Разбираем целые и дробно-рациональные: как находить корни без калькулятора, почему ноль знаменателя выбрасывает уже найденный корень и зачем перечитывать последнюю строку условия — «укажите наименьший корень».

**Задание КИМ:** Задание 17 КИМ (1 балл)  
**Баллы:** Макс. 1 балл  
**Обновлено:** 2026-10-18

## Какие уравнения встречаются в задании 17?

В задании 17 дают одно уравнение и просят найти корень. В бланк идёт одно число — целое или конечная десятичная дробь. Решение никто не проверяет, но и частичного балла здесь нет: либо число верное и балл твой, либо ноль.

Уравнения в этом номере бывают разных типов: линейные, квадратные, дробно-рациональные, а также иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические. Последние четыре типа живут в своих темах — коды 2.2, 2.3, 2.4 и 2.5. Здесь разбираем рациональные: целые и дробно-рациональные.

**Целое рациональное уравнение** — то, где переменная нигде не стоит в знаменателе. Например, $5x - 12 = 3x + 8$, $x^2 - 9x + 20 = 0$, $x^3 = 9x$. Подставить в такое уравнение можно любое число: запретов нет.

**Дробно-рациональное** — то, где переменная стоит в знаменателе хотя бы одной дроби: $x + \dfrac{8}{x} = 6$, $\dfrac{x^2 - x - 12}{x + 3} = 0$. Здесь появляется запрет: **на ноль делить нельзя**, поэтому числа, обнуляющие знаменатель, выпадают из игры ещё до того, как ты начал решать. Множество того, что осталось разрешённым, называют **ОДЗ** — областью допустимых значений.

Различить типы — первое действие в этом задании. От него зависит, нужно тебе выписывать ОДЗ или нет, а значит — рискуешь ли ты записать в бланк число, которое корнем не является.

## Линейное уравнение: перенести и разделить

Самый простой случай. Цель — собрать все слагаемые с $x$ слева, все числа справа, а потом разделить обе части на коэффициент при $x$. Работают два правила: **слагаемое переносят через знак равенства с противоположным знаком**, а **делят обе части целиком**, а не по одному слагаемому.

Разберём $5x - 12 = 3x + 8$. Переносим $3x$ влево, а $-12$ вправо:

$$
5x - 3x = 8 + 12 \;\Longrightarrow\; 2x = 20 \;\Longrightarrow\; x = 10
$$

Проверка занимает пять секунд: слева $5 \cdot 10 - 12 = 38$, справа $3 \cdot 10 + 8 = 38$. Сошлось.

Если есть скобки, сначала раскрой их. В уравнении $3(x - 4) = x + 2$ множитель 3 умножается на **каждое** слагаемое в скобке: $3x - 12 = x + 2$, дальше $2x = 14$ и $x = 7$. Забытое умножение на второе слагаемое — самая частая помарка в этом шаге.

Десятичный коэффициент не повод грустить без калькулятора: умножь обе части на 10 или на 100 и работай с целыми. Уравнение $0{,}4x = 6$ после умножения на 10 превращается в $4x = 60$, откуда $x = 15$.

## Как решить квадратное уравнение через дискриминант и Виета?

Общий вид — $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \neq 0$. Универсальный способ один:

$$
D = b^2 - 4ac, \qquad x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
$$

Эту пару формул придётся помнить наизусть: в справочных материалах, которые выдают вместе с КИМ, есть свойства степеней и логарифмов, площади фигур, объёмы тел и тригонометрическая таблица, а дискриминанта там нет.

Возьмём $x^2 - 9x + 20 = 0$. Здесь $a = 1,\; b = -9,\; c = 20$, поэтому $D = 81 - 80 = 1$ и

$$
x_{1,2} = \dfrac{9 \pm 1}{2} \;\Longrightarrow\; x_1 = 5, \quad x_2 = 4
$$

Обрати внимание на $-b$: коэффициент $b$ был отрицательным, значит в формулу идёт **плюс девять**. Потерянный здесь знак — готовый неверный ответ.

**Теорема Виета** нередко даёт корни быстрее. Для приведённого уравнения $x^2 + px + q = 0$ (то есть при $a = 1$) сумма корней равна $-p$, а произведение равно $q$:

$$
x_1 + x_2 = -p, \qquad x_1 \cdot x_2 = q
$$

Для того же $x^2 - 9x + 20 = 0$ читается так: сумма корней 9, произведение 20. Два таких числа — 4 и 5. Дискриминант не понадобился вовсе, а без калькулятора это заметная экономия. Приём работает, когда коэффициенты целые и небольшие; не подобрались числа за полминуты — считай дискриминант, он не подведёт никогда.

**Неполные квадратные** решаются ещё быстрее, но именно на них теряют корень. Если нет слагаемого с $x$, уравнение $x^2 = 121$ даёт **два** корня: $x = 11$ и $x = -11$, потому что квадрат отрицательного числа тоже положителен. Если нет свободного члена, выноси $x$ за скобку: $x^2 - 7x = 0$ превращается в $x(x - 7) = 0$, откуда $x = 0$ и $x = 7$.

Ещё два случая. При $D = 0$ корень один: у $x^2 - 6x + 9 = 0$ дискриминант $36 - 36 = 0$ и $x = 3$. При $D < 0$ действительных корней нет. Но в задании 17 ответ нужно записать числом, поэтому отрицательный дискриминант — сигнал перепроверить знаки коэффициентов, а не повод сдать пустой бланк.

## «Укажите наименьший корень» — самая дорогая строка условия

Квадратное уравнение обычно даёт два корня, а в бланк идёт одно число. Поэтому условие почти всегда заканчивается уточнением: если корней несколько, запишите наименьший — или наибольший. Эта строка не украшение, она и есть половина задания.

**Наименьший корень — тот, что левее на числовой прямой**, а не тот, что меньше по модулю. Разница видна на отрицательных числах. У уравнения $x^2 + 2x - 15 = 0$ дискриминант $4 + 60 = 64$, корень из него 8, а корни равны $x_{1,2} = \dfrac{-2 \pm 8}{2}$, то есть 3 и −5.

Наименьший здесь $-5$, наибольший $3$. Хотя по модулю пятёрка больше тройки, на прямой она левее — и потому меньше. Это ровно та подмена, из-за которой верно решённое уравнение приносит ноль баллов.

Рабочая привычка: как только нашёл корни, вернись глазами к последней строке условия и подчеркни в ней слово «наименьший» или «наибольший». Потом выпиши оба корня в порядке возрастания и выбери нужный конец. Две лишние секунды против целого балла — размен выгодный.

*Рисунок: Корни уравнения x² + 2x − 15 = 0 на числовой прямой: наименьший — левый, даже если по модулю он больше*

## Степень выше второй: произведение равно нулю

Иногда в задании 17 попадается уравнение третьей или четвёртой степени. Пугаться не нужно: специальных формул для них не существует, работает одна мысль — **произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю**. Значит, задача сводится к тому, чтобы собрать всё слева и разложить на множители.

Возьмём $x^3 = 9x$. Переносим влево и выносим общий множитель:

$$
x^3 - 9x = 0 \;\Longrightarrow\; x(x^2 - 9) = 0 \;\Longrightarrow\; x(x - 3)(x + 3) = 0
$$

Каждый множитель по очереди приравниваем к нулю: корни $0,\; 3,\; -3$. Наибольший — 3, наименьший — −3.

**Делить обе части на выражение с переменной нельзя.** Если в самом начале поделить $x^3 = 9x$ на $x$, останется $x^2 = 9$ и корни $\pm 3$ — а ноль исчезнет бесследно. И если в условии просили наименьший корень, ответ уже испорчен. Выносить за скобку можно, делить — нет.

На разложение работает формула разности квадратов, её тоже держат в голове, потому что в справочных материалах формул сокращённого умножения нет:

$$
a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
$$

Она же выручает в четвёртой степени: $x^4 - 16 = 0$ раскладывается как $(x^2 - 4)(x^2 + 4) = 0$. Первая скобка даёт $x = \pm 2$, а вторая нулём стать не может: $x^2 + 4 \geqslant 4$ при любом $x$. Итого два корня, а не четыре.

## Как решать дробно-рациональные уравнения?

Как только переменная оказалась в знаменателе, порядок действий меняется: **сначала выпиши, что запрещено, потом ищи корни, потом вычеркни из них запрещённое**. Именно в таком порядке. Если оставить проверку на конец, про неё легко забыть.

Простейший случай — дробь равна нулю. Дробь равна нулю только там, где её числитель равен нулю, но при этом дробь должна существовать:

$$
\dfrac{P(x)}{Q(x)} = 0 \;\Longleftrightarrow\; \begin{cases} P(x) = 0, \\ Q(x) \neq 0. \end{cases}
$$

Разберём $\dfrac{x^2 - x - 12}{x + 3} = 0$. Сначала запрет: $x + 3 \neq 0$, то есть $x \neq -3$. Теперь числитель — по теореме Виета ищем два числа с суммой 1 и произведением −12, это 4 и −3, поэтому $x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3)$. Нули числителя: 4 и −3.

И вот развязка: $-3$ обнуляет знаменатель, значит корнем он быть не может. Такое число называют **посторонним корнем** — оно подошло по числителю, но выброшено ОДЗ. Остаётся единственный корень $x = 4$. Заметь, как это опасно вместе с формулировкой задания: попроси условие наименьший корень — и рука сама потянется написать −3, то есть ровно то число, которого нет.

Если справа не ноль, удобнее умножить обе части на знаменатель. Уравнение $\dfrac{12}{x + 1} = 4$: ОДЗ $x \neq -1$, умножаем обе части на $x + 1$ и получаем $12 = 4(x + 1)$, откуда $x + 1 = 3$ и $x = 2$. Двойка запрету не противоречит. Проверка: $12 / 3 = 4$. Верно.

**В уравнении** умножать обе части на знаменатель можно — при условии, что ОДЗ уже записана. Ты получаешь новое уравнение, среди корней которого могут оказаться лишние, и ОДЗ их вылавливает. Поэтому подстановка найденного числа обратно в исходное уравнение — не перестраховка, а последний шаг решения.

*Рисунок: Нули числителя −3 и 4, но −3 обнуляет знаменатель и потому выколот: у уравнения остаётся единственный корень 4*

## Типы уравнений в одной таблице

*Какой приём выбрать для каждого типа уравнения в задании 17*

| Тип уравнения | Как решать | Пример из темы |
| --- | --- | --- |
| Линейное | Слагаемые с x собрать слева, числа справа, обе части разделить на коэффициент при x | $5x - 12 = 3x + 8$, $x = 10$ |
| Квадратное | $D = b^2 - 4ac, \quad x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ | $x^2 - 9x + 20 = 0$: D = 1, корни 4 и 5 |
| Приведённое квадратное | Теорема Виета: $x_1 + x_2 = -p, \quad x_1 \cdot x_2 = q$ | Сумма корней 9, произведение 20 — это 4 и 5 |
| Неполное без слагаемого с x | Два корня, потому что квадрат отрицательного числа тоже положителен | $x^2 = 121$: 11 и −11 |
| Неполное без свободного члена | Вынести x за скобку | $x^2 - 7x = 0$: 0 и 7 |
| Квадратное с D = 0 или D < 0 | При D = 0 корень один, при D < 0 действительных корней нет | $x^2 - 6x + 9 = 0$: D = 0, x = 3 |
| Степень выше второй | Собрать всё слева и разложить на множители; делить на выражение с x нельзя | $x^3 = 9x$: корни 0, 3, −3 |
| Дробь равна нулю | $\dfrac{P(x)}{Q(x)} = 0 \iff P(x) = 0,\ Q(x) \neq 0$ | $\dfrac{x^2 - x - 12}{x + 3} = 0$: корень 4, число −3 посторонний |
| Дробь равна числу | Записать ОДЗ, умножить обе части на знаменатель, проверить корень подстановкой | $\dfrac{12}{x + 1} = 4$: ОДЗ x ≠ −1, x = 2 |

## Как решать уравнение в задании 17 по шагам?

1. **Посмотри, есть ли переменная в знаменателе.** Нет — уравнение целое, запретов не будет. Есть — дробно-рациональное, и следующий шаг обязателен.
2. **Выпиши ОДЗ первой строкой.** Приравняй каждый знаменатель к нулю и запиши, каким $x$ быть не может. Это делается до вычислений, а не после.
3. **Приведи уравнение к привычному виду.** Раскрой скобки, умножь обе части на знаменатель или на 10, если мешают десятичные дроби, перенеси всё в одну сторону.
4. **Реши.** Линейное — перенос и деление. Квадратное — дискриминант или теорема Виета. Степень выше второй — вынеси общий множитель и приравняй каждый множитель к нулю.
5. **Вычеркни то, что запрещено ОДЗ.** Каждый найденный корень сверь со списком запретов. Совпал с запретом — это посторонний корень, в ответ он не идёт.
6. **Перечитай последнюю строку условия.** Наименьший или наибольший? Выпиши оставшиеся корни по возрастанию и возьми нужный конец: наименьший — левый на числовой прямой.
7. **Подставь ответ в исходное уравнение.** Полминуты работы, а ловит и арифметику, и потерянный знак. В задании 17 это самая выгодная проверка на экзамене.

## Разбор: квадратное уравнение с выбором корня

**Условие.** Решите уравнение x² + 2x − 15 = 0. Если корней несколько, в ответе укажите наименьший.

**Решение.**

- **Шаг 1. Тип.** Переменной в знаменателе нет — уравнение целое, ОДЗ выписывать не нужно, подставлять можно любое число.
- **Шаг 2. Коэффициенты.** $a = 1$, $b = 2$, $c = -15$. Считаем дискриминант:
- $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$
- Минус на минус дал плюс — отсюда и 60 со знаком плюс. Корень из 64 равен 8, число удобное: значит, коэффициенты подобраны верно.
- **Шаг 3. Корни.**
- $x_{1,2} = \dfrac{-2 \pm 8}{2} \;\Longrightarrow\; x_1 = \dfrac{6}{2} = 3, \quad x_2 = \dfrac{-10}{2} = -5$
- Быстрая сверка по теореме Виета: сумма корней должна равняться $-b = -2$, и правда $3 + (-5) = -2$. Произведение должно равняться $c = -15$, и правда $3 \cdot (-5) = -15$. Оба корня найдены верно.
- **Шаг 4. Выбираем нужный.** Просили наименьший. Выписываем корни по возрастанию: $-5 < 3$. Наименьший — $-5$. То, что пятёрка «больше» тройки по модулю, значения не имеет: на числовой прямой она левее.
- **Шаг 5. Проверка.** Подставляем $x = -5$ в исходное уравнение: $25 - 10 - 15 = 0$. Равенство верное — записываем в бланк.

**Ответ:** −5.

## Разбор: дробно-рациональное уравнение

**Условие.** Решите уравнение x + 8/x = 6. Если корней несколько, в ответе укажите наибольший.

**Решение.**

- **Шаг 1. ОДЗ.** Переменная стоит в знаменателе, значит $x \neq 0$. Записываем это сразу, до всяких вычислений.
- **Шаг 2. Избавляемся от дроби.** Умножаем обе части на $x$ — целиком, каждое слагаемое:
- $x \cdot x + \dfrac{8}{x} \cdot x = 6 \cdot x \;\Longrightarrow\; x^2 + 8 = 6x$
- **Шаг 3. Переносим всё влево**, чтобы получить привычное квадратное уравнение:
- $x^2 - 6x + 8 = 0$
- **Шаг 4. Решаем.** Здесь быстрее Виета: сумма корней 6, произведение 8. Два таких числа — 2 и 4. Если подбор не идёт, работает дискриминант: $D = 36 - 32 = 4$, корень из него 2, и $x_{1,2} = (6 \pm 2)/2$ — те же 4 и 2.
- **Шаг 5. Сверяем с ОДЗ.** Запрет был один: $x \neq 0$. Ни 2, ни 4 в него не попадают — оба корня годятся.
- **Шаг 6. Читаем вопрос.** Просили наибольший корень. Из 2 и 4 наибольший — 4.
- **Шаг 7. Проверка.** Подставляем: $4 + 8/4 = 4 + 2 = 6$. Сходится. Для спокойствия можно проверить и второй корень: $2 + 8/2 = 2 + 4 = 6$ — тоже верно, оба числа действительно корни.

**Ответ:** 4.

## Проверь себя

Пять вопросов по тем местам, где в задании 17 чаще всего теряют балл. Считай на бумаге: калькулятора на экзамене не будет.

1. Решите уравнение x² − 3x − 10 = 0. Если корней несколько, укажите наименьший.
   - −2 — **верный ответ**
   - 2
   - 5
   - −5

   *Пояснение:* D = (−3)² − 4·1·(−10) = 9 + 40 = 49, корень из него 7. Тогда x = (3 ± 7)/2, то есть x₁ = 5 и x₂ = −2. Наименьший корень — тот, что левее на числовой прямой, а это −2. Вариант −5 появляется, если перепутать корни с множителями разложения; вариант 5 — если взять наибольший вместо наименьшего.

2. Решите уравнение (x² − 2x − 8)/(x − 4) = 0.
   - 4
   - −2 — **верный ответ**
   - 2
   - Уравнение не имеет корней

   *Пояснение:* Сначала запрет: x − 4 ≠ 0, то есть x ≠ 4. Числитель раскладывается как (x − 4)(x + 2) — по Виета сумма корней 2, произведение −8. Нули числителя: 4 и −2. Но 4 обнуляет знаменатель, это посторонний корень. Остаётся единственный ответ −2. Проверка: числитель 4 + 4 − 8 = 0, знаменатель −2 − 4 = −6 ≠ 0.

3. Сколько корней у уравнения x³ = 16x?
   - Один
   - Два
   - Три — **верный ответ**
   - Четыре

   *Пояснение:* Переносим всё влево и выносим множитель: x³ − 16x = 0, то есть x(x − 4)(x + 4) = 0. Приравнивая каждый множитель к нулю, получаем три корня: 0, 4 и −4. Если поделить обе части на x в самом начале, останется x² = 16 и только два корня — потерянный ноль как раз и есть наименьший по величине из положительных вариантов ответа... точнее, он вообще выпадает из ответа, а при вопросе о наименьшем корне ответом должно быть −4.

4. Ученик решает уравнение (x + 3)/(x − 1) = 4/(x − 1). Он умножил обе части на (x − 1), получил x + 3 = 4 и записал в ответ x = 1. Что здесь не так?
   - Ничего, ответ верный
   - Число 1 обнуляет знаменатель, поэтому корнем быть не может — у уравнения корней нет — **верный ответ**
   - Надо было умножить обе части на (x + 3)
   - Ошибка в арифметике: получится x = 7

   *Пояснение:* ОДЗ здесь x ≠ 1: при x = 1 знаменатель обращается в ноль, а на ноль делить нельзя. Умножение на знаменатель дало верное следствие x = 1, но это посторонний корень — единственный кандидат оказался запрещённым. Именно ради таких случаев ОДЗ выписывают первой строкой, а найденное число подставляют обратно в исходное уравнение.

5. Решите уравнение x² = 0,25. Если корней несколько, укажите наименьший.
   - 0,5
   - −0,5 — **верный ответ**
   - 0,05
   - 0,125

   *Пояснение:* Уравнение вида x² = a при положительном a даёт два корня: 0,5 и −0,5, потому что квадрат отрицательного числа тоже положителен (0,5² = 0,25 и (−0,5)² = 0,25). Наименьший из них −0,5. Вариант 0,125 — это половина от 0,25, к квадратному корню он отношения не имеет.

## Какие ошибки делают в уравнениях задания 17?

- **Ошибка 1.** **Записывают не тот корень.** В условии просят наименьший, а в бланк уходит наибольший — или наоборот. Особенно коварны отрицательные корни: из 3 и −5 наименьший это −5, хотя по модулю пятёрка больше. Подчеркни нужное слово в условии до того, как начнёшь считать.
- **Ошибка 2.** **Забывают про ОДЗ в дробно-рациональном уравнении.** У $\dfrac{x^2 - x - 12}{x + 3} = 0$ нули числителя 4 и −3, но −3 обнуляет знаменатель. Это посторонний корень, и в ответе остаётся только 4. Обиднее всего, что запрещённое число часто оказывается ровно тем, о котором спрашивают.
- **Ошибка 3.** **Делят обе части на выражение с переменной.** Из $x^3 = 9x$ делением на $x$ получают $x^2 = 9$ и теряют корень $x = 0$. Выносить общий множитель за скобку — можно, делить на него — нет.
- **Ошибка 4.** **Теряют второй корень у неполного квадратного.** Уравнение $x^2 = 121$ имеет два корня, 11 и −11, а не один. Если просили наименьший, верный ответ −11.
- **Ошибка 5.** **Ошибаются в знаке при подстановке в дискриминант.** В формуле стоит $-b$ и $-4ac$: при отрицательном $b$ в числитель идёт плюс, при отрицательном $c$ к $b^2$ прибавляют. Выпиши $a, b, c$ со знаками отдельной строкой — так ошибиться труднее.
- **Ошибка 6.** **Пишут в бланк два числа или ответ вида «x = 4».** В задании 17 ответ — одно число: целое или конечная десятичная дробь. Запись $\pm 7$, перечисление корней через запятую или буква перед числом делают ответ неверным по форме.
- **Ошибка 7.** **Надеются найти дискриминант в справочных материалах.** Их выдают вместе с КИМ, но там свойства степеней и логарифмов, площади, объёмы и тригонометрическая таблица. Ни формулы корней квадратного уравнения, ни формул сокращённого умножения там нет — это учат наизусть.

## Запомни для ЕГЭ

- $D = b^2 - 4ac, \quad x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$
- $x^2 + px + q = 0: \;\; x_1 + x_2 = -p, \;\; x_1 x_2 = q$
- $\dfrac{P(x)}{Q(x)} = 0 \iff \begin{cases} P(x) = 0 \\ Q(x) \neq 0 \end{cases}$
- $x^2 = a \;(a > 0) \;\Longrightarrow\; x = \pm\sqrt{a}$
- $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
- Произведение равно нулю, когда нулю равен хотя бы один множитель
- Наименьший корень — левый на числовой прямой: −5 меньше 3

## На экзамене

- Задание 17 стоит 1 балл, как и все остальные двадцать. Закладывай на него 2–3 минуты и не застревай: любой другой номер стоит ровно столько же.
- Числа в этом задании подобраны так, чтобы считаться в уме. Если дискриминант вышел четырёхзначным и корень из него не извлекается, почти наверняка потерян знак — перепроверь коэффициенты, а не бросай задание.
- Калькулятора не будет, зато будет линейка и справочные материалы. Загляни в них заранее, ещё при подготовке: тогда на экзамене не потеряешь минуту в поисках дискриминанта, которого там нет.
- Подстановка найденного корня в исходное уравнение — самая дешёвая страховка в этом номере. Она ловит и арифметику, и посторонний корень, и потерянный знак, а занимает полминуты.
- Последнее действие перед записью в бланк — вернуться к условию и перечитать его последнюю строку. Наименьший или наибольший? Это не проверка решения, это проверка ответа, и она нужна отдельно.
- Если в задании 17 попалось уравнение с корнем, степенью, логарифмом или синусом — техника из этой темы всё равно работает: такие уравнения сводят к линейному или квадратному, а дальше ты уже дома. Сами приёмы сведения разбираются в темах кодов 2.2–2.5.

## Словарь темы

- **Корень уравнения** — Число, при подстановке которого уравнение обращается в верное числовое равенство. Проверить кандидата можно всегда: подставь его в исходное уравнение.
- **Целое рациональное уравнение** — Уравнение, в котором переменная не входит ни в один знаменатель. Ограничений на значения переменной нет.
- **Дробно-рациональное уравнение** — Уравнение, где переменная стоит в знаменателе хотя бы одной дроби. Требует записать ОДЗ и отсеять посторонние корни.
- **ОДЗ (область допустимых значений)** — Множество значений переменной, при которых все выражения уравнения имеют смысл. Для дробей условие одно: знаменатель не равен нулю.
- **Посторонний корень** — Число, которое получилось по ходу решения, но не входит в ОДЗ исходного уравнения. Чаще всего появляется после умножения обеих частей на знаменатель. В ответ не идёт.
- **Дискриминант** — Число D = b² − 4ac для уравнения ax² + bx + c = 0. При D > 0 корней два, при D = 0 корень один, при D < 0 действительных корней нет.
- **Теорема Виета** — Для приведённого квадратного уравнения x² + px + q = 0 сумма корней равна −p, а произведение равно q. Позволяет подобрать целые корни без дискриминанта и быстро проверить найденные.
- **Неполное квадратное уравнение** — Квадратное уравнение, в котором отсутствует слагаемое с x или свободный член. Решается без дискриминанта: извлечением корня или вынесением x за скобку.

## Частые вопросы

### Что такое корень уравнения?

Корень уравнения — число, при подстановке которого уравнение обращается в верное числовое равенство. Проверить кандидата можно всегда: подставь его в исходное уравнение. Число, которое получилось по ходу решения, но не входит в ОДЗ, — посторонний корень, и в ответ оно не идёт.

### Как решать задание 17 по базовой математике?

Шаги такие:

1. посмотри, есть ли переменная в знаменателе
2. выпиши ОДЗ первой строкой
3. приведи уравнение к привычному виду
4. реши
5. вычеркни то, что запрещено ОДЗ
6. перечитай последнюю строку условия
7. подставь ответ в исходное уравнение.

### Какие ошибки чаще всего допускают в теме «Целые и дробно-рациональные уравнения»?

Записывают не тот корень. В условии просят наименьший, а в бланк уходит наибольший — или наоборот. Особенно коварны отрицательные корни: из 3 и −5 наименьший это −5, хотя по модулю пятёрка больше. Подчеркни нужное слово в условии до того, как начнёшь считать.

### Что нужно запомнить по теме «Целые и дробно-рациональные уравнения»?

Главное:

1. D = b² - 4ac, x_(1,2) = (-b ± √D)/(2a)
2. x² + px + q = 0: x₁ + x₂ = -p, x₁ x₂ = q
3. P(x)/Q(x) = 0 ⇔ {P(x) = 0; Q(x) ≠ 0}
4. x² = a (a > 0) ⇒ x = ±√a
5. a² - b² = (a - b)(a + b).

Остальное — в разделе темы выше.

## Источники

- [Демоверсия, спецификация и кодификатор ЕГЭ 2027 по базовой математике (архив ФИПИ)](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/ma_11_2027.zip). ФИПИ, проект 2027 года.
- [ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory). ФИПИ, проект 2027 года.
- Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413, в редакции приказа Минпросвещения России от 12.08.2022 № 732)
- Федеральная образовательная программа среднего общего образования (приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371)

**Соответствие кодификатору ЕГЭ 2027** (проект ФИПИ): 2.1 «Целые и дробно-рациональные уравнения».

**Что сверено по документам:**

- Тема соответствует коду 2.1 кодификатора ЕГЭ по математике («Целые и дробно-рациональные уравнения») и проверяется заданием 17 базового уровня.
- Задание 17 — решение уравнения; ответ краткий, одно число, 1 балл; все 21 задание базовой математики стоят по 1 баллу.
- В условии задания 17 есть требование «если корней несколько, запишите наименьший (наибольший)», и именно на нём чаще всего теряют балл.
- Калькулятор на базовой математике запрещён, разрешена линейка; справочные материалы выдаются вместе с КИМ и содержат свойства степеней и логарифмов, площади фигур, объёмы тел, тригонометрические тождества и таблицу значений, геометрический смысл производной.
- Формулы дискриминанта, корней квадратного уравнения, теоремы Виета и формул сокращённого умножения в справочных материалах нет — их нужно помнить.
- D = b² − 4ac и x = (−b ± √D)/(2a) — формулы корней квадратного уравнения; при D > 0 корня два, при D = 0 корень один, при D < 0 действительных корней нет.
- Корни уравнения x² − 9x + 20 = 0 равны 4 и 5; D = 1.
- Корни уравнения x² + 2x − 15 = 0 равны 3 и −5; наименьший из них −5, наибольший 3; D = 64.
- Корни уравнения x + 8/x = 6 равны 2 и 4, оба удовлетворяют ОДЗ x ≠ 0; наибольший — 4.
- Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
- У уравнения (x² − x − 12)/(x + 3) = 0 единственный корень 4: число −3 обнуляет знаменатель и является посторонним корнем.
- У уравнения (x² − 2x − 8)/(x − 4) = 0 единственный корень −2.
- Уравнение 12/(x + 1) = 4 имеет корень x = 2 при ОДЗ x ≠ −1.
- Уравнение (x + 3)/(x − 1) = 4/(x − 1) не имеет корней: единственный кандидат x = 1 запрещён ОДЗ.
- Уравнение x³ = 9x имеет три корня: 0, 3 и −3; деление обеих частей на x теряет корень 0.
- Произведение множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю.
- a² − b² = (a − b)(a + b); x⁴ − 16 = 0 имеет ровно два действительных корня, ±2.
- x² = 121 даёт два корня, 11 и −11; x² = 0,25 даёт 0,5 и −0,5.
- x² − 7x = 0 имеет корни 0 и 7; x² − 6x + 9 = 0 имеет единственный корень 3 (D = 0).
- Корни уравнения x² − 3x − 10 = 0 равны 5 и −2, наименьший −2.

## Связанные материалы

- [Разбор задания на ЕГЭ](https://neuromisha.ru/ege/matematika-baza/zadanie-17/)
- [Теорема Виета: формулы и примеры решения](https://neuromisha.ru/spravochnik/teorema-vieta/)
- [Дискриминант: формула и как найти корни квадратного уравнения](https://neuromisha.ru/spravochnik/formula-diskriminanta/)
- [Справочные материалы ЕГЭ 2027 по базовой математике и 70 формул](https://neuromisha.ru/materialy/formuly-matematika-baza-ege/)

---

Источник: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika-baza/celye-i-drobno-racionalnye-uravneniya/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.