---
title: "Логарифм числа на базовом ЕГЭ: задание 16, правила и примеры"
description: "Логарифм — это показатель степени. Как без калькулятора считать log, lg и ln и какие свойства нужны в задании 16 базового ЕГЭ: разборы и тест."
url: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika-baza/logarifm-chisla/
subject: "Математика база"
exam: "ЕГЭ 2027"
kim: "Задание 16 КИМ (1 балл)"
dateModified: 2026-10-03
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Логарифм числа на базовом ЕГЭ

Логарифм числа b по основанию a — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получилось b: например, log₂ 32 = 5, потому что 2⁵ = 32. На базовом ЕГЭ по математике тема нужна в задании 16 (1 балл): значение выражения с логарифмами находят без калькулятора и записывают в бланк одним числом.

Логарифм пугает видом, хотя за ним стоит один короткий вопрос: в какую степень возвести основание, чтобы получить нужное число. На базовом ЕГЭ это задание 16 — одно число в бланк, и без калькулятора. Разберём определение, десятичный и натуральный логарифмы и те свойства, которые реально нужны для счёта.

**Задание КИМ:** Задание 16 КИМ (1 балл)  
**Баллы:** Макс. 1 балл  
**Обновлено:** 2026-10-03

## Что такое логарифм числа?

Со степенями ты уже работал: $2^5 = 32$. Логарифм задаёт тот же самый вопрос, только с другого конца: известны основание 2 и результат 32, а найти надо показатель. Ответ и есть логарифм.

**Логарифм числа** $b$ по основанию $a$ — это показатель степени, в которую нужно возвести $a$, чтобы получить $b$. Записывают так:

$$
\log_a b = c \quad \Longleftrightarrow \quad a^c = b
$$

Читается «логарифм бэ по основанию а». Число $a$ называют **основанием**, число $b$ — **аргументом** (или подлогарифмическим выражением).

У этой записи есть жёсткие ограничения, и они не украшение, а часть определения: **основание** $a > 0$ и $a \neq 1$, **аргумент** $b > 0$. Причина простая: единицу в любой степени даёт единицу, поэтому основание 1 не годится, а положительное число ни в какой степени не даст ноль или отрицательное число — поэтому аргумент строго больше нуля. Записи вида $\log_2(-8)$ или $\log_2 0$ смысла не имеют.

А вот сам логарифм отрицательным быть вполне может: $\log_2 \tfrac18 = -3$, потому что $2^{-3} = \tfrac18$. Отрицательным не бывает аргумент — не путай эти две вещи.

*Рисунок: Логарифм — это показатель степени: log₂ 32 = 5, потому что 2⁵ = 32. Оранжевым выделено основание, зелёным — сам логарифм*

## Как посчитать логарифм в уме?

Калькулятор на экзамене запрещён, поэтому все логарифмы в задании 16 подобраны так, чтобы считаться устно. Приём один: **представь аргумент степенью основания** — и показатель этой степени сразу даст ответ.

Разберём подряд. $\log_3 81$: спрашиваем себя «в какую степень возвести 3, чтобы вышло 81». Перебираем: 3, 9, 27, 81 — это четвёртая степень, значит ответ 4. $\log_5 125 = 3$, потому что $5^3 = 125$. $\log_4 64 = 3$, потому что $4^3 = 64$.

Два значения стоит просто запомнить, они встречаются постоянно:

$$
\log_a a = 1, \qquad \log_a 1 = 0
$$

Первое — потому что $a^1 = a$, второе — потому что любое число в нулевой степени равно единице. Отсюда $\log_7 7 = 1$ и $\log_7 1 = 0$, и никакого счёта здесь не нужно.

Чтобы «перебор степеней» шёл быстро, держи в голове таблицу ниже. Ничего сверх неё в задании 16 обычно и не требуется: аргументы берут из этих же чисел.

Если аргумент меньше единицы, показатель уходит в минус: $\log_3 \tfrac{1}{27} = -3$, потому что $3^{-3} = \tfrac{1}{27}$. Отрицательный ответ в бланке — нормальное явление, минус в этом задании не запрещён.

*Рисунок: Степени двойки, тройки и пятёрки — рабочий минимум для устного счёта в задании 16*

## Десятичный lg и натуральный ln

Два основания используются так часто, что для них завели отдельные обозначения — и именно они вынесены в название темы.

**Десятичный логарифм** — логарифм по основанию 10. Пишут $\lg b$ вместо $\log_{10} b$. Считается ровно так же: $\lg 100 = 2$, потому что $10^2 = 100$; $\lg 10000 = 4$; $\lg 1 = 0$. С дробями работает минус: $\lg 0{,}001 = -3$, ведь $10^{-3} = 0{,}001$. Удобное правило для круглых чисел: у степени десятки логарифм равен количеству нулей, а у десятичной дроби — количеству знаков после запятой со знаком минус.

**Натуральный логарифм** — логарифм по основанию $e$. Пишут $\ln b$ вместо $\log_e b$. Здесь $e$ — иррациональное число, примерно 2,72; точное значение выписать нельзя, как и у числа $\pi$. Но считать это не мешает: аргументы в заданиях подбирают степенями самого $e$.

$$
\ln e = 1, \qquad \ln 1 = 0, \qquad \ln e^{k} = k
$$

То есть $\ln e^5 = 5$ — и никакого приближённого счёта с числом 2,72 не требуется.

Главное, что нужно унести: **lg и ln — не два разных зверя, а обычные логарифмы с фиксированными основаниями** 10 и $e$. Все свойства из следующего блока работают для них без изменений. И не путай сами обозначения: $\lg$ — это десятка, $\ln$ — это $e$. Одной перепутанной буквы хватает, чтобы потерять балл на пустом месте.

## Какие свойства логарифмов нужны на экзамене?

Свойства логарифмов есть в справочных материалах, которые выдают вместе с КИМ, — заучивать их наизусть не обязательно. А вот понимать, какое из них когда применять, придётся: искать нужную строчку в справочнике посреди экзамена долго.

**Основное логарифмическое тождество.** Если возвести основание в степень, равную логарифму по этому же основанию, получится сам аргумент:

$$
a^{\log_a b} = b
$$

Это не фокус, а прямое прочтение определения: логарифм и есть тот показатель, который даёт $b$. Отсюда $5^{\log_5 11} = 11$ и $10^{\lg 6} = 6$. Ключевое условие — **основания совпадают**. В записи $2^{\log_5 7}$ тождество не работает, там 2 и 5 разные.

**Сумма и разность.** Логарифмы с одинаковым основанием складываются и вычитаются так:

$$
\log_a xy = \log_a x + \log_a y, \qquad \log_a \dfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y
$$

Читай справа налево: сумма логарифмов — это логарифм **произведения**, разность — логарифм **частного**. Например, $\log_6 4 + \log_6 9 = \log_6 36 = 2$: по отдельности ни 4, ни 9 степенями шестёрки не являются, а их произведение — да.

**Показатель выносится вперёд.** Степень внутри логарифма превращается в множитель:

$$
\log_a b^{k} = k \log_a b
$$

Проверь на понятном: $\log_2 4^3 = 3\log_2 4 = 3 \cdot 2 = 6$. И то же самое в лоб: $4^3 = 64 = 2^6$. Сходится.

И самое важное ограничение всех трёх свойств: **они работают только при одинаковых основаниях**. Выражение $\log_2 8 + \log_4 16$ в один логарифм не сворачивается — основания 2 и 4 разные. Такие суммы считают по частям: $\log_2 8 = 3$, $\log_4 16 = 2$, в сумме 5.

## Свойства логарифма в одной таблице

*Определение и свойства логарифма с примерами из темы*

| Правило | Формула | Пример |
| --- | --- | --- |
| Определение | $\log_a b = c \Longleftrightarrow a^c = b$ | $\log_2 32 = 5$, потому что $2^5 = 32$ |
| Ограничения | $a > 0,\ a \neq 1,\ b > 0$ | Записи $\log_2(-8)$ и $\log_2 0$ смысла не имеют; сам логарифм может быть отрицательным: $\log_2 \tfrac18 = -3$ |
| Логарифм основания и единицы | $\log_a a = 1, \quad \log_a 1 = 0$ | $\log_7 7 = 1$, $\log_7 1 = 0$ |
| Десятичный логарифм | $\lg b = \log_{10} b$ | $\lg 100 = 2$, $\lg 0{,}001 = -3$ |
| Натуральный логарифм | $\ln e = 1, \quad \ln 1 = 0, \quad \ln e^{k} = k$ | $\ln e^5 = 5$; основание e примерно 2,72 |
| Основное логарифмическое тождество | $a^{\log_a b} = b$ | $5^{\log_5 11} = 11$; основания степени и логарифма должны совпадать |
| Логарифм произведения | $\log_a xy = \log_a x + \log_a y$ | $\log_6 4 + \log_6 9 = \log_6 36 = 2$ |
| Логарифм частного | $\log_a \dfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$ | $\log_2 40 - \log_2 5 = \log_2 8 = 3$ |
| Показатель выносится вперёд | $\log_a b^{k} = k \log_a b$ | $\log_2 4^3 = 3\log_2 4 = 6$ |

Все свойства с условиями и примерами — в справочнике: [«Свойства логарифмов»: таблица формул](https://neuromisha.ru/spravochnik/svoystva-logarifmov/) (есть PDF для печати).

## Как решать задание 16 с логарифмами?

1. **Посмотри на основания.** Одинаковые — можно сворачивать сумму и разность в один логарифм. Разные — считай каждый логарифм отдельно и складывай уже числа.
2. **Переведи запись в вопрос «в какую степень».** $\log_5 125$ — это «в какую степень возвести 5, чтобы получить 125». Дальше работает таблица степеней, а не формулы.
3. **Если логарифм сидит в показателе степени,** ищи основное тождество $a^{\log_a b} = b$. Мешающее слагаемое в показателе сначала отдели: $a^{k + \log_a b} = a^k \cdot a^{\log_a b}$.
4. **Досчитай до одного числа.** Ответ в задании 16 — одно число, а не выражение. Логарифм в ответе остаться не может.
5. **Проверь обратным ходом.** Получил 5 для $\log_2 32$ — быстро возведи: $2^5 = 32$. Сошлось — записывай в бланк. Проверка занимает секунды и ловит почти все ошибки.

## Разбор: разность логарифмов

**Условие.** Найдите значение выражения log₂ 40 − log₂ 5.

**Решение.**

- Первый порыв — посчитать каждый логарифм отдельно. Но 40 степенью двойки не является, так что этот путь тупиковый. Смотрим на основания: у обоих логарифмов оно равно 2, значит разность можно свернуть.
- Разность логарифмов — это логарифм частного:
- $\log_2 40 - \log_2 5 = \log_2 \dfrac{40}{5} = \log_2 8$
- Осталось ответить на вопрос «в какую степень возвести 2, чтобы получить 8»:
- $\log_2 8 = 3, \quad \text{так как} \quad 2^3 = 8$
- Проверка обратным ходом: $2^3 = 8$, а $8 \cdot 5 = 40$ — исходные числа сошлись.

**Ответ:** 3.

## Разбор: логарифм в показателе степени

**Условие.** Найдите значение выражения 3^(2 + log₃ 4).

**Решение.**

- В показателе стоит сумма, а степень с суммой в показателе всегда распадается на произведение: $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$. Это свойство степеней, оно тоже есть в справочных материалах.
- $3^{\,2 + \log_3 4} = 3^2 \cdot 3^{\log_3 4}$
- Первый множитель считается сразу: $3^2 = 9$.
- Во втором основание степени и основание логарифма совпадают — оба тройки. Работает основное логарифмическое тождество:
- $3^{\log_3 4} = 4$
- Перемножаем то, что получилось:
- $9 \cdot 4 = 36$
- Обрати внимание: само значение $\log_3 4$ мы так и не нашли — оно не целое, и находить его не требовалось. Тождество убрало логарифм целиком.

**Ответ:** 36.

## Разбор: десятичные логарифмы

**Условие.** Найдите значение выражения lg 500 + lg 2.

**Решение.**

- Обозначение lg означает основание 10, причём у обоих слагаемых оно одинаковое. Значит, сумму можно свернуть в логарифм произведения.
- $\lg 500 + \lg 2 = \lg (500 \cdot 2) = \lg 1000$
- Дальше — обычный вопрос про степень: в какую степень возвести 10, чтобы получить 1000.
- $\lg 1000 = 3, \quad \text{так как} \quad 10^3 = 1000$
- По отдельности ни $\lg 500$, ни $\lg 2$ целыми не были — вся идея задания в том, чтобы сначала перемножить аргументы, а уже потом считать.

**Ответ:** 3.

## Проверь себя

Шесть вопросов по тем местам, где в задании 16 теряют балл. Считай в уме, калькулятор на экзамене всё равно не дадут.

1. Чему равно log₄ 64?
   - 3 — **верный ответ**
   - 4
   - 8
   - 16

   *Пояснение:* Вопрос звучит так: в какую степень возвести 4, чтобы получить 64. Перебираем: 4, 16, 64 — это третья степень. Значит log₄ 64 = 3. Вариант 16 возникает, если по привычке делить 64 на 4, но логарифм — это показатель степени, а не результат деления.

2. Чему равно 7^(log₇ 12)?
   - 7
   - 12 — **верный ответ**
   - 84
   - 19

   *Пояснение:* Основание степени и основание логарифма совпадают, поэтому работает основное логарифмическое тождество a^(log_a b) = b. Ответ — сам аргумент, то есть 12. Само значение log₇ 12 искать не нужно, оно не целое.

3. Чему равно lg 0,01?
   - 2
   - −2 — **верный ответ**
   - 0,01
   - −0,01

   *Пояснение:* Запись lg означает основание 10. Число 0,01 — это 10 в минус второй степени, значит lg 0,01 = −2. Отрицательный ответ здесь нормален: отрицательным не может быть аргумент, а само значение логарифма — сколько угодно.

4. Какое из равенств верно?
   - lg 3 + lg 4 = lg 7
   - lg 3 + lg 4 = lg 12 — **верный ответ**
   - lg 3 · lg 4 = lg 12
   - lg 12 − lg 3 = lg 9

   *Пояснение:* Сумма логарифмов с одинаковым основанием — это логарифм произведения: lg 3 + lg 4 = lg (3·4) = lg 12. Вариант с lg 7 — самая частая ошибка темы: логарифм суммы и сумма логарифмов не связаны. В последнем варианте разность даёт логарифм частного: lg 12 − lg 3 = lg 4, а не lg 9.

5. Чему равно ln e⁵?
   - 0
   - 1
   - 5 — **верный ответ**
   - e⁵

   *Пояснение:* Запись ln означает логарифм по основанию e. Вопрос «в какую степень возвести e, чтобы получить e в пятой» отвечает сам на себя: ответ 5. Приближённое значение e ≈ 2,72 здесь совершенно не нужно.

6. Чему равно log₅ 5 + log₂ 32?
   - 5
   - 6 — **верный ответ**
   - 37
   - 160

   *Пояснение:* Основания разные (5 и 2), поэтому свернуть сумму в один логарифм нельзя — считаем по отдельности. log₅ 5 = 1 (основание равно аргументу), log₂ 32 = 5 (2⁵ = 32). В сумме 1 + 5 = 6. Вариант 37 получается, если сложить аргументы (5 + 32), вариант 160 — если их перемножить; ни то, ни другое к логарифмам с разными основаниями отношения не имеет.

## Какие ошибки делают в задачах с логарифмами?

- **Ошибка 1.** **Разбивают логарифм суммы.** Записи $\log_a(x+y) = \log_a x + \log_a y$ не существует, это выдуманное свойство. Складывать в один логарифм можно только через **произведение**: $\log_a x + \log_a y = \log_a xy$. Проверь на числах: $\lg 100 + \lg 10 = 3$, а $\lg 110$ вообще не целое.
- **Ошибка 2.** **Применяют свойства к разным основаниям.** $\log_2 8 + \log_4 16$ по свойству суммы не сворачивается: оно работает только при одинаковом основании, а здесь 2 и 4. Считай каждый логарифм по отдельности и складывай готовые числа.
- **Ошибка 3.** **Путают lg и ln.** $\lg$ — основание 10, $\ln$ — основание $e$. Перепутал буквы — получил другое число при абсолютно верном ходе решения. Первым делом в любом задании определи основание и подпиши его, если запись непривычная.
- **Ошибка 4.** **Тянут основное тождество на чужое основание.** $a^{\log_a b} = b$ требует, чтобы основание степени и основание логарифма совпадали. В $2^{\log_5 7}$ они разные, и семёрка оттуда не получается.
- **Ошибка 5.** **Возводят логарифм в степень вместо выноса множителя.** $\log_a b^k$ — это $k \log_a b$, а не $(\log_a b)^k$. Степень относится к аргументу, и она выходит вперёд множителем.
- **Ошибка 6.** **Забывают ограничения.** Основание $a > 0$ и $a \neq 1$, аргумент $b > 0$. Логарифма нуля и отрицательного числа не существует. При этом **значение** логарифма отрицательным быть может — эти две вещи путают чаще всего.
- **Ошибка 7.** **Оставляют в ответе логарифм или бесконечную дробь.** В задании 16 ответ записывается целым числом или конечной десятичной дробью. Если в бланк просится $\log_2 5$ или что-то вроде 0,333…, значит, где-то потерялось свойство — вернись и пересчитай.

## Шпаргалка

- $\log_a b = c \Longleftrightarrow a^c = b$
- $a^{\log_a b} = b$
- $\log_a a = 1, \quad \log_a 1 = 0$
- $\log_a xy = \log_a x + \log_a y$
- $\log_a \dfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$
- $\log_a b^{k} = k \log_a b$
- lg — основание 10, ln — основание e (примерно 2,72)
- Аргумент строго больше нуля; основание больше нуля и не равно единице

## На экзамене

- Задание 16 стоит 1 балл, как и любое другое в этом варианте. Закладывай на него 2–3 минуты: логарифмы там подобраны под устный счёт, и долгие вычисления — признак того, что ты пошёл не тем путём.
- Свойства степеней и логарифмов есть в справочных материалах, которые выдают вместе с КИМ. Загляни туда в начале работы, чтобы на экзамене не искать нужную строчку впервые. А вот степени двойки, тройки и пятёрки до пятой держи в голове: их в справочнике нет, а калькулятор запрещён.
- Порядок действий всегда один: сначала смотрим на основания, потом сворачиваем или считаем по отдельности, в конце проверяем обратным возведением в степень.
- Ответ записывается в бланк как одно число, без слова «log» и без единиц измерения. Знак минус, если он получился, тоже переносится в бланк.
- Если свойство вылетело из головы, а логарифмы «хорошие», считай каждый в лоб по определению — этого хватает в большинстве заданий 16 с логарифмами.

## Словарь темы

- **Логарифм** — Показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить аргумент. Запись log_a b = c равносильна равенству a^c = b.
- **Основание логарифма** — Число, которое возводят в степень; в записи log_a b это a. Должно быть положительным и не равным единице.
- **Аргумент логарифма** — Число, которое хотят получить возведением основания в степень; в записи log_a b это b. Иначе называют подлогарифмическим выражением. Всегда строго больше нуля.
- **Основное логарифмическое тождество** — Равенство a^(log_a b) = b. Прямое следствие определения: логарифм и есть тот показатель, который превращает основание в аргумент. Требует совпадения оснований степени и логарифма.
- **Десятичный логарифм** — Логарифм по основанию 10, обозначается lg. Например, lg 1000 = 3.
- **Натуральный логарифм** — Логарифм по основанию e, обозначается ln. Например, ln e = 1.
- **Число e** — Иррациональное число, примерно равное 2,72. Служит основанием натурального логарифма; точное десятичное значение записать нельзя, как и у числа π.

## Частые вопросы

### Что такое логарифм числа?

Логарифм числа b по основанию a — показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b. Логарифм задаёт тот же вопрос, что и степень, только с другого конца: известны основание и результат, а найти надо показатель.

### Что такое логарифм?

Показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить аргумент. Запись log_a b = c равносильна равенству a^c = b.

### Как решать задание 16 с логарифмами?

Шаги такие:

1. посмотри на основания
2. переведи запись в вопрос «в какую степень»
3. если логарифм сидит в показателе степени
4. досчитай до одного числа
5. проверь обратным ходом.

### Какие ошибки чаще всего допускают в теме «Логарифм числа»?

Разбивают логарифм суммы. Записи logₐ(x+y) = logₐ x + logₐ y не существует, это выдуманное свойство. Складывать в один логарифм можно только через произведение: logₐ x + logₐ y = logₐ xy. Проверь на числах: lg 100 + lg 10 = 3, а lg 110 вообще не целое.

### Что нужно запомнить по теме «Логарифм числа»?

Главное:

1. logₐ b = c ⇔ aᶜ = b
2. a^(logₐ b) = b
3. logₐ a = 1, logₐ 1 = 0
4. logₐ xy = logₐ x + logₐ y
5. logₐ x/y = logₐ x - logₐ y
6. logₐ bᵏ = k logₐ b.

Остальное — в разделе темы выше.

## Источники

- [Демоверсия, спецификация и кодификатор ЕГЭ 2027 по базовой математике (архив ФИПИ)](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/ma_11_2027.zip). ФИПИ, проект 2027 года.
- [ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory). ФИПИ, проект 2027 года.
- Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413, в редакции приказа Минпросвещения России от 12.08.2022 № 732)
- Федеральная образовательная программа среднего общего образования (приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371)

**Соответствие кодификатору ЕГЭ 2027** (проект ФИПИ): 1.6 «Логарифм числа. Десятичные и натуральные логарифмы».

**Что сверено по документам:**

- Тема соответствует коду 1.6 кодификатора по математике базового уровня: «Логарифм числа (десятичные и натуральные)», проверяется заданием 16.
- Задание 16 базового ЕГЭ — вычисление значения выражения со степенями, логарифмами, тригонометрией и корнями; 1 балл, ответ — число.
- Определение логарифма и ограничения a > 0, a ≠ 1, b > 0.
- Свойства a^(log_a b) = b, log_a a = 1, log_a 1 = 0, log_a xy = log_a x + log_a y, log_a (x/y) = log_a x − log_a y, log_a b^k = k·log_a b входят в справочные материалы, выдаваемые вместе с КИМ.
- Свойство a^(m+n) = a^m · a^n тоже есть в справочных материалах.
- Калькулятор на базовом ЕГЭ по математике запрещён, разрешена только линейка.
- Ответ задания 16 записывается в бланк № 1 как целое число или конечная десятичная дробь — поэтому логарифм или бесконечная дробь в ответе означают ошибку.
- Число e иррационально и приблизительно равно 2,72; точное десятичное значение записать нельзя.

## Связанные материалы

- [Разбор задания на ЕГЭ](https://neuromisha.ru/ege/matematika-baza/zadanie-16/)
- [Свойства логарифмов: формулы и примеры](https://neuromisha.ru/spravochnik/svoystva-logarifmov/)
- [Таблица степеней чисел от 1 до 10](https://neuromisha.ru/spravochnik/tablica-stepeney/)
- [Справочные материалы ЕГЭ 2027 по базовой математике и 70 формул](https://neuromisha.ru/materialy/formuly-matematika-baza-ege/)

---

Источник: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika-baza/logarifm-chisla/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.