---
title: "Арифметическая и геометрическая прогрессии: как решать, примеры"
description: "Прогрессия — это числовая последовательность с заданным первым членом и правилом перехода. Конспект, примеры и мини-тест для ЕГЭ, задание 13."
url: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/arifmeticheskaya-i-geometricheskaya-progressii/
subject: "Математика профиль"
exam: "ЕГЭ 2027"
kim: "Задание 13 КИМ (1 балл, часть 1)"
dateModified: 2026-10-03
author: "Редакция НейроМиши"
---

# Арифметическая и геометрическая прогрессии

Прогрессия — это числовая последовательность с заданным первым членом и правилом перехода: в арифметической к каждому члену прибавляют одно и то же число d, в геометрической умножают его на одно и то же число q. На ЕГЭ тема нужна в задании 13 (1 балл, часть 1): в проекте КИМ 2027 это задачи о личных финансах с кратким ответом, и сложный процент в них держится на геометрической прогрессии.

Две прогрессии — два закона роста. Арифметическая каждый раз прибавляет одно и то же число, геометрическая — умножает на одно и то же. Перепутать их формулы легко, а цена высокая: именно на геометрической прогрессии держится сложный процент в задачах о вкладах и кредитах — в проекте КИМ 2027 это задание 13 с кратким ответом. Разберём обе по шагам и дойдём до финансовой задачи.

**Задание КИМ:** Задание 13 КИМ (1 балл, часть 1)  
**Баллы:** Макс. 1 балл  
**Обновлено:** 2026-10-03

## Что такое арифметическая и геометрическая прогрессии?

Прогрессия — это числовая последовательность, у которой задан **первый член** и **правило перехода** от каждого члена к следующему. Всё различие двух прогрессий сидит в этом правиле.

**Арифметическая прогрессия** строится сложением: к каждому члену прибавляют одно и то же число $d$ — его называют **разностью**. Обозначают члены буквой $a$ с номером.

$$
a_{n+1} = a_n + d
$$

**Геометрическая прогрессия** строится умножением: каждый член умножают на одно и то же число $q$ — его называют **знаменателем**. Члены обозначают буквой $b$.

$$
b_{n+1} = b_n \cdot q
$$

У геометрической прогрессии два запрета, без которых она разваливается: $b_1 \neq 0$ и $q \neq 0$. Иначе все члены с какого-то момента станут нулями и умножать будет нечего.

Как отличить одну от другой в готовом ряду чисел: посмотри на **разности** соседних членов и на их **отношения**. Постоянна разность — прогрессия арифметическая. Постоянно отношение — геометрическая. Ряд 2, 5, 8, 11 арифметический: каждый раз +3. Ряд 2, 6, 18, 54 геометрический: каждый раз ×3.

И главное, ради чего стоит их различать: арифметическая растёт **по прямой**, а геометрическая — всё быстрее, разгоняясь вверх. Ровно этот разгон и делает сложный процент таким мощным.

*Рисунок: Арифметическая прогрессия растёт по прямой, геометрическая — всё круче, по кривой вверх*

![Сравнение арифметической прогрессии с равными шагами и геометрической прогрессии с ростом в одно и то же число раз](https://neuromisha.ru/content/theory/matematika/img/arifmeticheskaya-i-geometricheskaya-progressii-1.png)

*В арифметической прогрессии каждый шаг одинаков по величине, в геометрической — каждый следующий член получается одинаковым умножением.*

## Как найти n-й член и сумму арифметической прогрессии?

Чтобы добраться до $a_n$, не обязательно шагать по одному. От первого члена до $n$-го делают **ровно на один шаг меньше**, чем номер: до второго один шаг, до третьего два, до $n$-го — $n-1$. Отсюда формула $n$-го члена:

$$
a_n = a_1 + (n-1)d
$$

Вот это $(n-1)$, а не $n$ — первая ловушка темы. Пример: $a_1 = 5$, $d = 3$, найдём десятый член. До него девять шагов: $a_{10} = 5 + 9 \cdot 3 = 32$. Не $5 + 10 \cdot 3$.

**Сумму первых** $n$ членов считают хитро, но красиво. Сложи первый член с последним, возьми половину — это среднее значение членов (среднее арифметическое первого и последнего), — и умножь на количество:

$$
S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n
$$

Если последний член ещё неизвестен, подставь вместо него формулу $a_n$ и получишь вид, где нужны только $a_1$, $d$ и $n$:

$$
S_n = \dfrac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n
$$

И полезное свойство, по которому арифметическую прогрессию узнают: **каждый член, кроме первого, — это среднее арифметическое своих соседей.** Оно так и называется — характеристическое.

$$
a_n = \dfrac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}
$$

*Рисунок: Каждая следующая ступень выше предыдущей на одно и то же d*

## Как найти n-й член и сумму геометрической прогрессии?

Логика та же, только вместо сложения — умножение. От первого члена до $n$-го умножают на $q$ те же $n-1$ раз. Значит показатель степени — снова $n-1$, а не $n$:

$$
b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1}
$$

Пример: $b_1 = 3$, $q = 2$, найдём пятый член. Умножаем четыре раза: $b_5 = 3 \cdot 2^4 = 3 \cdot 16 = 48$.

**Сумма первых** $n$ членов геометрической прогрессии (при $q \neq 1$):

$$
S_n = \dfrac{b_1 \left(q^{\,n} - 1\right)}{q - 1}
$$

Оговорка $q \neq 1$ не придирка: при $q = 1$ знаменатель дроби обнуляется. Но и считать тогда нечего — все члены равны $b_1$, и сумма просто $n \cdot b_1$.

Характеристическое свойство тоже есть: **квадрат каждого члена равен произведению соседей.**

$$
b_n^{\,2} = b_{n-1} \cdot b_{n+1}
$$

Отдельный сюжет — **бесконечно убывающая** геометрическая прогрессия, когда $|q| < 1$. Члены стремятся к нулю, и вся бесконечная сумма оказывается конечным числом:

$$
S = \dfrac{b_1}{1 - q}, \qquad |q| < 1
$$

Например, $1 + \tfrac12 + \tfrac14 + \tfrac18 + \dots$ — это $b_1 = 1$, $q = \tfrac12$, и сумма равна $\dfrac{1}{1 - 1/2} = 2$. Бесконечно складываем — а больше двойки не наберём.

*Рисунок: Каждый столбик в q раз выше предыдущего — вершины взлетают всё быстрее*

## Главная развилка: не перепутать формулы

Обе формулы $n$-го члена похожи как близнецы, и на экзамене их путают чаще всего. Держи различие в одном образе: в арифметической мы **шагаем**, в геометрической — **множим**.

**Арифметическая:** шаг — это сложение, поэтому номер входит **множителем**. $a_n = a_1 + (n-1)d$.

**Геометрическая:** шаг — это умножение, поэтому номер уходит **в показатель степени**. $b_n = b_1 q^{\,n-1}$.

Общего у них ровно одно, зато важное: и там, и там стоит **$n-1$**, а не $n$. Первый член получают при $n = 1$: $a_1 + 0 \cdot d = a_1$ и $b_1 \cdot q^0 = b_1$. Подставь единицу в свою формулу — если первый член сходится, показатель выбран верно.

С суммами тот же принцип. Арифметическая: **средний член на количество**, $S_n = \tfrac{a_1 + a_n}{2}\,n$. Геометрическая: **через степень знаменателя**, $S_n = \tfrac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$. Спутать сумму со сложением-умножением уже труднее, если помнишь, откуда каждая формула берётся.

## Сложный процент — это геометрическая прогрессия

Вот ради чего в финансовой задаче — задании 13 — всплывает геометрическая прогрессия. Положим деньги в банк под $p$ процентов годовых с **капитализацией** — это значит, что начисленные проценты добавляются к вкладу и в следующем году сами приносят проценты.

Ключевой ход: увеличить сумму на $p$ процентов — это **умножить** её на коэффициент $1 + \tfrac{p}{100}$. Не прибавить, а именно умножить. Под 10% годовых деньги за год умножаются на $1{,}1$; под 8% — на $1{,}08$.

А раз каждый год сумма умножается на один и тот же коэффициент — это в точности геометрическая прогрессия со знаменателем $q = 1 + \tfrac{p}{100}$. Через $n$ лет на счёте будет:

$$
S_n = S_0 \left(1 + \dfrac{p}{100}\right)^{n}
$$

Проверим на числах. Положили $100\,000$ ₽ под 10% с капитализацией. Через год $100\,000 \cdot 1{,}1 = 110\,000$. Через два года $110\,000 \cdot 1{,}1 = 121\,000$ — то же самое, что $100\,000 \cdot 1{,}1^2$. Обрати внимание: за второй год набежало 11 000, а не 10 000, потому что процент капнул уже с наросшей суммы. В этом вся сила сложного процента.

Рядом живёт **простой процент** — без капитализации. Тогда каждый год начисляют одни и те же $p$ процентов от **первоначальной** суммы, и рост идёт сложением одинаковых кусков — это уже арифметическая прогрессия:

$$
S_n = S_0 \left(1 + \dfrac{p \cdot n}{100}\right)
$$

Те же 100 000 под 10% простых за два года дадут только $100\,000 \cdot 1{,}2 = 120\,000$ — на тысячу меньше, чем сложные. На двух годах разница крохотная, на десяти — уже огромная. Поэтому в условии финансовой задачи всегда ищи слово: «капитализация», «проценты начисляются на всю сумму» — сложные, геометрическая; «проценты на первоначальный вклад» — простые, арифметическая.

## Две прогрессии в одной таблице

*Формулы арифметической и геометрической прогрессий рядом, чтобы их не перепутать*

| Что нужно | Арифметическая | Геометрическая |
| --- | --- | --- |
| Правило перехода | $a_{n+1} = a_n + d$, d — разность | $b_{n+1} = b_n \cdot q$, q — знаменатель; $b_1 \neq 0$, $q \neq 0$ |
| n-й член | $a_n = a_1 + (n-1)d$ | $b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1}$ |
| Сумма первых n членов | $S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$ или $S_n = \dfrac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$ | $S_n = \dfrac{b_1 \left(q^{\,n} - 1\right)}{q - 1}$ при q ≠ 1; при q = 1 сумма равна n·b₁ |
| Характеристическое свойство | $a_n = \dfrac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$ | $b_n^{\,2} = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$ |
| Бесконечная сумма | — | $S = \dfrac{b_1}{1 - q}$ при $\|q\| < 1$ |
| Как узнать в ряду чисел | Постоянна разность соседних членов: 2, 5, 8, 11 | Постоянно отношение соседних членов: 2, 6, 18, 54 |
| Проценты | Простой: $S_n = S_0 \left(1 + \dfrac{p \cdot n}{100}\right)$ | Сложный, с капитализацией: $S_n = S_0 \left(1 + \dfrac{p}{100}\right)^{n}$ |

## Разбор: член и сумма геометрической прогрессии

**Условие.** Геометрическая прогрессия задана первым членом b₁ = 2 и знаменателем q = 3. Найдите её шестой член и сумму первых шести членов.

**Решение.**

- **Шестой член.** От первого до шестого пять шагов умножения, значит показатель степени равен $6 - 1 = 5$:
- $b_6 = b_1 \cdot q^{\,6-1} = 2 \cdot 3^5$
- Считаем степень руками: $3^5 = 243$ (это $3^4 = 81$, умноженное ещё на 3). Тогда $b_6 = 2 \cdot 243 = 486$.
- **Сумма первых шести членов.** Знаменатель не равен единице, поэтому работает формула через степень:
- $S_6 = \dfrac{b_1\left(q^6 - 1\right)}{q - 1} = \dfrac{2\left(3^6 - 1\right)}{3 - 1}$
- Считаем: $3^6 = 729$ (это $243 \cdot 3$), значит $3^6 - 1 = 728$. В знаменателе $3 - 1 = 2$.
- $S_6 = \dfrac{2 \cdot 728}{2} = 728$
- Проверить сумму можно сложением всех членов: $2 + 6 + 18 + 54 + 162 + 486$. Складываем по два: $2+6=8$, $18+54=72$, $162+486=648$; итого $8+72+648 = 728$ — сходится.

**Ответ:** b₆ = 486; S₆ = 728.

## Разбор: кредит с дифференцированными платежами (№ 13)

**Условие.** Кредит 600 000 ₽ взяли на 3 месяца под 2% в месяц. Долг гасят дифференцированными платежами: тело долга каждый месяц уменьшают на одну и ту же величину, а проценты начисляют на остаток. Найдите каждый месячный платёж и общую переплату по кредиту.

**Решение.**

- **Тело долга.** Его гасят тремя равными долями за 3 месяца, значит каждый месяц возвращают $600\,000 : 3 = 200\,000$ ₽ основного долга.
- **Остаток долга перед каждым платежом** убывает на 200 000: перед первым это 600 000, перед вторым 400 000, перед третьим 200 000.
- **Проценты за месяц** — это 2% от остатка. Считаем 2% как «остаток, делённый на 50»:
- $600\,000 \cdot 0{,}02 = 12\,000, \quad 400\,000 \cdot 0{,}02 = 8\,000, \quad 200\,000 \cdot 0{,}02 = 4\,000$
- **Месячный платёж** = доля тела долга плюс проценты за этот месяц:
- $200\,000 + 12\,000 = 212\,000$
- $200\,000 + 8\,000 = 208\,000, \qquad 200\,000 + 4\,000 = 204\,000$
- Посмотри на платежи: $212\,000,\ 208\,000,\ 204\,000$. Они убывают на одно и то же — на 4000. **Это арифметическая прогрессия** с разностью $d = -4000$. Так и должно быть: тело долга одинаковое, а проценты падают равными ступеньками, потому что остаток убывает равномерно.
- **Переплата** — это все начисленные проценты, то есть сумма $12\,000 + 8\,000 + 4\,000$. Проценты тоже образуют арифметическую прогрессию, поэтому берём средний член на количество:
- $12\,000 + 8\,000 + 4\,000 = 24\,000$
- Для контроля: сумма всех платежей $212\,000 + 208\,000 + 204\,000 = 624\,000$. Вычтем тело долга: $624\,000 - 600\,000 = 24\,000$ — переплата та же.

**Ответ:** Платежи 212 000, 208 000 и 204 000 ₽; переплата 24 000 ₽.

## Разбор: кредит равными платежами — аннуитет (№ 13)

**Условие.** Кредит 3 310 000 ₽ взяли на 3 года под 10% годовых. Долг гасят аннуитетными платежами — тремя равными ежегодными выплатами. Найдите размер платежа и общую переплату.

**Решение.**

- **В чём отличие от прошлой задачи.** Тут платёж каждый год **один и тот же** — его-то и надо найти. Каждый год на остаток долга набегает 10%, то есть остаток умножается на $q = 1{,}1$, а затем вносится платёж $x$. Подберём $x$ так, чтобы после третьего платежа долг стал ровно нулём.
- **Приём: сравним все суммы в конце срока.** Если бы не платили совсем, за 3 года долг вырос бы в $q^3$ раз:
- $3\,310\,000 \cdot 1{,}1^3 = 3\,310\,000 \cdot 1{,}331 = 4\,405\,610$
- Теперь платежи. Платёж первого года до конца срока успевает вырасти ещё дважды (умножается на $q^2$), платёж второго года — один раз (на $q$), платёж третьего года вносится в самом конце (на него проценты уже не набегают). Вместе накопленные платежи должны погасить выросший долг:
- $x q^2 + x q + x = x\left(q^2 + q + 1\right)$
- **Вот и геометрическая прогрессия.** В скобке — сумма трёх членов геометрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем $q$. Считаем её по формуле суммы:
- $q^2 + q + 1 = \dfrac{q^3 - 1}{q - 1} = \dfrac{1{,}331 - 1}{1{,}1 - 1} = \dfrac{0{,}331}{0{,}1} = 3{,}31$
- **Приравниваем** выросший долг и накопленные платежи — и находим платёж:
- $x \cdot 3{,}31 = 4\,405\,610 \;\Rightarrow\; x = \dfrac{4\,405\,610}{3{,}31} = 1\,331\,000$
- **Проверка по годам.** После каждого платежа считаем остаток: набежали проценты (×1,1) — вычли платёж 1 331 000.
- $3\,310\,000 \cdot 1{,}1 - 1\,331\,000 = 2\,310\,000$
- $2\,310\,000 \cdot 1{,}1 - 1\,331\,000 = 1\,210\,000$
- $1\,210\,000 \cdot 1{,}1 - 1\,331\,000 = 0$
- После третьего платежа долг обнулился — значит платёж найден верно.
- **Переплата.** Всего отдали банку $3 \cdot 1\,331\,000 = 3\,993\,000$ ₽. Вычтем тело кредита:
- $3\,993\,000 - 3\,310\,000 = 683\,000$
- Сравни с прошлой задачей: при дифференцированных платежах прогрессия была **арифметическая** (равные доли тела долга, убывающие проценты), а здесь равный платёж свёл дело к **сумме геометрической прогрессии**.

**Ответ:** Ежегодный платёж 1 331 000 ₽; переплата 683 000 ₽.

## Как решать задачу на прогрессию?

1. **Определи тип прогрессии.** Постоянна разность соседних членов — арифметическая. Постоянно их отношение — геометрическая. В финансовой задаче: увеличение на процент от текущей суммы (капитализация) — геометрическая; одинаковые куски от первоначальной суммы — арифметическая.
2. **Выпиши, что дано и что ищут.** Для арифметической — $a_1$, $d$, $n$. Для геометрической — $b_1$, $q$, $n$. Отдельно реши: нужен один член или сумма.
3. **Выбери формулу и не потеряй (n − 1).** Член: $a_n = a_1 + (n-1)d$ или $b_n = b_1 q^{n-1}$. Сумма: $S_n = \tfrac{a_1+a_n}{2}n$ или $S_n = \tfrac{b_1(q^n-1)}{q-1}$.
4. **Процент переведи в множитель.** Рост на $p$ процентов — это умножение на $1 + p/100$. Под 10% — на 1,1; под 8% — на 1,08. Именно множитель, а не слагаемое, отличает сложный процент от простого.
5. **Считай без калькулятора и проверяй.** Калькулятор на профиле запрещён, поэтому подбирай удобный счёт: 2% — это делить на 50, степени двойки и тройки держи в памяти. Небольшую сумму членов сложи напрямую и сверь с формулой.
6. **Ответь ровно на вопрос.** Спрашивают член или сумму? Платёж или переплату? В задании 13 ответ краткий: засчитывают только число в бланке, поэтому проверь, что записываешь именно искомую величину и в тех единицах, в которых её спрашивают.

## Проверь себя

Шесть вопросов ровно по тем местам, где на экзамене теряют балл в этой теме. Отвечай, не подглядывая в текст выше.

1. Арифметическая прогрессия: a₁ = 4, разность d = 5. Чему равен седьмой член a₇?
   - 34 — **верный ответ**
   - 39
   - 35
   - 30

   *Пояснение:* От первого члена до седьмого шесть шагов, а не семь: a₇ = a₁ + (7 − 1)·d = 4 + 6·5 = 34. Ответ 39 получается, если по ошибке взять 7 шагов вместо 6 (4 + 7·5) — это и есть потеря (n − 1).

2. Какая из последовательностей — геометрическая прогрессия?
   - 3, 6, 12, 24 — **верный ответ**
   - 3, 6, 9, 12
   - 3, 5, 8, 12
   - 3, 6, 10, 15

   *Пояснение:* В геометрической прогрессии постоянно отношение соседних членов. В ряду 3, 6, 12, 24 каждый следующий вдвое больше: q = 2. Ряд 3, 6, 9, 12 — арифметический (постоянная разность 3), а два последних — вообще не прогрессии.

3. Найдите сумму первых десяти членов арифметической прогрессии 2, 4, 6, 8, ... (a₁ = 2, d = 2).
   - 110 — **верный ответ**
   - 100
   - 90
   - 120

   *Пояснение:* Десятый член a₁₀ = 2 + 9·2 = 20. Сумма — средний член на количество: S₁₀ = (a₁ + a₁₀)/2 · 10 = (2 + 20)/2 · 10 = 11·10 = 110. Это сумма всех чётных чисел от 2 до 20.

4. Вклад 100 000 ₽ положили под 20% годовых с ежегодной капитализацией. Сколько будет на счёте через 2 года?
   - 144 000 ₽ — **верный ответ**
   - 140 000 ₽
   - 120 000 ₽
   - 121 000 ₽

   *Пояснение:* Капитализация — умножение на 1 + 20/100 = 1,2 каждый год. За два года: 100 000·1,2² = 100 000·1,44 = 144 000 ₽. Вариант 140 000 ₽ — это простой процент (без капитализации), он всегда меньше сложного.

5. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия: b₁ = 8, q = 1/2. Чему равна сумма всех её членов?
   - 16 — **верный ответ**
   - 12
   - 8
   - Сумма бесконечна

   *Пояснение:* При |q| < 1 бесконечная сумма конечна: S = b₁/(1 − q) = 8/(1 − 1/2) = 8/(1/2) = 16. Члены 8, 4, 2, 1, ... стремятся к нулю, поэтому вся бесконечная сумма — обычное число.

6. Геометрическая прогрессия: b₁ = 5, q = 2. Чему равен четвёртый член b₄?
   - 40 — **верный ответ**
   - 80
   - 20
   - 160

   *Пояснение:* Показатель степени равен (n − 1) = 3, а не 4: b₄ = b₁·q³ = 5·2³ = 5·8 = 40. Ответ 80 выходит, если ошибочно взять q⁴ = 16 вместо q³ = 8 — это классическая потеря (n − 1) в геометрической прогрессии.

## Какие ошибки делают в задачах на прогрессии?

- **Ошибка 1.** **Путают формулы члена.** В арифметической прогрессии номер входит множителем — $a_n = a_1 + (n-1)d$, а в геометрической уходит в показатель — $b_n = b_1 q^{n-1}$. Подставь $n = 1$: если первый член сошёлся, формула выбрана верно.
- **Ошибка 2.** **Берут n вместо (n − 1).** От первого члена до $n$-го делают на один шаг меньше, чем номер. Пишут $a_1 + n \cdot d$ или $b_1 q^{n}$ — и весь ответ уезжает на один член. Это самая частая арифметическая осечка темы.
- **Ошибка 3.** **Прибавляют процент вместо умножения.** Увеличить сумму на 10% — это умножить на 1,1, а не прибавить 10. Капитализация — это множитель $1 + p/100$ каждый год, то есть геометрическая прогрессия. Сложение процентов превращает задачу в неверную.
- **Ошибка 4.** **Считают сложный процент как простой.** При капитализации процент во второй год капает уже с наросшей суммы: $S_0(1+p/100)^n$. При простом проценте — всегда с первоначальной: $S_0(1 + pn/100)$. Ищи в условии слово «капитализация» — оно решает, какая формула.
- **Ошибка 5.** **Применяют формулу суммы геометрической прогрессии при q = 1.** Тогда знаменатель $q - 1$ обнуляется и делить нельзя. Но и формула не нужна: при $q = 1$ все члены равны $b_1$, а сумма — просто $n \cdot b_1$.
- **Ошибка 6.** **Забывают, что бесконечная сумма конечна только при |q| < 1.** Формула $S = b_1/(1-q)$ работает лишь для убывающей прогрессии. При $|q| \geqslant 1$ члены не стремятся к нулю и бесконечная сумма неограниченно растёт — подставлять числа в формулу нельзя.

## Запомни для ЕГЭ

- $a_n = a_1 + (n-1)d$
- $S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\, n$
- $b_n = b_1\, q^{\,n-1}$
- $S_n = \dfrac{b_1(q^n - 1)}{q - 1},\ q \neq 1$
- $S = \dfrac{b_1}{1 - q},\ |q| < 1$
- $S_n = S_0\left(1 + \tfrac{p}{100}\right)^{n}$
- Сложный процент = ×(1 + p/100) каждый год = геометрическая прогрессия

## На экзамене

- В проекте КИМ 2027 финансовая задача — задание 13: часть 1, 1 балл, краткий ответ. Решение никто не проверяет, засчитывают только число, поэтому черновик веди аккуратно: записывай, на что умножается долг и почему платежи образуют прогрессию, — так легче поймать ошибку до ответа. До 2027 года такая задача стояла в части 2 под номером 16 и стоила 2 балла с развёрнутым решением — в старых сборниках она встретится именно в этом виде.
- Первым делом прочитай, простой процент или сложный. «Капитализация», «проценты начисляются на всю сумму на счёте» — сложный, геометрическая прогрессия. «Проценты на первоначальный вклад» — простой, арифметическая. От одного этого слова зависит вся формула.
- Калькулятор запрещён, поэтому проценты считай приёмами: 10% — делить на 10, 20% — на 5, 2% — на 50, 5% — на 20. Держи в памяти степени: 1,1² = 1,21, 1,1³ = 1,331. Если число в ответе получилось «некрасивым», ищи арифметическую ошибку.
- Дифференцированные платежи почти всегда дают арифметическую прогрессию (равные доли тела долга, убывающие проценты) — тогда переплата считается как сумма прогрессии. Аннуитетные (равные) платежи, наоборот, сводятся к геометрической прогрессии: приём — сравнить всё в конце срока, где выросший долг S·qⁿ равен сумме накопленных платежей x·(qⁿ⁻¹ + … + q + 1), а скобка и есть сумма геометрической прогрессии. Именно так решён разбор про аннуитет выше — из этого уравнения находят равный платёж x.
- Проверяй ответ здравым смыслом: сумма на вкладе не может стать меньше вложенной, переплата по кредиту не может превысить сам кредит в разы при небольшой ставке. Если вышло абсурдно — где-то перепутан множитель или потерян (n − 1).

## Лаборатория: финансовая математика

Главное про проценты разобрано выше, в блоке «Сложный процент — это геометрическая прогрессия»: рост на p процентов — это умножение на коэффициент 1 + p/100 каждый год, поэтому вклад с капитализацией через n лет равен S₀·(1 + p/100)ⁿ. Простой процент растёт медленнее: S₀·(1 + p·n/100).

## Словарь темы

- **Арифметическая прогрессия** — Последовательность, в которой каждый следующий член получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа d. Растёт линейно.
- **Разность прогрессии (d)** — Число, которое прибавляют к каждому члену арифметической прогрессии, чтобы получить следующий: d = aₙ₊₁ − aₙ. Может быть отрицательной — тогда прогрессия убывает.
- **Геометрическая прогрессия** — Последовательность, в которой каждый следующий член получается из предыдущего умножением на одно и то же число q. Требует b₁ ≠ 0 и q ≠ 0. Растёт (или убывает) в разы.
- **Знаменатель прогрессии (q)** — Число, на которое умножают каждый член геометрической прогрессии, чтобы получить следующий: q = bₙ₊₁ / bₙ.
- **Характеристическое свойство** — Признак прогрессии по трём соседним членам. В арифметической средний — среднее арифметическое соседей: aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁)/2. В геометрической квадрат среднего равен произведению соседей: bₙ² = bₙ₋₁·bₙ₊₁.
- **Капитализация процентов** — Начисленные проценты добавляются к вкладу и в следующем периоде сами приносят проценты. Приводит к сложному проценту — росту по геометрической прогрессии со знаменателем 1 + p/100.
- **Простой и сложный процент** — Простой процент каждый период начисляется на первоначальную сумму (рост по арифметической прогрессии). Сложный — на текущую сумму с учётом прошлых начислений (рост по геометрической прогрессии). Сложный при том же проценте всегда даёт больше.
- **Дифференцированный платёж** — Схема погашения кредита, при которой тело долга гасят равными долями, а проценты начисляют на убывающий остаток. Платежи убывают и образуют арифметическую прогрессию.
- **Аннуитетный платёж** — Схема погашения кредита равными выплатами: каждый период сумма платежа одна и та же. Чтобы найти платёж, все суммы приводят к концу срока — выросший долг S·qⁿ приравнивают к сумме накопленных платежей x·(qⁿ⁻¹ + … + 1), а это сумма геометрической прогрессии.

## Частые вопросы

### Что такое прогрессия?

Прогрессия — числовая последовательность, у которой задан первый член и правило перехода от каждого члена к следующему. В арифметической прогрессии к каждому члену прибавляют одно и то же число d, в геометрической — умножают его на одно и то же число q.

### Как решать задания по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии»?

Шаги такие:

1. определи тип прогрессии
2. выпиши, что дано и что ищут
3. выбери формулу и не потеряй (n − 1)
4. процент переведи в множитель
5. считай без калькулятора и проверяй
6. ответь ровно на вопрос.

### Какие ошибки чаще всего допускают в теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии»?

Путают формулы члена. В арифметической прогрессии номер входит множителем — aₙ = a₁ + (n-1)d, а в геометрической уходит в показатель — bₙ = b₁ qⁿ⁻¹. Подставь n = 1: если первый член сошёлся, формула выбрана верно.

### Что нужно запомнить по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии»?

Главное:

1. aₙ = a₁ + (n-1)d
2. Sₙ = (a₁ + aₙ)/2 n
3. bₙ = b₁ qⁿ⁻¹
4. Sₙ = (b₁(qⁿ - 1))/(q - 1), q ≠ 1
5. S = b₁/(1 - q), |q| < 1
6. Sₙ = S₀(1 + p/100)ⁿ
7. Сложный процент = ×(1 + p/100) каждый год = геометрическая прогрессия.

## Источники

- [Демоверсия, спецификация и кодификатор ЕГЭ 2027 по профильной математике (архив ФИПИ)](https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/ma_11_2027.zip). ФИПИ, проект 2027 года.
- [ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ 2027](https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory). ФИПИ, проект 2027 года.
- Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413, в редакции приказа Минпросвещения России от 12.08.2022 № 732)
- Федеральная образовательная программа среднего общего образования (приказ Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371)

**Соответствие кодификатору ЕГЭ 2027** (проект ФИПИ): 3.8 «Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула сложных процентов».

**Что сверено по документам:**

- Тема соответствует коду 3.8 кодификатора ФИПИ по математике профильного уровня «Арифметическая и геометрическая прогрессии» и в проекте КИМ 2027 проверяется заданием 13.
- В проекте КИМ 2027 задание 13 — часть 1, повышенный уровень, 1 балл, краткий ответ; до 2027 года финансовая задача была заданием 16 части 2 за 2 балла с развёрнутым решением.
- Формула n-го члена арифметической прогрессии aₙ = a₁ + (n − 1)d и суммы Sₙ = (a₁ + aₙ)/2·n = (2a₁ + (n − 1)d)/2·n; характеристическое свойство aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁)/2.
- Формула n-го члена геометрической прогрессии bₙ = b₁·qⁿ⁻¹ и суммы Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1) при q ≠ 1; характеристическое свойство bₙ² = bₙ₋₁·bₙ₊₁; при q = 1 сумма равна n·b₁.
- Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии (|q| < 1) равна b₁/(1 − q).
- Сложный процент с капитализацией — геометрическая прогрессия: Sₙ = S₀(1 + p/100)ⁿ. Простой процент — арифметическая: Sₙ = S₀(1 + pn/100).
- В финансовой задаче (в проекте КИМ 2027 — № 13) с дифференцированными платежами (тело долга гасится равными долями) месячные платежи и суммы процентов образуют арифметические прогрессии; переплата — сумма этой прогрессии.
- В финансовой задаче (в проекте КИМ 2027 — № 13) с аннуитетными (равными) платежами выросший долг S·qⁿ равен сумме накопленных платежей x·(qⁿ⁻¹ + … + 1), где скобка — сумма геометрической прогрессии; отсюда находят равный платёж.

## Связанные материалы

- [Разбор задания на ЕГЭ](https://neuromisha.ru/ege/matematika/zadanie-13/)
- [Арифметическая прогрессия: все формулы и примеры](https://neuromisha.ru/spravochnik/arifmeticheskaya-progressiya/)
- [Геометрическая прогрессия: все формулы и примеры](https://neuromisha.ru/spravochnik/geometricheskaya-progressiya/)
- [Формулы арифметической и геометрической прогрессии](https://neuromisha.ru/spravochnik/formuly-progressiy/)

---

Источник: https://neuromisha.ru/teoriya/matematika/arifmeticheskaya-i-geometricheskaya-progressii/ — НейроМиша, Редакция НейроМиши.